山东省青州市届中考数学第一轮复习圆的切线性质与判定学案 5页

圆的切线性质与判定 一、知识结构 考点一 点、直线与圆的位置关系 ‎1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种，分别是 、 和 ．‎ ‎2．直线与圆的位置关系 ‎ 相交 相切 相离 公共点的个数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 公共点名称 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 直线名称 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：‎ ‎(1)直线l和⊙O相交⇔ ；(2)直线l和⊙O相切⇔ ；(3)直线l和⊙O相离⇔ .‎ 考点二 切线的判定和性质 ‎1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；‎ ‎(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 ；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ ‎2．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ；‎ 考点三 三角形的外接圆和内切圆 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 圆心名称 描述 经过三角形三顶点的圆，外心是 的交点 与三角形三边都相切的圆，内心是 的交点 图形示例 性质 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形内心到三角形三边的距离相等 ‎【基础演练】‎ ‎1．已知⊙O的半径为‎4 cm，如果圆心O到直线l的距离为‎3.5 cm，那么直线l和⊙O的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB. 若∠ABC＝70°，则∠A等于(　 　)‎ A．15°　 　 B．20°　 C．30° D．70°‎ ‎3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．试说明CE是⊙O的切线；‎ 二、典型例题 ‎1、如图，AB与⊙O相切于C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．‎ 解：在△OAB中，∵∠A＝∠B，∴OA＝OB. 连接OC，则OC⊥AB，OC＝6，AC＝BC＝8，∴OA＝＝＝10.‎ 方法总结：‎ 已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.‎ ‎2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA. (1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．‎ 解：(1)证明：如图，连接OD，‎ ‎∵OD＝OA，EA＝ED，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2. ‎ ‎∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE.∵AB⊥AC，∴∠OAE＝90°，∴∠ODE＝90°，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. ‎ ‎∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠6＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC. ‎ ‎∴E是AC的中点． ∴OE∥BC且OE＝BC.∴BC＝10.‎ 方法总结：‎ 证明圆的切线分为三种情况：有过切点的半径，证垂直；有切点，无半径，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证相等.‎ 三、题组训练 ‎1、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，‎ 连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是(　 　)‎ A．30°　　　B．25° C．20°　　　D．15°‎ ‎2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG. 求证：PC是⊙O的切线；‎ 四、课后作业 ‎1、Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝‎4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为(　　) A．‎2 cm B．‎2.4 cm C．‎3 cm D．‎‎4 cm ‎2、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于(　 　) A．20°　 B．25°　 C．40°　 D．50°‎ ‎3、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为(　 　)‎ A．4 B．‎3 C．6 D．2 ‎4、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.‎ ‎(1)判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径. ‎ 五、附基础演练、例题、练习题答案及课后作业详细解析与评分标准 一、知识结构 考点一 点、直线与圆的位置关系 ‎1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内．‎ ‎2．直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点的个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 ‎3.直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：‎ ‎(1)直线l和⊙O相交⇔dr.‎ 考点二 切线的判定和性质 ‎1．切线的判定方法 ‎(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；‎ ‎(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ ‎2．切线的性质切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；‎ 考点三 三角形的外接圆和内切圆 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 圆心名称 三角形的外心 三角形的内心 描述 经过三角形三顶点的圆，外心是三角形三边中垂线的交点 与三角形三边都相切的圆，内心是三角形三条角平分线的交点 图形示例 性质 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形内心到三角形三边的距离相等 ‎【基础演练】‎ ‎1．