2020年中考数学压轴题：分式方程考点专练 19页

2020 中考数学压轴题：分式方程考点专练 【考点 1】解分式方程 【例 1】（2019•上海）解方程： 1 【答案】x＝﹣4 【解析】去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即 x2+2x﹣8＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0， 解得：x＝2 或 x＝﹣4， 经检验 x＝2 是增根，分式方程的解为 x＝﹣4． 点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【变式 1-1】（2019•宁夏）解方程： 1 ． 【答案】x＝4 【解析】 1 ， 方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得 2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2）， ∴x＝4， 经检验 x＝4 是方程的解； ∴方程的解为 x＝4； 点睛：本题考查分式方程的解；掌握分式方程的求解方法，验根是关键． 【变式 1-2】（2019•广安）解分式方程： 1 ． 【答案】x＝4 【解析】 1 ， 方程两边乘（x﹣2）2 得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4， 解得：x＝4， 检验：当 x＝4 时，（x﹣2）2≠0． 所以原方程的解为 x＝4． 点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【考点 2】已知分式方程的解，求字母参数的值 【例 2】（2019•株洲）关于 x 的分式方程 解为 x＝4，则常数 a 的值为（ ） A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10 【答案】D 【解析】把 x＝4 代入方程 ，得 0， 解得 a＝10． 故选：D． 点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为 0． 【变式 2-1】（2019•张家界）若关于 x 的分式方程 1 的解为 x＝2，则 m 的值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】∵关于 x 的分式方程 1 的解为 x＝2， ∴x＝m﹣2＝2， 解得：m＝4． 故选：B． 点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键． 【考点 3】分式方程的特殊解问题 【例 3】（2019•鸡西）已知关于x 的分式方程 1 的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3 【答案】A 【解析】 1， 方程两边同乘以 x﹣3，得 2x﹣m＝x﹣3， 移项及合并同类项，得 x＝m﹣3， ∵分式方程 1 的解是非正数，x﹣3≠0， ∴ ， 解得，m≤3， 故选：A． 点睛：本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的 方法． 【变式 3-1】（2019•荆州）已知关于 x 的分式方程 2 的解为正数，则 k 的取值范围 为（ ） A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2 且 k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2 且 k≠1 【答案】B 【解析】∵ 2， ∴ 2， ∴x＝2+k， ∵该分式方程有解， ∴2+k≠1， ∴k≠﹣1， ∵x＞0， ∴2+k＞0， ∴k＞﹣2， ∴k＞﹣2 且 k≠﹣1， 故选：B． 点睛：本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础 题型． 【变式 3-2】（2019•齐齐哈尔）关于 x 的分式方程 3 的解为非负数，则 a 的取值 范围为 ． 【答案】a≤4 且 a≠3 【解析】 3， 方程两边同乘以 x﹣1，得 2x﹣a+1＝3（x﹣1）， 去括号，得 2x﹣a+1＝3x﹣3， 移项及合并同类项，得 x＝4﹣a， ∵关于 x 的分式方程 3 的解为非负数，x﹣1≠0， ∴ ， 解得，a≤4 且 a≠3， 故答案为：a≤4 且 a≠3． 点睛：本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的 方法． 【考点 4】分式方程的无解（增根）问题 【例 4】（2019•烟台）若关于 x 的分式方程 1 有增根，则 m 的值为 ． 【解析】.方程两边都乘（x﹣2）， 得 3x﹣x+2＝m+3 ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣2）＝0， 解得 x＝2， 当 x＝2 时，m＝3． 故答案为 3． 点睛：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确 定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式 4-1】（2019•巴中）若关于 x 的分式方程 2m 有增根，则 m 的值为 ． 【答案】1 【解析】方程两边都乘 x﹣2，得 x﹣2m＝2m（x﹣2） ∵原方程有增根， ∴最简公分母 x﹣2＝0， 解得 x＝2， 当 x＝2 时，m＝1 故 m 的值是 1， 故答案为 1 点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确 定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【考点 5】分式方程的应用问题 【例 5】（2019•丹东）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为 4000m．甲、乙两人同时从 家出发去科技馆，甲同学先步行 800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行 车的速度是甲步行速度的 4 倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的 2 倍，结果甲同学比乙 同学晚到 2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远． 