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  • 2021-05-13 发布

山东省青州市届中考数学第一轮复习圆的切线性质与判定学案

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圆的切线性质与判定 一、知识结构 考点一 点、直线与圆的位置关系 ‎1.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种,分别是 、 和 .‎ ‎2.直线与圆的位置关系 ‎ 相交 相切 相离 公共点的个数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 公共点名称 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 直线名称 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:‎ ‎(1)直线l和⊙O相交⇔ ;(2)直线l和⊙O相切⇔ ;(3)直线l和⊙O相离⇔ .‎ 考点二 切线的判定和性质 ‎1.切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;‎ ‎(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 ;(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.‎ ‎2.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的 ;‎ 考点三 三角形的外接圆和内切圆 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 圆心名称 描述 经过三角形三顶点的圆,外心是 的交点 与三角形三边都相切的圆,内心是 的交点 图形示例 性质 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形内心到三角形三边的距离相等 ‎【基础演练】‎ ‎1.已知⊙O的半径为‎4 cm,如果圆心O到直线l的距离为‎3.5 cm,那么直线l和⊙O的位置关系是(  )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 ‎2.如图,AB是⊙O的弦,BC与⊙O相切于点B,连接OA,OB. 若∠ABC=70°,则∠A等于(   )‎ A.15°    B.20°  C.30° D.70°‎ ‎3.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.试说明CE是⊙O的切线;‎ 二、典型例题 ‎1、如图,AB与⊙O相切于C,∠A=∠B,⊙O的半径为6,AB=16,求OA的长.‎ 解:在△OAB中,∵∠A=∠B,∴OA=OB. 连接OC,则OC⊥AB,OC=6,AC=BC=8,∴OA===10.‎ 方法总结:‎ 已知圆的切线,若图中没有连接切点的半径,可连接切点与圆心构造直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.‎ ‎2、如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA. (1)求证:ED是⊙O的切线;(2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度.‎ 解:(1)证明:如图,连接OD,‎ ‎∵OD=OA,EA=ED,∴∠3=∠4,∠1=∠2. ‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ODE=∠OAE.∵AB⊥AC,∴∠OAE=90°,∴∠ODE=90°,‎ ‎∴DE是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵OA=3,AE=4,∴OE=5.又∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC. ‎ ‎∴∠1+∠5=90°,∠2+∠6=90°.又∵∠1=∠2,∴∠5=∠6,∴DE=EC. ‎ ‎∴E是AC的中点. ∴OE∥BC且OE=BC.∴BC=10.‎ 方法总结:‎ 证明圆的切线分为三种情况:有过切点的半径,证垂直;有切点,无半径,连半径,证垂直;无切点,作垂直,证相等.‎ 三、题组训练 ‎1、如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,‎ 连接BD,∠C=40°,则∠ABD的度数是(   )‎ A.30°   B.25° C.20°   D.15°‎ ‎2、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG. 求证:PC是⊙O的切线;‎ 四、课后作业 ‎1、Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=‎4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若⊙C与直线AB相切,则r的值为(  ) A.‎2 cm B.‎2.4 cm C.‎3 cm D.‎‎4 cm ‎2、如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=25°,则∠C的大小等于(   ) A.20°  B.25°  C.40°  D.50°‎ ‎3、如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为(   )‎ A.4 B.‎3 C.6 D.2 ‎4、如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E,交PC于点F,连接AF.‎ ‎(1)判断AF与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若AC=24,AF=15,求⊙O的半径. ‎ 五、附基础演练、例题、练习题答案及课后作业详细解析与评分标准 一、知识结构 考点一 点、直线与圆的位置关系 ‎1.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种,分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内.‎ ‎2.直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点的个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 ‎3.直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:‎ ‎(1)直线l和⊙O相交⇔dr.‎ 考点二 切线的判定和性质 ‎1.切线的判定方法 ‎(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;‎ ‎(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.‎ ‎2.