中考数学总复习四边形专题基础知识回顾五3 14页

中考数学总复习 四边形 一、 单元知识网络： 　　　　　　　　　　 二、知识考点梳理 知识点一、多边形的有关概念和性质 1.多边形的定义： 　　在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的性质： 　　(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°； 　　(2)推论：多边形的外角和是360°； 　　(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条； 　　(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 知识点二、四边形的有关概念和性质 1.四边形的定义： 　　同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形. 2.四边形的性质： 　　(1)定理：四边形的内角和是360°；　　(2)推论：四边形的外角和是360°. 知识点三、平行四边形 1.平行四边形的定义： 　　两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的性质： ‎ ‎(1)平行四边形的对边平行且相等；　　(2)平行四边形的对角相等；　　(3)平行四边形的对角线互相平分； 3.平行四边形的判定方法： 　　(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；　　(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 　　(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；　　(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 　　(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ‎ 14‎ ‎ 4.面积公式： 　　S=ah(a是平行四边形的一条边长，h是这条边上的高). 知识点四、矩形 1.矩形的定义： 　　有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质: 　　矩形具有平行四边形的所有性质； 　1)矩形的对边平行且相等；　　(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；　　(3)矩形的对角线互相平分且相等. 3.矩形的判定方法： 　　(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)； 　　(2)有三个角是直角的四边形是矩形；　　(3)对角线相等的平行四边形是矩形. 4.面积公式： 　　S=ab(a、b是矩形的边长). 知识点五、菱形 1.菱形的定义： 　　有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质： 　　菱形具有平行四边形的所有性质； 　　(1)菱形的对边平行，四条边都相等；　　(2)菱形的对角相等； 　　(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形的判定方法： 　　(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；　　(2)四条边都相等的四边形是菱形； 　　(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 4.面积公式： 　　S=ah(a是平行四边形的边长，h是这条边上的高)或s=mn(m、n是菱形的两条对角线长). 知识点六、正方形 1.正方形的定义： 　　有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形. 2.正方形的性质: 　　正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质； 　　(1)正方形的对边平行，四条边都相等；　　(2)正方形的四个角都是直角； 　　(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角； 3.正方形的判定方法： 　　(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；　　(2)有一个角是直角的菱形是正方形； 　　(3)对角线相等的菱形是正方形；　　(4)对角线互相垂直的矩形是正方形. 4.面积公式： ‎ 14‎ ‎　　S=a2(a是边长)或s=b2(b正方形的对角线长). 　　平行四边形和特殊的平行四边形之间的联系: 　　　　　　　　　　　　　 知识点七、梯形 1.梯形的定义： 　　一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 　　(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底. 　　(2)不平行的两边叫做梯形的腰.　　(3)梯形的四个角都叫做底角. 2.直角梯形： 　　一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形. 3.等腰梯形： 　　两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 4.等腰梯形的性质： 　　(1)等腰梯形的两腰相等；　　(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. 　　(3)等腰梯形的对角线相等. 5. 等腰梯形的判定方法： 　　(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)； 　　(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；　　(3)对角线相等的梯形是等腰梯形. ‎ 14‎ ‎6.梯形中位线： 　　连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 7.面积公式： 　　S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高). 知识点八、平面图形的镶嵌 1.平面图形的镶嵌的定义： 　　用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺. 2.平面图形镶嵌的条件： 　　(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里 　 　　只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌. 　　(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： 　 　　①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°； 　②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数　 　　　倍. 四、规律方法指导 1.数形结合思想 　　多边形是反映了数的抽象性与形的直观性这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化，由数构形，由形思数的数形结合思想.尤其在平行四边形和矩形、菱形、正方形、梯形中，图形的特点非常鲜明，与我们现实生活的联系很大，利用它们的性质和判定能解决实际中的问题. 2.分类讨论思想 　　根据题目中的已知判断是哪种特殊的平行四边形，不同的特殊的平行四边形的性质和判定不同.结合各自的特点进行分类，得出最终的结论. 3.化归与转化思想 　　要记清和分清平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，要体会化归思想的应用，如：多边形转化为三角形；平行四边形、梯形及特殊的平行四边形性质的讨论通过对角线转化为全等三角形等. 4.注意观察、分析、总结 　　在判断边相等或角相等的问题上，常以平行四边形、梯形及特殊的平行四边形的性质或判定为依据，当条件结论的关系无法找到时，可以通过辅助线将图形适当变化，使条件集中，以便应用条件达到解题的目的，由繁变简，一般与特殊之间的转化. 5.四边形知识点间的联系 ‎ 14‎ ‎　　　　　　　　　　　‎ 经典例题透析 考点一、多边形及镶嵌 　　1．若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______. 　　2．下列正多边形中，能够铺满地面的是( ) 　　 A、正五边形　　　 B、正六边形　　　 C、正七边形　　　 D、正八边形 　　3．一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是( ) 　　 A.