全国套中考数学试题分类汇编一次正比例函数和反比例函数的综合 46页

‎20：一次(正比例）函数和反比例函数的综合 一、选择题 ‎1.（浙江杭州3分） 如图，函数和函数的图像相交于点M（2，），N（－1，），‎ 若，则的取值范围是 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。‎ ‎【分析】根据反比例函数的自变量取值范围，1与2图象的交点横坐标，可确定1＞2时，的取 值范围：∵由图象知，函数和函数 的图象相交于点M（2，m），N（－1，n），‎ ‎∴当1＞2时，－1＜＜0或＞2。故选D。‎ ‎2.（浙江台州4分）如图，双曲线与直线交于点M、N，并 且点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于的方 程的解为 A．－3，1 B．－3，3‎ C．－1，1 D．－1，3 ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。‎ ‎【分析】根据图象信息可得关于的方程的解是双曲线与直线交点的横坐标。因此，把M的坐标(1，3)代入，得，即得双曲线表达式为。把点N的纵坐标－1代入，得，即关于的方程的解为－3，1。故选A。‎ ‎3．（辽宁丹东3分）反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数和一次函数的图象。‎ ‎【分析】根据反比例函数的图象所在的象限确定＞0。然后根据＞0确定一次函数的图象的单调性及与轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数的图象经过第一、二、三象限故选D。‎ ‎3.（山东东营3分）如图，直线和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重 合)．过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP．设△AOC的面积为．△BOD的面积为。△POE的面积为，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题。‎ ‎【分析】根据双曲线的性质，由，即在第一象限，双曲线任一点向向轴作垂线，这一点与垂足、坐标原点构成的三角形面积都等于。另一方面，由于在直线和双曲线交点范围内直线总在双曲线的上方，从而设PE交轴于F，连接OF，因为△EOF的面积与△AOC的面积、△BOD的面积都等于，△POE的面积大于△EOF的面积。因此有。故选D ‎4.（山东青岛3分）已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系 中的图象如图所示，则当1＜2时，的取值范围是 A．＜－1或0＜＜3 B．－1＜＜0或＞3‎ C．－1＜＜0 D．＞3‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一次函数与反比例函数的图象。‎ ‎【分析】1＜2，即一次函数的图象在反比例函数的图象的下方。从图象可知，当 ‎－1＜＜0或＞3时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方。故选B。‎ ‎5（广东湛江3分）在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象大致是 A、B、C、 D ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数的图象，一次函数的图象。‎ ‎【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可：∵正比例函数中，k=1＞0，∴此图象过一、三象限；∵反比例函数中，k=2＞0，∴此函数图象在一、三象限。故选B。‎ ‎6.（四川乐山3分）如图，直线 交轴、轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AF·BE=‎ ‎ A. 8 B.6 C. 4 D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】过点E作EC⊥OB于C，过点F作FD⊥OA于D，‎ ‎∵直线 交轴、轴于A、B两点，‎ ‎∴A（6，0），B（0，6）。‎ ‎∴OA=OB。∴∠ABO=∠BAO=45°。‎ ‎∴BC=CE，AD=DF。‎ ‎∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴四边形CEPN与MDFP是矩形。‎ ‎∴CE=PN，DF=PM。‎ ‎∵P是反比例函数 图象上的一点，∴PN•PM=4，∴CE•DF=4。‎ 在Rt△BCE中，BE= CE÷sin45°=CE，在Rt△ADE中，AF= DF÷sin45°=DF，‎ ‎∴AF•BE=CE•DF=2CE•DF=8。故选A。‎ ‎8.（四川眉山3分）如图，直线（b＞0）与双曲线（＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：①OA=OB，②△AOM≌△BON，③若∠AOB=45°，则S△AOB=，④当AB=时，ON－BN=1；其中结论正确的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特点和对称性，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】①②设A（1，1），B（2，2），代入中，得1•1=2•2=，‎ 联立，得2－＋=0，则1•2=，又1•1=，∴2=1。