【答案】乙到达科技馆时，甲离科技馆还有 1600m 【解析】（1）设甲步行的速度为 x 米/分，则乙骑自行车的速度为 4x 米/分，公交车的速度 是 8x 米/分钟， 根据题意得 2.5 ， 解得 x＝80．经检验，x＝80 是原分式方程的解． 所以 2.5×8×80＝1600（m） 答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有 1600m． 点睛：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式 5-1】（2019•铁岭）某超市用 1200 元购进一批甲玩具，用 800 元购进一批乙玩具，所 购甲玩具件数是乙玩具件数的 ，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多 1 元． （1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙 玩具的件数比甲玩具件数的 2 倍多 60 件，求：该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩 具多少件？ 【解析】（1）设甲种玩具的进货单价为 x 元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元， 根据题意得： ， 解得：x＝6， 经检验，x＝6 是原方程的解， ∴x﹣1＝5． 答：甲种玩具的进货单价 6 元，则乙种玩具的进价为 5 元． （2）设购进甲种玩具 y 件，则购进乙种玩具（2y+60）件， 根据题意得：6y+5（2y+60）≤2100， 解得：y≤112 ， ∵y 为整数， ∴y 最大值＝112 答：该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩具 112 件． 点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准 等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式 5-2】（2019•南通）列方程解应用题： 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》 和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多 40 元， 用 3200 元购买《三国演义》的套数是用 2400 元购买《西游记》套数的 2 倍，求每套《三 国演义》的价格． 【答案】每套《三国演义》的价格为 80 元 【解析】设每套《三国演义》的价格为 x 元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元， 依题意，得： 2 ， 解得：x＝80， 经检验，x＝80 是所列分式方程的解，且符合题意． 答：每套《三国演义》的价格为 80 元． 点睛：.本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 1．（2019•海南）分式方程 1 的解是（ ） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【答案】B 【解析】 1， 两侧同时乘以（x+2），可得 x+2＝1， 解得 x＝﹣1； 经检验 x＝﹣1 是原方程的根； 故选：B． 点睛：本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键． 2．（2019•益阳）解分式方程 3 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1） 【答案】C 【解析】方程两边都乘以（2x﹣1），得 x﹣2＝3（2x﹣1）， 故选：C． 点睛：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为 整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 3．（2019•遂宁）关于 x 的方程 1 的解为正数，则 k 的取值范围是（ ） A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4 且 k≠4 D．k＜4 且 k≠﹣4 【答案】C 【解析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x， 解得：x ， 根据题意得： 0，且 2， 解得：k＞﹣4，且 k≠4． 故选：C． 点睛：此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为 0． 4．（2019•重庆）若关于 x 的一元一次不等式组 的解集是 x≤a，且关于 y 的 分式方程 1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ） A．0 B．1 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由不等式组 得： ∵解集是 x≤a， ∴a＜5； 由关于 y 的分式方程 1 得 2y﹣a+y﹣4＝y﹣1 ∴y ， ∵有非负整数解， ∴ 0， ∴5＞a≥﹣3， 且 a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3 它们的和为 1． 故选：B． 点睛：本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程得问题，需要考虑的因素较多， 属于易错题． 5．（2018•阿坝州）若 x＝4 是分式方程 的根，则 a 的值为（ ） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解析】将 x＝4 代入分式方程可得： ， 化简得 1， 解得 a＝6． 故选：A． 点睛：本题主要考查分式方程及其解法．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为 整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于 0 的值， 不是原分式方程的解． 6．