四边形 　　　B. 五边形 　　　C.六边形 　　　D.三角形 　　　4. 一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现少了一个内角.少了的这个内角是_________度，他求的是_________边形的内角和. 　　　　总结升华：多边形根据内角或外角求边数，或是根据边数求内角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算. 　　举一反三： 　　【变式1】如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角的度数为135°，那么这个多边形的边数为( ) 　　A.6　　　 B.7 　　　C.8 　　　D.以上答案都不对 　【变式2】多边形的内角和随着边数的增加而______，边数增加一条时，它的内角和增加_____度. 　　考点二、平行四边形 　　5. 平行四边形的周长为40，两邻边的比为2：3，则这一组邻边长分别为________. 　　　　6. 已知O是□ABCD的对角线交点，AC=24，BD=38，AD=14，那么△OBC的周长等于_______. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ 14‎ ‎　　 　　7. 如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是______________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　总结升华：借助平行四边形的性质进行线段或角相等的证明，或利用平行四边形的判定条件确定四边形的形状，是考查的重点. 举一反三： 　　【变式1】在平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，如右图， 与△ABO面积相等的三角形有( )个. 　　A、1　　　 B、2 　　　C、3 　　　D、4 　　　　【变式2】如图，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A. 　　求证：四边形DECF是平行四边形. 　　‎ 点三、矩形 　　8．矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=8，则矩形对角线的长_________. 　　9. 如右图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处且与AD相交于点O.写出一组相等的线段__________.(不包括和). 　　　　总结升华：矩形在平行四边形的基础上进一步特殊化，结合矩形的对角线平分且相等，会运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质. 　　举一反三： 　　【变式1】四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判定它是矩形的是( ) 　　A.AB=CD，AD=BC，∠BAD=90° 　　B.AO=CO，BO=DO，AC=BD 　　C.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°　　D.∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90° 　　　　【变式2】矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为__________. 　　考点四、菱形 　　10．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC、BD的长分别为5厘米、10厘米，则菱形ABCD的面积为_________厘米2. ‎ 14‎ ‎　　　11．能够判别一个四边形是菱形的条件是(　) 　　A.对角线相等且互相平分 　　　　B.对角线互相垂直且相等 　　C.对角线互相平分　　　　　　　 D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角 　　考点：菱形的判定 　　　　总结升华：菱形在平行四边形的基础上进一步特殊化，菱形的对角线互相垂直，把菱形分成四个全等的直角三角形，常利用这一性质求线段和角，以及菱形的面积. 　　举一反三： 　　【变式1】已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两个邻角度数分别为 ( ) 　　A. 45°， 135° 　　　B. 60°， 120°　　　 C. 90°， 90° 　　　D. 30°， 150° 　　　【变式2】如图，已知AD平分∠BAC，DE∥AC， DF∥AB， AE=5. 　　(1)判断四边形AEDF的形状? 　　(2)它的周长是多少? 　　　　【变式3】如图，菱形ABCO的边长为2，∠AOC=45°，则点B的坐标为___________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　考点五、正方形 　　12．正方形具有而矩形不一定具有的特征是( ) 　　A.四个角都是直角　　　 B.对角线互相平分　　　 C.对角线互相垂直 　　　D.对角线相等 　　13．如图，以A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可以作( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个 　　14．图中的矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，求这个矩形的长和宽各是多少？ 　　　　总结升华：正方形的性质很多，往往是在判定矩形或菱形的基础上再进一步判定正方形，∴做正方形的问题时，要考虑全面，有选择的运用正方形的知识解题. 　　举一反三： 　　【变式1】下列选项正确的是( ) 　　A.四边相等的四边形是正方形　　　　　　 B.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 ‎ 14‎ ‎　　C.对角线垂直的平行四边形是正方形　　　 D.四角相等的四边形是正方形 ‎　　【变式2】正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于__cm. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　【变式3】(1)顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是( ) 　　A、平行四边形 　　　B、矩形　　　 C、菱形　　　 D、正方形 　　(2)顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( ) 　　A、平行四边形　　　 B、矩形 　　　C、菱形 　　　D、正方形 　　(3)顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是( ) 　　A、平行四边形　　　 B、矩形 　　　C、菱形 　　　D、正方形 　　(4)顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( ) 　　A、平行四边形　　　 B、矩形 　　　C、菱形　　　 D、正方形 　　考点六、梯形 　　15．等腰梯形中，，cm，cm，，则梯形的腰长是_________cm. 　　　　16. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是( ) 　　(A)24　　　 (B)20　　　 (C)16　　　 (D)12 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　17．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O.有下列四个结论： 　　①AC=BD；②梯形ABCD是轴对称图形；③∠ADB=∠DAC；④△AOD≌△ABO. 　　其中正确的是( ). 　　(A)①③④　　　 (B)①②④ 　　　(C)①②③ 　　　(D)②③④ ‎ 14‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　总结升华：解决梯形问题时，辅助线是常用的方法，除上述辅助线之外，还可以延长两腰交于一点，构成三角形；若已知一腰中点，可连结一顶点和这个中点，构成两个全等的三角形. 　　举一反三： 　　【变式1】已知梯形的上底长为3，中位线长为6，则下底长为______. 　　【变式2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠ABC和∠BCD互余，若AD=4，BC=10，则EF=_________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　【变式3】已知等腰梯形ABCD，AD∥BC ，E为梯形内一点，且.