中考数学常用公式实用版 4页

中考数学常用公式 ‎1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：‎ ‎－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数．‎ ‎2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14．‎ ‎3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．‎ ‎4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5．‎ ‎5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．‎ ‎6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝n．‎ ‎⑥a－n＝，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(‎3a3)3＝‎27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)º＝1，(－)0＝1．‎ ‎7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念）‎ ‎8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0：‎ ‎①求根公式是x＝，其中△＝b2－‎4ac叫做根的判别式．‎ 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；‎ 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；‎ 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．‎ ‎②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)．‎ ‎③若已知某一元二次方程的两根是a和b，则该一元二次方程为x2－(a＋b)x＋ab＝0．‎ ‎9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．‎ ‎10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．‎ ‎11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．‎ ‎（2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么：‎ ‎①平均数为：；‎ ‎②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；‎ ‎③方差：数据、……, 的方差为，‎ 则=‎ 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。‎ ‎12、频率与概率：‎ ‎（1）频率=，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。‎ ‎（2）概率 ‎①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；‎ ‎②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。‎ ‎③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；‎ ‎13、锐角三角函数：‎ ‎①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin‎2A＋cos‎2A＝1．‎ ‎0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．‎ ‎②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，cos(90º－A)＝sinA．‎ h l α ‎③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝，sin60º＝cos30º＝， tan30º＝，tan45º＝1，tan60º＝．‎ ‎④斜坡的坡度：i＝＝．设坡角为α，则i＝tanα＝．‎ ‎⑤同角的三角函数：角A为锐角，则tanA=sinA/cosA sin²A＋cos²A＝１‎ ‎⑥解直角三角形及其应用 ‎1.解直角三角形的概念:在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素。‎ 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形。‎ ‎2.解直角三角形的依据:‎ (1) 三边之间的关系:a2 +b2=c2 (勾股定理)‎ (2) 两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°‎ (3) 边角之间的关系:sinA=a/c, cosA=b/c, tanA=a/ b (4) 解直角三角形的原则:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据。‎ ‎3.解直角三角形的应用 ‎(1)把实际问题转化成数学问题,这个转化包括两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；‎ ‎(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形；‎ ‎(3)仰角和俯角，在进行观察或测量时：‎ 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；‎ 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。‎ ‎14、平面直角坐标系中的有关知识：‎ ‎（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）.‎ ‎（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）.‎ ‎15、二次函数的有关知识：‎ ‎1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.‎ ‎2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.‎ ‎ ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；‎ 相等，抛物线的开口大小、形状相同.‎ ‎ ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.‎ ‎3.几种特殊的二次函数的图像特征如下：‎ 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 ‎（轴）‎ ‎（0,0）‎ ‎（轴）‎ ‎(0, )‎ ‎(,0)‎ ‎(,)‎ ‎()‎ ‎4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 ‎ （1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.‎ ‎ （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.‎ ‎ （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。‎ ‎ 若已知抛物线上两点（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：‎ ‎5.抛物线中，的作用 ‎ （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.‎ ‎ （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ‎，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.‎ ‎（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.‎ ‎ 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：‎ ‎ ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.‎ ‎ 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .‎ ‎6.用待定系数法求二次函数的解析式 ‎ （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.‎ ‎ （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.‎ ‎ （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.‎ ‎7.直线与抛物线的交点 ‎ （1）轴与抛物线得交点为(0, ).‎ ‎ （2）抛物线与轴的交点 ‎ 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：‎ ‎ ①有两个交点()抛物线与轴相交；‎ ‎ ②有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切；‎ ‎ ③没有交点()抛物线与轴相离.‎ ‎（3）平行于轴的直线与抛物线的交点:‎ ‎ 同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.‎ ‎（4）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.‎ ‎（5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则 ‎16、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正整数），外角和总是360º ‎17、平行线分线段成比例定理：‎ ‎（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ 如图：a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C D、E、F，则有 ‎（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），‎ 所得的对应线段成比例。如图：△ABC中，DE∥BC，DE与 AB、AC相交与点D、E，则有：‎ ‎.‎ ‎（3）△ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为r，则 ‎18、弧长与扇形的面积 ‎1.把圆周等分成360份,每一份的弧叫做1°的弧；1°的弧所对的圆心角叫做1°的角。‎ ‎2.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=nπR/180‎ ‎3.如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形的面积的计算公式为:S扇形=nπR2/360‎ ‎4.比较扇形面积(S)公式和弧长(L)公式,你能用弧长来表示扇形的面积吗?S=1/2RL ‎19、圆锥的侧面积 ‎1.概念:圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴,其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体。斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论转到什么位置,这条斜边都叫做圆锥的母线。另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面。‎ 圆锥有一个顶点和一个底面,底面是一个圆。连结圆锥顶点和底面圆心的线段和圆锥底面垂直,这条线段叫做圆锥的高线。‎ ‎2. 圆锥的侧面展开图是一个扇形(圆锥的侧面)。此扇形的半径R是圆锥的母线,扇形的弧长是圆锥底面圆的周长.‎ ‎ 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3‎ ‎3.圆锥的侧面积=1/2×母线长×圆锥底面的周长=π×圆锥底面半径×母线长 ‎4.高(h),底半径(r),母线(L)之间的关系:h2 +r2=l2 (勾股定理得出)‎ ‎5.圆锥的全面积:圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积)‎ ‎6．360r=θR (r为圆锥底面半径，R为母线长，θ为圆锥侧面展开图的圆心角)‎ ‎20、面积公式：‎ ‎①S正△＝×(边长)2． ②S平行四边形＝底×高．‎ ‎③S菱形＝底×高＝×(对角线的积)，‎ ‎④S圆＝πR2． ⑤C圆周长＝2πR．‎ ‎⑥弧长L＝． ⑦ ‎ ‎⑧S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2‎ ‎⑨S圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb， S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2‎