‎ 同理可得1=2。∴ON=OM，AM=BN。∴△AOM≌△BON。∴OA=OB。∴①②正确。‎ ‎③作OH⊥AB，垂足为H，‎ ‎∵OA=OB，∠AOB=45°，‎ ‎∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，‎ ‎∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=+=，正确。‎ ‎④延长MA，NB交于G点，‎ ‎∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，‎ ‎∴GB=GA，‎ ‎∴△ABG为等腰直角三角形，‎ 当AB=时，GA=GB=1，‎ ‎∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确。‎ 正确的结论有4个。故选D。‎ ‎9.（青海省3分）一次函数y=－2x+1和反比例函数y=的大致图象是 ‎ ‎ A B C D ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一次函数和反比例函数的图象特征．‎ ‎【分析】根据题意：一次函数y=-2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y= 3x过一、三象限。‎ 故选D。‎ ‎10.（辽宁鞍山3分）在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k(k≠0)与y＝(k≠0)的图象大致是 ． ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一次函数和反比例函数的图象。‎ ‎【分析】若k＞0，反比例函数y＝的图象经过一、三象限，一次函数y＝kx－k的图象经过一、四、三象限，答案中没有符合条件的结果；若k＜0，反比例函数y＝的图象经过二、四象限，一次函数y＝kx－k的图象经过二、一、四象限，答案C符合条件。故选C。‎ ‎11.（云南昭通3分）函数与（）在同一直角坐标系中的图像可能是 ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一次函数和反比例函数的图象特征。‎ ‎【分析】若，函数的图象经过一、四、三象限，函数的图象经过一、三象限，所以无适合选项；若，函数的图象经过二、一、四象限，函数的图象经过二、四象限，所以选项D适合。故选D。‎ ‎12.（贵州贵阳3分）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则的取值范围是 ‎ ‎ A、﹣1＜＜0 B、﹣1＜＜‎1 ‎ ‎ ‎ C、＜﹣1或0＜＜1 D、﹣1＜＜0或＞1‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。‎ ‎【分析】根据题意知：若，则只须1＞2，又知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点，‎ 从图象上可以看出当＜﹣1或0＜＜1时1＞2。故选C。‎ ‎13.（贵州毕节3分）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图 象大致是 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】反比例函数的图象，一次函数的图象。‎ ‎【分析】根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知＜0，两结论相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知＜0，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知＞0，两结论相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知＜0，两结论一致，故本选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知＞0，由一次函数的图象与轴交点在轴的负半轴可知＜0，两结论相矛盾，故本选项错误。故选C。‎ ‎14.（湖北宜昌3分）如图，直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集。‎ ‎【分析】因为直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围：‎ 由+2=得2+2+3﹣m=0，‎ ‎∵=+2与=有两个交点，∴方程2+2+3﹣m=0有两不相等的实数根。‎ 即△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得m＞2。‎ 又∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0。∴m＜3。‎ ‎∴m的取值范围为：2＜m＜3。‎ 故在数轴上表示为B。故选B。‎ ‎15.（湖北恩施3分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1∙k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是 ‎ ‎ A、﹣2＜x＜0或x＞1 B、﹣2＜x＜1‎ ‎ C、x＜﹣2或x＞1 D、x＜﹣2或0＜x＜1‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。