切线的性质切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径;‎ 考点三 三角形的外接圆和内切圆 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 圆心名称 三角形的外心 三角形的内心 描述 经过三角形三顶点的圆,外心是三角形三边中垂线的交点 与三角形三边都相切的圆,内心是三角形三条角平分线的交点 图形示例 性质 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形内心到三角形三边的距离相等 ‎【基础演练】‎ ‎1.已知⊙O的半径为‎4 cm,如果圆心O到直线l的距离为‎3.5 cm,那么直线l和⊙O的位置关系是( A )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:∵⊙O的半径r=‎4 cm,圆心O到直线l的距离d=‎3.5 cm,∴d<r,∴直线l与⊙O的位置关系是相交.故选A.‎ ‎2.如图,AB是⊙O的弦,BC与⊙O相切于点B,连接OA,OB. 若∠ABC=70°,则∠A等于( B  )‎ A.15°    B.20°  C.30° D.70°‎ 解析:∵BC与⊙O相切于点B,∠ABC=70°,∴∠ABO=20°.又∵OA=OB,∴∠A=∠ABO=20°.故选B.‎ 答案: B ‎3.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.试说明CE是⊙O的切线;‎ 解析:连接OC,要证CE是⊙O的切线,只需证到∠OCE=90°即可;‎ ‎∵CA=CE,∠CAE=30°,∴∠E=∠CAE=30°,∠COE=2∠A=60°,‎ ‎∴∠OCE=90°,∴CE是⊙O的切线;‎ 二、典型例题 ‎1、如图,AB与⊙O相切于C,∠A=∠B,⊙O的半径为6,AB=16,求OA的长.‎ 解:在△OAB中,∵∠A=∠B,∴OA=OB. 连接OC,则OC⊥AB,OC=6,AC=BC=8,∴OA===10.‎ 方法总结:‎ 已知圆的切线,若图中没有连接切点的半径,可连接切点与圆心构造直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.‎ ‎2、如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA. ‎ ‎(1)求证:ED是⊙O的切线;‎ ‎(2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度.‎ 解:(1)证明:如图,连接OD,‎ ‎∵OD=OA,EA=ED,∴∠3=∠4,∠1=∠2. ‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ODE=∠OAE.‎ ‎∵AB⊥AC,∴∠OAE=90°,∴∠ODE=90°,∴DE是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵OA=3,AE=4,∴OE=5.‎ 又∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC. ∴∠1+∠5=90°,∠2+∠6=90°.‎ 又∵∠1=∠2,∴∠5=∠6,∴DE=EC. ∴E是AC的中点. ‎ ‎∴OE∥BC且OE=BC.∴BC=10.‎ 方法总结:‎ 证明圆的切线分为三种情况:有过切点的半径,证垂直;有切点,无半径,连半径,证垂直;无切点,作垂直,证相等.‎ 三、题组训练 ‎1、如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,连接BD,∠C=40°,则∠ABD的度数是(  B  )‎ A.30°   B.25° C.20°   D.15°‎ 解析:∵AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°.∵∠C=40°,‎ ‎∴∠AOC=50°,∴∠B=25°.故选B.‎ 答案: B ‎2、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG. 求证:PC是⊙O的切线;‎ 解:证明:如图,连接OC,‎ ‎∵ED⊥AB,∴∠FBG+∠FGB=90°.‎ 又∵PC=PG,∴∠PCG=∠PGC. 而∠PGC=∠FGB,∠OCB=∠FBG,‎ ‎∴∠PCG+∠OCB=90°,‎ 即OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线;‎ 四、课后作业 ‎1、Rt△ABC中,∠C=90°,AC==3 cm,BC=‎4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若⊙C与直线AB相切,则r的值为( B )‎ A.‎2 cm B.‎2.4 cm C.‎3 cm D.‎‎4 cm 解析:作CD⊥AB于点D,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=‎3 cm,BC=‎4 cm,由勾股定理,可得AB=5(cm).再由面积法,求得CD=2.4(cm),即r的值为‎2.4 cm.故选B.‎ 答案: B ‎2、如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=25°,则∠C的大小等于(  C  )‎ A.20°  B.25°  C.40°  D.50°‎ 解析:如图,连接OA,∵AC是⊙O的切线,∴OA⊥AC,即∠OAC=90°.‎ ‎∵OA=OB,∠B=25°,∴∠OAB=∠B=25°.‎ ‎∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-25°-25°-90°=40°.故选C.‎ 答案: C ‎3、如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为( B )‎ A.4 B.‎3 C.6 D.2 解析:如图,连接OD,∵DF是圆的切线,‎ ‎∴DF⊥OD.又∵OC=OD,∠C=60°,∴△OCD是等边三角形,‎ ‎∴∠ODC=60°,∴∠ADF=30°. 又∵∠A=60°,∴∠AFD=90°,OD∥AB.‎ 又∵点O是BC的中点,∴点D是AC的中点.在Rt△ADF中,AD=2AF=4,‎ ‎∴AB=AC=8,故BF=AB-AF=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,‎ ‎∴FG=BF·cos∠BFG=6×=3.故选B.‎ ‎4、如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E,交PC于点F,连接AF.‎ ‎(1)判断AF与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若AC=24,AF=15,求⊙O的半径. ‎ 解:(1)AF是⊙O的切线.‎ 理由如下:连接 OC,‎ ‎∵AB是⊙O的直径, ∴∠BCA=90°.‎ ‎∵OF∥BC, ∴∠AEO=90°, ∴OF⊥AC.‎ ‎∵OC=OA, ∴∠COF=∠AOF,∴△OCF≌△OAF.∴∠OAF=∠OCF=90°,∴FA⊥OA.‎ ‎∴AF是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵OF⊥AC,∴AE=AC. ∵AC=24,∴AE=12. ∵FA⊥OA,∴OF=.‎ ‎∵FA⊥OA,OF⊥AC,∴AF·OA=OF·AE,即15·OA=·12,解得OA=20.‎ ‎∴⊙O的半径为20.‎