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- 2021-05-13 发布
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中考数学真题汇编:二次函数
一、选择题
1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是( )
A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③
【答案】B
2.如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
3.关于二次函数 ,下列说法正确的是( )
A. 图像与 轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在 轴的右侧
C. 当 时, 的值随 值的增大而减小 D. 的最小值为-3
【答案】D
4.二次函数 的图像如图所示,下列结论正确是( )
A. B. C. D. 有两个不相等的实数根
【答案】C
5.若抛物线 与 轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )
A. B. C. D.
【答案】B
6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )
A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1)
【答案】B
7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是( )
A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面
C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m
【答案】D
8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
9.如图是二次函数 ( , , 是常数, )图象的一部分,与 轴的交点 在点 和 之间,对称轴是 .对于下列说法:① ;② ;③ ;④ ( 为实数);⑤当 时, ,其中正确的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
【答案】A
10.如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为-1,则一次函数y=(a-b)x+b的图象大致是( )
A.B.C.D.
【答案】D
11.四位同学在研究函数 (b,c是常数)时,甲发现当 时,函数有最小值;乙发现 是方程 的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当 时, .已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为( )
A. ( B.
C. D. (
【答案】B
二、填空题
13.已知二次函数 ,当x>0时,y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)
【答案】增大
14.右图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加________m。
【答案】4 -4
三、解答题
15.学校拓展小组研制了绘图智能机器人(如图1),顺次输入点P1 , P2 , P3的坐标,机器人能根据图2,绘制图形。若图形是线段,求出线段的长度;若图形是抛物线,求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标,求出线段的长度或抛物线的函数关系式。
①P1(4,0),P2(0,0),P3(6,6)。
②P1(0,0),P2(4,0),P3(6,6)。
【答案】①∵P1(4,0),P2(0,0),4-0=4>0,
∴绘制线段P1P2 , P1P2=4.
②∵P1(0,0),P2(4,0),P3(6,6),0-0=0,
∴绘制抛物线,
设y=ax(x-4),把点(6,6)坐标代入得a= ,
∴ ,即 。
16.如图,抛物线 (a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C , D在抛物线上.设A(t , 0),当t=2时,AD=4.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G , H , 且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10)
∵当t=2时,AD=4
∴点D的坐标是(2,4)
∴4=a×2×(2-10),解得a=
∴抛物线的函数表达式为
(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t
∴AB=10-2t
当x=t时,AD=
∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=
∵ <0
∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值是多少
(3)如图,
当t=2时,点A,B,C,D的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4)
∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5,2)
当平移后的抛物线过点A时,点H的坐标为(4,4),此时GH不能将矩形面积平分。
当平移后的抛物线过点C时,点G的坐标为(6,0),此时GH也不能将矩形面积平分。
∴当G,H中有一点落在线段AD或BC上时,直线GH不可能将矩形面积平分。
当点G,H分别落在线段AB,DC上时,直线GH过点P,必平分矩形ABCD的面积。
∵AB∥CD
∴线段OD平移后得到线段GH
∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P
在△OBD中,PQ是中位线
∴PQ= OB=4
所以,抛物线向右平移的距离是4个单位。
17.如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=﹣5x2+20x,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
【答案】(1)解:当y=15时,
15=﹣5x2+20x,
解得,x1=1,x2=3,
答:在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是1s或3s
(2)解:当y=0时,
0═﹣5x2+20x,
解得,x3=0,x2=4,
∵4﹣0=4,
∴在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是4s
(3)解:y=﹣5x2+20x=﹣5(x﹣2)2+20,
∴当x=2时,y取得最大值,此时,y=20,
答:在飞行过程中,小球飞行高度第2s时最大,最大高度是20m
18.在平面直角坐标系中,点 ,点 .已知抛物线 ( 是常数),定点为 .
(1)当抛物线经过点 时,求定点 的坐标;
(2)若点 在 轴下方,当 时,求抛物线的解析式;
(3)无论 取何值,该抛物线都经过定点 .当 时,求抛物线的解析式.
【答案】(1)解:∵抛物线 经过点 ,
∴ ,解得 .