‎ ‎【分析】如图，依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1∙k2≠0）的图象的交点的横坐标分别为x=﹣2或x=1，若y1＞y2，则y1的图象在y2的上面，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1．故选A。‎ 二、填空题 ‎1. （四川成都4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数满足：当时，y随x的增大而减小。若该反比例函数的图象与直线 都经过点P，且，则实数=　 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。‎ ‎【分析】∵反比例函数当＜0时，随的增大而减小，∴＞0。‎ 设P（，），则=2，+=。‎ 又∵OP2=2+2，∴2+2=7，即（+）2﹣2=7。‎ ‎∴（）2﹣4=7，解得或﹣1，‎ 而＞0，∴。‎ ‎2.（新疆乌鲁木齐4分）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标是（），则另一个交点的坐标为 ▲ 。‎ ‎【答案】（1，2）。‎ ‎【考点】反比例函数图象的对称性。‎ ‎【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可：‎ ‎∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称。‎ ‎∵一个交点的坐标是（-1，-2），∴另一个交点的坐标是（1，2）。‎ ‎3.（湖北黄石3分）若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点，则实数的取 值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】k＜。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 ‎【分析】联立，得，，整理得。‎ ‎ ∵一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点 ‎ ∴关于的一元二次方程无实数根。‎ ‎ ∴△＝1+4k＜0，解得k＜。‎ ‎4.（内蒙古乌兰察布4分）函数l= (≥0 ) , （> 0‎ ‎ ）的图象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) ② 当 > 3 ，时， ③ 当 ＝1时， BC = 8 ④ 当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2随着 的增大而减小．其中正确结论的序号是 ▲ .‎ ‎【答案】①③④。‎ ‎【考点】正比例函数和反正比例函数的图象特征。‎ ‎【分析】①由(> 0 )解得，从而。即两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 )。‎ ‎②当 > 3时，l= (≥0 ) 的图象在（> 0 ）的图象之上，所以。‎ ‎③ 当 ＝1时，l=1，，所以BC =8。‎ ‎④ 当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2随着 的增大而减小。‎ 因此，正确结论的序号是①③④。‎ 三、解答题 ‎1.（重庆綦江10分）如图，已知A （4，），B （﹣2，﹣4）是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点．‎ ‎（1）求反比例函数和一次函数的解祈式；‎ ‎（2）求△A0B的面积．‎ ‎【答案】解：（1）将A （4，），B （﹣2，﹣4）两点坐标代入中， ‎ ‎ 得4=（﹣2）×（﹣4）=，解得=2，=8。‎ 将A（4，2），B（﹣2，﹣4）代入中，得，‎ 解得。 ‎ ‎∴反比例函数解析式为，一次函数的解祈式为。‎ ‎（2）设直线AB交轴于C点，‎ 由直线AB的解析式得C（0，﹣2），‎ ‎∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，角二元一次方程。‎ ‎【分析】（1）A 根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（4，），B （﹣2，﹣4）两点代入，即可求、的值，再将A、B两点坐标代入中得方程组即可求解。‎ ‎（2）设直线AB交轴于C点，由直线AB的解析式求C点坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC求面积 ‎2.（黑龙江大庆7分）如图，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为yºC，从加热开始计算的时间为xmin．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为15ºC，加热5min达到60ºC并停止加热；停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．‎ ‎(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系，并 写出x的取值范围；‎ ‎(2)根据工艺要求，在材料温度不低于30ºC的这段时间内，需要对 该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？‎ ‎【答案】解：（1）设加热过程中一次函数表达式为 ‎∵该函数图像经过点（0，15），（5，60），‎ ‎∴ ，解得。‎ ‎∴一次函数表达式为。