求证：. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　2012年中考数学试题分类解析汇编 专题10：四边形 一、 选择题 ‎1. （2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，‎ 作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为【 】‎ A．11＋ B．11－‎ C．11＋或11－ D．11－或1＋‎ ‎2. （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】‎ 14‎ A． 8 B． 4 C． 8 D． 6‎ ‎3. （2012湖北宜昌3分）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于【 】‎ A．20 B．15 C．10 D．5‎ ‎4. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎5. （2012湖北荆州3分）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】‎ A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个 ‎6. （2012湖北黄冈3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是【 】‎ A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 ‎7. （2012湖北十堰3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为【 】‎ 14‎ A．22 　　　　B．24 　　　　C．26 　　　　D．28 ‎ ‎8. （2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60º，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF 相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有【 】‎ ‎①∠BGD＝120º；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎9. （2012湖北襄阳3分）如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【 】‎ A．△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE﹣BG=FG ‎10. （2012湖北鄂州3分）如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为【 】‎ A. B. EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT ‎ 14‎ ‎
C. EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 
D. EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 
‎ 二、填空题 ‎1. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．‎ ‎
‎ ‎2. （2012湖北咸宁3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， EMBED Equation.3 
，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当 EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
时，四边形BGEF的周长为 ▲ ．‎ ‎ INCLUDEPICTURE "http://img.jyeoo.net/quiz/images/201207/1/bfca3ac5.png" * MERGEFORMATINET 
‎ ‎3. （2012湖北黄冈3分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC 的长为 ▲ .‎ ‎ INCLUDEPICTURE "http://img.jyeoo.net/quiz/images/201206/57/8deab206.png" * MERGEFORMATINET 
‎ ‎4. （2012湖北十堰3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=　 ▲ 　．‎ ‎ INCLUDEPICTURE "http://img.jyeoo.net/quiz/images/201207/48/87091ccb.png" * MERGEFORMAT 
‎ 三、解答题 ‎1. （2012湖北黄石7分）如图，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF. ‎ 求证：∠DAE=∠BCF.‎ ‎
‎ ‎2. （2012湖北宜昌11分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．‎ ‎（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？‎ ‎（2）求证：△ABG∽△BFE；‎ ‎（3）设AD=a，AB=b，BC=c ‎ ①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；‎ ‎ ②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．‎ ‎
‎ ‎3. （2012湖北恩施8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC 14‎ 的中点．求证：四边形AEDF是菱形．‎ ‎
‎ ‎4. （2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC ‎ 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. ‎ 求证：AM⊥DF.‎ ‎ INCLUDEPICTURE "http://img.jyeoo.net/quiz/images/201206/56/b1b47666.png" * MERGEFORMATINET 
‎ ‎5. （2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若 EMBED Equation.3 
，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．‎ 理解与作图：‎ ‎（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的 反射四边形EFGH．‎ 计算与猜想：‎ ‎（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？‎ 启发与证明：‎ ‎（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我 们的启发证明（2）中的猜想．‎ ‎
‎ ‎5‎ ‎6. （2012湖北随州10分）如图，已知直角梯形ABCD ,∠B=900。,AD∥BC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点.‎ ‎ (1)求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；‎ ‎ (2)若OC=8 cm，OD=6 cm,求CD的长.‎ ‎7. （2012湖北孝感8分）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．‎ 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到 中点四边形EFGH．‎ ‎(1)这个中点四边形EFGH的形状是 ；(2)证明你的结论．‎ ‎ INCLUDEPICTURE "http://img.jyeoo.net/quiz/images/201206/56/38ed45a8.png" * MERGEFORMATINET 
‎ ‎8. （2012湖北襄阳7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED 14‎ 相交于点F．‎ ‎（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．‎ ‎
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