∴抛物线的解析式为 .
∵ ,
∴顶点 的坐标为 .
(2)解:如图1,
抛物线 的顶点 的坐标为 .
由点 在 轴正半轴上,点 在 轴下方, ,知点 在第四象限.
过点 作 轴于点 ,则 .
可知 ,即 ,解得 , .
当 时,点 不在第四象限,舍去.
∴ .
∴抛物线解析式为 .
(3)解: 如图2:
由 可知,
当 时,无论 取何值, 都等于4.
得点 的坐标为 .
过点 作 ,交射线 于点 ,分别过点 , 作 轴的垂线,垂足分别为 , ,则 .
∵ , ,
∴ .∴ .
∵ ,
∴ .
∴ .
∴ , .
可得点 的坐标为 或 .
当点 的坐标为 时,可得直线 的解析式为 .
∵点 在直线 上,
∴ .解得 , .
当 时,点 与点 重合,不符合题意,∴ .
当点 的坐标为 时,
可得直线 的解析式为 .
∵点 在直线 上,
∴ .解得 (舍), .
∴ .
综上, 或 .
故抛物线解析式为 或 .
19.如图,已知二次函数 的图象经过点 ,与 轴分别交于点 ,点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数 的表达式;
(2)连接 , ,并把 沿 轴翻折,得到四边形 .若四边形 为菱形,请求出此时点 的坐标;
(3)当点 运动到什么位置时,四边形 的面积最大?求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积.
【答案】(1)解:将点B和点C的坐标代入 ,
得 ,解得 , .
∴ 该二次函数的表达式为 .
(2)解:若四边形POP′C是菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上;
如图,连接PP′,则PE⊥CO,垂足为E,
∵ C(0,3),
∴ E(0, ),
∴ 点P的纵坐标等于 .
∴ ,
解得 , (不合题意,舍去),
∴ 点P的坐标为( , ).
(3)解:过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,
设P(m, ),设直线BC的表达式为 ,
则 , 解得 .
∴直线BC的表达式为 .
∴Q点的坐标为(m, ),
∴ .
当 ,
解得 ,
∴ AO=1,AB=4,
∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=
=
当 时,四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为 ,四边形ABPC的面积的最大值为 .
20.如图1,四边形 是矩形,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .点 从点 出发,沿 以每秒1个单位长度的速度向点 运动,同时点 从点 出发,沿 以每秒2个单位长度的速度向点
运动,当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒.
(1)当 时,线段 的中点坐标为________;
(2)当 与 相似时,求 的值;
(3)当 时,抛物线 经过 、 两点,与 轴交于点 ,抛物线的顶点为 ,如图2所示.问该抛物线上是否存在点 ,使 ,若存在,求出所有满足条件的 点坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)( ,2)
(2)解:如图1,∵四边形OABC是矩形,
∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ与△PAQ相似时,存在两种情况:
①当△PAQ∽△QBC时, ,
∴ ,
4t2-15t+9=0,
(t-3)(t- )=0,
t1=3(舍),t2= ,
②当△PAQ∽△CBQ时, ,
∴ ,
t2-9t+9=0,
t= ,
∵0≤t≤6, >7,
∴x= 不符合题意,舍去,
综上所述,当△CBQ与△PAQ相似时,t的值是 或
(3)解:当t=1时,P(1,0),Q(3,2),
把P(1,0),Q(3,2)代入抛物线y=x2+bx+c中得:
,解得: ,
∴抛物线:y=x2-3x+2=(x- )2- ,
∴顶点k( ,- ),
∵Q(3,2),M(0,2),
∴MQ∥x轴,
作抛物线对称轴,交MQ于E,
∴KM=KQ,KE⊥MQ,
∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ,
如图2,∠MQD= ∠MKQ=∠QKE,设DQ交y轴于H,
∵∠HMQ=∠QEK=90°,
∴△KEQ∽△QMH,
∴ ,
∴ ,
∴MH=2,
∴H(0,4),
易得HQ的解析式为:y=- x+4,
则 ,
x2-3x+2=- x+4,
解得:x1=3(舍),x2=- ,
∴D(- , );
同理,在M的下方,y轴上存在点H,如图3,使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE,
由对称性得:H(0,0),
易得OQ的解析式:y= x,
则 ,
x2-3x+2= x,
解得:x1=3(舍),x2= ,
∴D( , );
综上所述,点D的坐标为:D(- , )或( , )
21.平面直角坐标系 中,二次函数 的图象与 轴有两个交点.