‎ 设加热停止后反比例函数表达式为，‎ 该函数图像经过点（5，60），∴，得。‎ ‎∴反比例函数表达式为。‎ ‎（2）由题意得： ，解得； 解得 ‎ 则。‎ 所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟。‎ ‎【考点】反比例函数和一次函数的应用，待定系数法，点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可。‎ ‎（2）分别令两个函数的函数值为30，解得两个的值相减即可得到答案。‎ ‎3.（北京5分）如图，在平面直角坐标系O中，一次函数=﹣2的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（﹣1，n）．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数=﹣2的图象上，∴n=﹣2×（﹣1）=2。‎ ‎ ∴点A的坐标为（﹣1，2）。‎ ‎ ∵点A在反比例函数的图象上，∴k=﹣2‎ ‎ ∴反比例函数的解析式是。‎ ‎ （2）点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点，待定系数法。‎ ‎【分析】（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式。 ‎ ‎ （2）以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点就是P。‎ ‎4.（天津8分）已知一次函数(b为常数)的图象与反比例函数（为常数．且）‎ 的图象相交于点P(3．1)．‎ ‎ (I) 求这两个函数的解析式；‎ ‎(II) 当>3时，试判断与的大小．井说明理由。‎ ‎【答案】解 ：(I)∵P(3．1)在一次函数一次函数上，∴1=3＋b。∴b=－2。‎ ‎ ∴一次函数的解析式为。‎ ‎ 同理，反比例函数的解析式为。‎ ‎ (II) ．理由如下：当时，，‎ ‎ 又当时．一次函数随的增大而增大．反比例函数随的增大而减小，‎ ‎ ∴当时。‎ ‎【考点】点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的性质。‎ ‎【分析】(I)因为点在曲线上点的坐标满足方程，所以利用点P在一次函数和反比例函数的图象上，把P的坐标分别代入即可求出。‎ ‎ (II)根据一次函数和反比例函数增减性的性质即可作出判断。‎ ‎5.（重庆１０分）如图，在平面直角坐标系O中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与轴交于C点，点B的坐标为（6，）．线段OA=5，E为轴上一点，且sin∠AOE=．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOC的面积．‎ ‎【答案】解：（1）过点A作AD⊥轴于D点，如图， ‎ ‎∵sin∠AOE=，OA=5，∴sin∠AOE=。‎ ‎∴AD=4，∴DO=。‎ 而点A在第二象限，∴点A的坐标为（－3，4）。‎ 将A（－3，4）代入，得=－12，‎ ‎∴所求的反比例函数的解析式为。‎ 将B（6，）代入，得=－2。‎ 将A（－3，4）和B（6，－2）分别代入，得 ‎，解得。‎ ‎∴所求的一次函数的解析式为。‎ ‎（2）在中，令，即，解得。‎ ‎∴C点坐标为（0，3），即OC=3，‎ ‎∴。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）过点A作AD⊥轴于D点，由sin∠AOE=，OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（－3，4），把A（－3，4）代入，即可确定反比例函数的解析式；将B（6，）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入，即可确定一次函数函数的解析式。‎ ‎（2）先令，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可。‎ ‎6．（重庆潼南10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．求：‎ ‎（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象写出：当为何值时，一次函数值大于反比例函数值． ‎ ‎【答案】解：（1）由图象可知：点A、B的坐标分别为（2，），（﹣1，﹣1）。‎ ‎∵反比例函数的图象经过点A（2，），‎ ‎∴把点A的坐标代入，得。‎ ‎∴反比例函数的解析式为：。‎ 又∵一次函数的图象经过点A（2，）点B（﹣1，﹣1），‎ ‎∴把点A、点B的坐标分别代入，得 ‎，解得。‎ ‎∴一次函数的解析式为。‎ ‎（2）由图象可知：当＞2或﹣1＜＜0时一次函数值大于反比例函数值。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。‎ ‎【分析】（1）由题意，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，可得出A、B两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入与，即可得出解析式。‎ ‎（2）即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，的取值范围即可。‎ ‎7.（浙江省8分）若反比例函数与一次函数的图象都经过点A（，2）‎ ‎(1)求反比例函数的解析式；‎ ‎(2) 当反比例函数的值大于一次函数的值时，求自变量的取值范围．