（2018•巴中）若分式方程 有增根，则实数 a 的取值是（ ） A．0 或 2 B．4 C．8 D．4 或 8 【答案】D 【解析】方程两边同乘 x（x﹣2），得 3x﹣a+x＝2（x﹣2）， 由题意得，分式方程的增根为 0 或 2， 当 x＝0 时，﹣a＝﹣4， 解得，a＝4， 当 x＝2 时，6﹣a+2＝0， 解得，a＝8， 故选：D． 点睛：本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适 合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为 0 或是转化后的整式方程的根恰好是原方程 未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 7．（2019•鞍山）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了 A，B 两种树苗在校园四周栽种， 已知 A 种树苗的单价比 B 种树苗的单价多 10 元，用 600 元购买 A 种树苗的棵数恰好与用 450 元购买 B 种树苗的棵数相同．若设 A 种树苗的单价为 x 元，则可列出关于 x 的方程为 ． 【答案】 ． 【解析】设 A 种树苗的单价为 x 元，则 B 种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用 600 元购 买 A 种树苗的棵数是 ，用 450 元购买 B 种树苗的棵数是 ． 由题意，得 ． 故答案是： ． 点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决 问题的关键． 8．（2019•永州）方程 的解为 x＝ ． 【答案】﹣1 【解析】去分母得：2x＝x﹣1， 解得：x＝﹣1， 经检验 x＝﹣1 是分式方程的解， 故答案为：﹣1 点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 9．（2019•锦州）甲、乙两地相距 1000km，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 3h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的 1.6 倍，设特快列车的平均速度为 xkm/h，根 据题意可列方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可得， ， 故答案为： ． 点睛：本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分 式方程． 10．（2019•铜仁市）分式方程 的解为 y＝ ． 【答案】-3 【解析】去分母得：5y＝3y﹣6， 解得：y＝﹣3， 经检验 y＝﹣3 是分式方程的解， 则分式方程的解为 y＝﹣3． 故答案为：﹣3 点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 11．（2019•襄阳）定义：a*b ，则方程 2*（x+3）＝1*（2x）的解为 ． 【答案】x＝1 【解析】2*（x+3）＝1*（2x）， ， 4x＝x+3， x＝1， 经检验：x＝1 是原方程的解， 故答案为：x＝1． 点睛：本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键． 12．（2019•宿迁）关于 x 的分式方程 1 的解为正数，则 a 的取值范围是 ． 【答案】a＜5 且 a≠3 【解析】去分母得：1﹣a+2＝x﹣2， 解得：x＝5﹣a， 5﹣a＞0， 解得：a＜5， 当 x＝5﹣a＝2 时，a＝3 不合题意， 故 a＜5 且 a≠3． 故答案为：a＜5 且 a≠3． 点睛：此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键． 13．（2018•齐齐哈尔）若关于 x 的方程 无解，则 m 的值为 ． 【答案】﹣1 或 5 或 ．【解析】去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3， 可得：（m+1）x＝5m﹣1， 当 m+1＝0 时，一元一次方程无解， 此时 m＝﹣1， 当 m+1≠0 时， 则 x ±4， 解得：m＝5 或 ， 综上所述：m＝﹣1 或 5 或 ， 故答案为：﹣1 或 5 或 ． 点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键． 14．（2019•随州）解关于 x 的分式方程： ． 【答案】x 是分式方程的解 【解析】去分母得：27﹣9x＝18+6x， 移项合并得：15x＝9， 解得：x ， 经检验 x 是分式方程的解． 点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 15．（2019•朝阳）佳佳文具店购进 A，B 两种款式的笔袋，其中 A 种笔袋的单价比 B 种袋的 单价低 10%．已知店主购进 A 种笔袋用了 810 元，购进 B 种笔袋用了 600 元，且所购进的 A 种笔袋的数量比 B 种笔袋多 20 个．请问：文具店购进 A，B 两种款式的笔袋各多少个？ 【答案】文具店购进 A 种款式的笔袋 60 个，B 种款式的笔袋 40 个 【解析】设文具店购进 B 种款式的笔袋 x 个，则购进 A 种款式的笔袋（x+20）个， 依题意，得： （1﹣10%）， 解得：x＝40， 经检验，x＝40 是所列分式方程的解，且符合题意， ∴x+20＝60． 答：文具店购进 A 种款式的笔袋 60 个，B 种款式的笔袋 40 个． 点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 16.（2019•西藏）列方程（组）解应用题 绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种 树 600 棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 2 倍，结果提前 4 天完 成任务，则原计划每天种树多少棵？ 【答案】原计划每天种树 75 棵 【解析】设原计划每天种树 x 棵． 由题意，得 4 解得，x＝75 经检验，x＝75 是原方程的解． 答：原计划每天种树 75 棵． 