(1)当 时,求二次函数的图象与 轴交点的坐标;
(2)过点 作直线 轴,二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不包含点 在直线 上),求 的范围;
(3)在(2)的条件下,设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ,求 的面积最大时 的值.
【答案】(1)解:当m=-2时,y=x2+4x+2当y=0时,则x2+4x+2=0
解之:x1= ,x2=
(2)解:∵ =(x-m)2+2m+2∴顶点坐标为(m,2m+2)
∵此抛物线的开口向上,且与x轴有两个交点,二次函数图像的顶点在直线l与x轴之间(不包括点A在直线l上)
∴
解之:m<-1,m>-3
即-3<m<-1
(3)解:根据(2)的条件可知-3<m<-1根据题意可知点B(m,m-1),A(m,2m+2)
∴AB=2m+2-m+1=m+3
S△ABO=
∴ m=−时,△ABO的面积最大。
22.如图,已知抛物线 与 轴交于点 和点 ,交 轴于点 .过点 作 轴,交抛物线于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线 与线段 、 分别交于 、 两点,过 点作 轴于点 ,过点 作 轴于点 ,求矩形 的最大面积;
(3)若直线 将四边形 分成左、右两个部分,面积分别为 、 ,且 ,求 的值.
【答案】(1)解:根据题意得:9a-3b-3=0
a+b-3=0
解之:a=1,b=2
∴抛物线的解析式为y-=x2+2x-3
(2)解:解:∵x=0时,y=-3∴点C的坐标为(0,-3)
∵CD∥X轴,
∴点D(-2,-3)
∵A(-3,0),B(1,0)
∴yAD=-3x-9,yBD=x-1
∵直线 与线段 、 分别交于 、 两点
∴
∴
∴
∴矩形的最大面积为3
(3)解:AB=1-(-3)=4,CD=0-(-2)=2,OC=3
∵CD∥x轴
∴S四边形ABCD=
∵
∴S1=4,S2=5
∵若直线y=kx+1经过点D时,点D(-2,-3)
-2k+1=-3
解之:k=2
∴y=2x+1
当y=0时,x=
∴点M的坐标为
∴
∴
设直线y=kx+1与CD、AO分别交于点N、S
∴
∴
解之:k=
23.如图①,在平面直角坐标系中,圆心为P(x,y)的动圆经过点A(1,2)且与x轴相切于点B.
(1)当x=2时,求⊙P的半径;
(2)求y关于x的函数解析式,请判断此函数图象的形状,并在图②中画出此函数的图象;
(3)请类比圆的定义(图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合),给(2)中所得函数图象进行定义:此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合.
(4)当⊙P的半径为1时,若⊙P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D(m,n)在点C的右侧,请利用图②,求cos∠APD的大小.
【答案】(1)解:由x=2,得到P(2,y),
连接AP,PB,
∵圆P与x轴相切,
∴PB⊥x轴,即PB=y,
由AP=PB,得到 =y,
解得:y= ,
则圆P的半径为
(2)解:同(1),由AP=PB,得到(x﹣1)2+(y﹣2)2=y2 ,
整理得:y= (x﹣1)2+1,即图象为开口向上的抛物线,
画出函数图象,如图②所示;
(3)点A;x轴
(4)解:连接CD,连接AP并延长,交x轴于点F,
设PE=a,则有EF=a+1,ED= ,
∴D坐标为(1+ ,a+1),
代入抛物线解析式得:a+1= (1﹣a2)+1,
解得:a=﹣2+ 或a=﹣2﹣ (舍去),即PE=﹣2+ ,
在Rt△PED中,PE= ﹣2,PD=1,
则cos∠APD= = ﹣2