‎ ‎【答案】解：(1)∵的图象过点A（，2），∴ =3‎ ‎∵过点A（3，2）， ∴ =6 ， ∴‎ ‎(2) 求反比例函数与一次函数的图象的交点坐标，得到方程：‎ ‎ 解得：1= 3，2= －1。 ‎ ‎∴ 另外一个交点是（－1，－6）。‎ ‎∴ 当<－1或0<<3时，。‎ ‎【考点】反比例函数和一次函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】(1)先把点A的坐标代入一次函数，求出，再把A（3，2）代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的解析式。‎ ‎ （2）求出反比例函数与一次函数的图象的交点和横坐标，根据图象即可得。‎ ‎8.（吉林长春6分）如图，平面直角坐标系中，直线与 轴交于点A，与双曲线在第一象限内交于点B，BC⊥轴于 点C，OC=2AO．求双曲线的解析式．‎ ‎【答案】解：由直线与轴交于点A的坐标为（－1，0），‎ ‎∴OA=1。‎ 又∵OC=2OA，∴OC=2。∴点B的横坐标为2。代入直线 ，得y= 。‎ ‎∴B（2， ）。‎ ‎∵点B在双曲线上，∴k==2×=3，∴双曲线的解析式为= 。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】先利用一次函数与图象的交点，再利用OC＝2AO求得C点的坐标，然后代入一次函数求得点B的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可。‎ ‎9.（广西北海8分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，BC在轴上，一次函数的图象 经过点A、C，并与y轴交于点E，反比例函数的图象经过点A．[来 ‎(1)点E的坐标是 ；‎ ‎(2)求一次函数和反比例函数的解析式；‎ ‎(3)根据图象写出当＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）（0，－2）。‎ ‎ （2）由题意得知AB∥OE，∴△ABC∽△EOC。‎ ‎ ∴，∴。‎ ‎∵点C的坐标为（4，0），‎ ‎∴把点C的坐标代入得，4－2＝0，∴。‎ ‎∴所求一次函数的解析式为。‎ 又∵点A在上，∴点A的坐标为（6，1）。‎ 又∵点A在上，∴，∴。‎ ‎∴所求反比例函数的解析式为。‎ ‎（3）当＞0时，由图象可知：当＞6时，一次函数的值大于反比例函数的值。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质，点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的图象性质。‎ ‎【分析】（1）在中令＝0，得＝－2，即得点E的坐标。‎ ‎ （2）由AB∥OE可得△ABC∽△EOC，从而根据相似三角形对应边成比例的性质可求出OC，从而得到点C的坐标。根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点C的坐标代入求得，从而得到所求一次函数的解析式。从而求出点A的坐标，代入求得，从而得到所求反比例函数的解析式。‎ ‎ （3）由图象可知，在＞0时，当＞6时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，即一次函数的值大于反比例函数的值。‎ ‎10.（广西来宾10分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A（1，4）和点B（，－2），‎ ‎（1）求这两个函数的关系式；‎ ‎（2）观察图象，写出使得1＞2成立的自变量的取值范围；‎ ‎（3）如果点C与点A关于轴对称，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】解：（1）∵函数的图象过点A（1，4），即，‎ ‎∴=4，∴反比例函数的关系式为。‎ 又∵点B（，－2）在上，‎ ‎∴=－2，∴B（－2，－2）。‎ 又∵一次函数过A、B两点，‎ ‎∴依题意，得，解得 。‎ ‎∴一次函数的关系式为。‎ ‎（2）＜－2或0＜＜1。‎ ‎（3）∵点C与点A关于轴对称，A（1，4），‎ ‎∴点C的坐标为（1，－4）。‎ ‎ 过点B作BD⊥AC于点D ‎∴AC=8，BD=3‎ ‎∴S△ABC=×AC×BD=×8×3=12。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程组，对称的性质。‎ ‎【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为，再求出B的坐标是（－2，－2），利用待定系数法求一次函数的解析式。‎ ‎（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值的取值范围＜－2或0＜＜1。 ‎ ‎（3）根据对称的性质求出点C的坐标，从而求得边AC的长和AC边上的高BD的长，因此求得△ABC的面积。‎ ‎11.（广西贵港8分）如图所示，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx－3的图象在第一象限内相交 于点A (4，m)．‎ ‎（1）求m的值及一次函数的解析式；‎ ‎（2）若直线x＝2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求 线段BC的长．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A (4，m)在反比例函数y＝的图象上，‎ ‎∴m＝＝1，∴A (4，1)。