点睛：此题主要考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工 程类问题主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间． 17．（2019•沈阳）2019 年 3 月 12 日是第 41 个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购 买甲、乙两种树苗，用 800 元购买甲种树苗的棵数与用 680 元购买乙种树苗的棵数相同， 乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少 6 元． （1）求甲种树苗每棵多少元？ （2）若准备用 3800 元购买甲、乙两种树苗共 100 棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？ 【解析】（1）设甲种树苗每棵 x 元，根据题意得： ， 解得：x＝40， 经检验：x＝40 是原方程的解， 答：甲种树苗每棵 40 元； （2）设购买乙中树苗 y 棵，根据题意得： 40（100﹣y）+34y≤3800， 解得：y≥33 ， ∵y 是正整数， ∴y 最小取 34， 答：至少要购买乙种树苗 34 棵． 点睛：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到 等量关系，难度不大． 18．（2019•云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、 乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地 240 千米和 270 千米的两地 同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平 均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的 1.5 倍，甲校师生比乙校师生晚 1 小时到达目 的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度． 【解析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为 x 千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的 平均速度为 1.5x 千米/小时， 由题意得： ， 解得：x＝60， 经检验，x＝60 是所列方程的解， 则 1.5x＝90， 答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为 60 千米/小时、90 千米/小时． 点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关 系，并依据相等关系列出方程． 19．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价 比小本作业本贵 0.3 元，已知用 8 元购买大本作业本的数量与用 5 元购买小本作业本的数 量相同． （1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？ （2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的 2 倍，总费用不超过 15 元．则大本作业本最多能购买多少本？ 【解析】（1）设小本作业本每本 x 元，则大本作业本每本（x+0.3）元， 依题意，得： ， 解得：x＝0.5， 经检验，x＝0.5 是原方程的解，且符合题意， ∴x+0.3＝0.8． 答：大本作业本每本 0.8 元，小本作业本每本 0.5 元． （2）设大本作业本购买 m 本，则小本作业本购买 2m 本， 依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15， 解得：m ． ∵m 为正整数， ∴m 的最大值为 8． 答：大本作业本最多能购买 8 本． 点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准 等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 20．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批 A，B 两种型号的机器．已 知一台 A 型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件，且一台 A 型机器加工 80 个零件 与一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等． （1）每台 A，B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？ （2）如果该企业计划安排 A，B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件，为了如期完 成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件，同时为了保障机器的正常运转，两 种机器每小时加工的零件不能超过 76 件，那么 A，B 两种型号的机器可以各安排多少台？ 【解析】（1）设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件，则每台 A 型机器每小时加工（x+2）个 零件， 依题意，得： ， 解得：x＝6， 经检验，x＝6 是原方程的解，且符合题意， ∴x+2＝8． 答：每台 A 型机器每小时加工 8 个零件，每台 B 型机器每小时加工 6 个零件． （2）设 A 型机器安排 m 台，则 B 型机器安排（10﹣m）台， 依题意，得： ， 解得：6≤m≤8． ∵m 为正整数， ∴m＝6，7，8． 答：共有三种安排方案，方案一：A 型机器安排 6 台，B 型机器安排 4 台；方案二：A 型机 器安排 7 台，B 型机器安排 3 台；方案三：A 型机器安排 8 台，B 型机器安排 2 台． 点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找 准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 组．