已知⊙O的半径为‎4 cm，如果圆心O到直线l的距离为‎3.5 cm，那么直线l和⊙O的位置关系是(　A　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：∵⊙O的半径r＝‎4 cm，圆心O到直线l的距离d＝‎3.5 cm，∴d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选A.‎ ‎2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB. 若∠ABC＝70°，则∠A等于(　B 　)‎ A．15°　 　 B．20°　 C．30° D．70°‎ 解析：∵BC与⊙O相切于点B，∠ABC＝70°，∴∠ABO＝20°.又∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝20°.故选B.‎ 答案： B ‎3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．试说明CE是⊙O的切线；‎ 解析：连接OC，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；‎ ‎∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，‎ ‎∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；‎ 二、典型例题 ‎1、如图，AB与⊙O相切于C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．‎ 解：在△OAB中，∵∠A＝∠B，∴OA＝OB. 连接OC，则OC⊥AB，OC＝6，AC＝BC＝8，∴OA＝＝＝10.‎ 方法总结：‎ 已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.‎ ‎2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA. ‎ ‎(1)求证：ED是⊙O的切线；‎ ‎(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．‎ 解：(1)证明：如图，连接OD，‎ ‎∵OD＝OA，EA＝ED，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2. ‎ ‎∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE.‎ ‎∵AB⊥AC，∴∠OAE＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.‎ 又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. ∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠6＝90°.‎ 又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC. ∴E是AC的中点． ‎ ‎∴OE∥BC且OE＝BC.∴BC＝10.‎ 方法总结：‎ 证明圆的切线分为三种情况：有过切点的半径，证垂直；有切点，无半径，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证相等.‎ 三、题组训练 ‎1、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是( 　B 　)‎ A．30°　　　B．25° C．20°　　　D．15°‎ 解析：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°.∵∠C＝40°，‎ ‎∴∠AOC＝50°，∴∠B＝25°.故选B.‎ 答案： B ‎2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG. 求证：PC是⊙O的切线；‎ 解：证明：如图，连接OC，‎ ‎∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°.‎ 又∵PC＝PG，∴∠PCG＝∠PGC. 而∠PGC＝∠FGB，∠OCB＝∠FBG，‎ ‎∴∠PCG＋∠OCB＝90°，‎ 即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；‎ 四、课后作业 ‎1、Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝=3 cm，BC＝‎4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为(　B　)‎ A．‎2 cm B．‎2.4 cm C．‎3 cm D．‎‎4 cm 解析：作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝‎3 cm，BC＝‎4 cm，由勾股定理，可得AB＝5(cm)．再由面积法，求得CD＝2.4(cm)，即r的值为‎2.4 cm.故选B.‎ 答案： B ‎2、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于(　 C 　)‎ A．20°　 B．25°　 C．40°　 D．50°‎ 解析：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°.‎ ‎∵OA＝OB，∠B＝25°，∴∠OAB＝∠B＝25°.‎ ‎∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－25°－25°－90°＝40°.故选C.‎ 答案： C ‎3、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为(　B　)‎ A．4 B．‎3 C．6 D．2 解析：如图，连接OD，∵DF是圆的切线，‎ ‎∴DF⊥OD.又∵OC＝OD，∠C＝60°，∴△OCD是等边三角形，‎ ‎∴∠ODC＝60°，∴∠ADF＝30°. 又∵∠A＝60°，∴∠AFD＝90°，OD∥AB.‎ 又∵点O是BC的中点，∴点D是AC的中点．在Rt△ADF中，AD＝2AF＝4，‎ ‎∴AB＝AC＝8，故BF＝AB－AF＝6.在Rt△BFG中，∠BFG＝30°，‎ ‎∴FG＝BF·cos∠BFG＝6×＝3.故选B.‎ ‎4、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.‎ ‎(1)判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径. ‎ 解：(1)AF是⊙O的切线．‎ 理由如下：连接 OC，‎ ‎∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°.‎ ‎∵OF∥BC， ∴∠AEO＝90°， ∴OF⊥AC.‎ ‎∵OC＝OA， ∴∠COF＝∠AOF，∴△OCF≌△OAF.∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴FA⊥OA.‎ ‎∴AF是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵OF⊥AC，∴AE＝AC. ∵AC＝24，∴AE＝12. ∵FA⊥OA，∴OF＝.‎ ‎∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AF·OA＝OF·AE，即15·OA＝·12，解得OA＝20.‎ ‎∴⊙O的半径为20.‎