‎ 把A (4，1)代入一次函数y＝kx－3，得4x－3＝1，∴k＝1。‎ ‎∴一次函数的解析式为y＝x－3。‎ ‎（2）∵直线x＝2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，‎ ‎∴当x＝2时，yB＝＝2；yC＝2－3＝－1‎ ‎∴线段BC的长为｜yB－yC｜＝2－(－1)＝3。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的图象。‎ ‎【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，先求出点A的坐标，从而求出一次函数的解析式。‎ ‎（2）求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长。‎ ‎12.（广西柳州10分）如图，直线与双曲线在第 一象限内相交于点M，与轴交于点A．‎ ‎（1）求m的取值范围和点A的坐标；‎ ‎（2）若点B的坐标为（3，0），AM＝5，S△ABM＝8，求双曲线的函数表达式．‎ ‎【答案】解：（1）∵在第一象限内，∴m－5＞0即m＞5。‎ 又∵对直线来说，令，得即 ，‎ ‎∵，∴，即。‎ ‎∴点A的坐标为（－1，0）。‎ ‎（2） 过点M作MC⊥AB于C。‎ ‎∵点A的坐标（－1，0），点B的坐标为（3，0），‎ ‎ ∴AB＝4 ，AO＝1。‎ ‎∴S△ABM＝·AB·MC＝·4·MC＝8，∴MC＝4‎ 又∵AM＝5，∴AC＝3。 ‎ 又∵OA＝1，∴OC＝2。‎ ‎∴点M的坐标为（2，4）。‎ 把M（2，4）代入得，解得m＝13。‎ ‎∴双曲线的函数表达式。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，点的坐标与方程的关系，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据反比例函数图象的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一三象限，列出不等式求解即可；令纵坐标y等于0求出x的值，也就可以得到点A的坐标。‎ ‎（2）过点M作MC⊥AB于C，根据点A、B的坐标求出AB的长度，再根据S△ABM=8求出MC的长度，然后在Rt△ACM中利用勾股定理求出AC的长度，从而得到OC的长度，也就得到点M的坐标，然后代入反比例函数解析式求出m的值，解析式可得。‎ ‎13.（广西梧州6分）已知B（2，n）是正比例函数图象上的点．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）若某个反比例函数图象经过点B，求这个反比例函数的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）把B（2，n）代入得：n＝2×2＝4‎ ‎∴B点坐标为（2，4）。‎ ‎（2）设过B点的反比例函数解析式为，‎ 把B（2，4）代入有，。‎ ‎∴所求的反比例函数解析式为。‎ ‎【考点】点的坐标与方程的关系，待定系数法。‎ ‎【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点B的坐标代入求出n，从而得到点B的坐标。‎ ‎ （2）利用待定系数法，根据点的坐标与方程的关系即可求出。‎ ‎14.（湖南湘潭8分）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于A（1，0）、B（0，﹣1）两点，且又与反比例函数的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）求C点坐标及反比例函数的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）∵一次函数的图象与轴，轴分别交于A（1，0）、B（0，﹣1）两点，‎ ‎∴，解得。∴一次函数的解析式为。‎ ‎（2）∵C点的横坐标为2，且在一次函数的图象上，∴=2﹣1=1。则C（2，1）。‎ ‎ 又C点在反比例函数的图象上，代入即得。‎ ‎∴反比例函数的解析式为。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）将A（1，0）、B（0，﹣1）两点，代入，求得，，即可得出一次函数的解析式。‎ ‎（2）将=2代入一次函数的解析式，求得点C的纵坐标，再代入，求得，即可得出反比例函数的解析式。‎ ‎15.（湖南衡阳8分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，2)，‎ B(2，0)直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D（－1，）．‎ ‎(1)求直线AB和反比例函数的解析式；‎ ‎(2)求∠ACO的度数；‎ ‎(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，‎ 当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．‎ ‎【答案】解：(1)设直线AB的解析式为，‎ 将A(0，2)，B(2，0)代入解析式中，得 ‎，解得。‎ ‎∴直线AB的解析式为。‎ 将D（－1，）代入得，。‎ ‎∴点D坐标为（－1，）。‎ 将D（－1，）代入中得，。‎ ‎∴反比例函数的解析式为。‎ ‎(2)解方程组得，。‎ ‎∴点C坐标为（3，），‎ 过点C作CM⊥轴于点M，则在Rt△OMC中，‎ ‎，，‎ ‎∴，∴。‎ 在Rt△AOB中，=，∴。‎ ‎∴∠ACO=。‎ ‎(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，‎ ‎∴= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′==60°。‎ ‎∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°。‎ ‎∵ ∠OAB=90°－∠ABO=30°，∴∠AOB′=∠OAB，‎ ‎∴AB′= OB′=2．‎ 答：当α为60度时OC′⊥AB，此时线段AB′的长为2。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数，三角形外角定理，旋转的性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】（1）用待定系数法可求直线AB的解析式；把D点坐标代入直线AB的解析式，确定D点坐标，再代入反比例函数解析式确定m的值。‎ ‎（2）由和联立解方程组求出C点坐标（3，﹣），利用勾股定理计算出OC的长，得到OA=OC；在Rt△OAB中，利用锐角三角函数计算得到∠OAB=30°，从而得到∠ACO的度数。‎ ‎（3）由∠ACO=30°，要OC′⊥AB，则∠COC′=90°﹣30°=60°，即α=60°，得到∠BOB′=60°，而∠OBA=60°，得到△OBB′为等边三角形，于是有B′在AB上，BB′=2，即可求出AB′。‎ ‎16.（湖南岳阳3分）如图，一次函数图象与轴相交于点B，与反比例函数图象相交于点A（1，﹣6）；△AOB的面积为6．求一次函数和反比例函数的解析式．‎ ‎【答案】解：设反比例函数解析式为，‎ ‎∵点A（1，﹣6）在反比例函数图象上，∴=1×（﹣6）=﹣6。‎ ‎∴反比例函数解析式为。‎ ‎∵△AOB的面积为6．∴×OB×6=6，∴OB=2，∴B（﹣2，0）。‎ 设一次函数解析式为，‎ ‎∵图象经过A（1，﹣6），B（﹣2，0），‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴一次函数解析式为。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】根据待定系数法就可以求出反比例函数的解析式；再利用△BOA的面积求得B点的坐标，然后再利用待定系数法求出一次函数解析式。‎ ‎17.（山东烟台8分）如图，已知反比例函数（1＞0）与一次函数相交于A、B两点，AC⊥轴于点C. 若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .‎ ‎（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；‎ ‎（2）请直接写出B点的坐标，并指出当为何值时，反比例函数1的值大于一次函数2的值？‎ ‎【答案】解：（1）在Rt△OAC中，设OC＝，‎ ‎∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝2，‎ ‎∵S△OAC＝·OC·AC＝··2＝1，∴2＝1，∴＝±1（负值舍去）。‎ ‎∴A点的坐标为（1，2）。‎ 把A点的坐标代入中，得1＝2。∴反比例函数的表达式为。‎ 把A点的坐标代入中，得2＋1＝2，∴2＝1。∴一次函数的表达式。‎ ‎（2）B点的坐标为（－2，－1）。‎ 当0＜＜1和＜－2时，1＞2。‎ ‎【考点】‎ 曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的图象和性质，解方程和方程组。‎ ‎【分析】（1）由“△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝‎2”‎可求得点A的坐标，从而利用待定系数法求出两函数的关系式。‎ ‎（2）联立两函数关系式，通过解方程组可求得点B的坐标（－2，－1）；反比例函数1的值大于一次函数2的值时的值，即1的图象在2的图象的上方时，所对应图象上点的横坐标的取值范围。‎ ‎18.（山东菏泽7分）已知一次函数与反比例函数，其中一次函数的图象经过点P（k，5）．‎ ‎①试确定反比例函数的表达式；‎ ‎②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．‎ ‎【答案】解：①∵一次函数的图象经过点P（k，5），‎ ‎∴得5=k+2，解得k=3，‎ ‎∴反比例函数的表达式为。‎ ‎②联立得方程组，解得。 ‎ ‎∴第三象限的交点Q的坐标为（﹣3，﹣1）。‎ ‎【考点】点的坐标与方程的关系，解方程组。‎ ‎【分析】①根据点在直线上，点的坐标满足方程，由一次函数的图象经过点P（k，5）可以得到5=k+2，从而求出k，也就求出了反比例函数的表达式。‎ ‎②由于点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，联立得方程组，解方程组即可求解。‎ ‎19．（山东泰安10分）如图，一次函数的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数 的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的表达式；‎ ‎（2）在轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵直线过A（0，﹣2），B（1，0）两点，‎ ‎ ∴，解得。∴一次函数的表达式为。‎ ‎∴设M（m，n），作MD⊥轴于点D。‎ ‎∵，OB＝1，MD＝n，‎ ‎∴，即。‎ ‎∴ n ＝4。‎ 将M（m，4）代入得4＝2m－2，‎ ‎∴m＝3。∴M（3，4）。‎ ‎∵M（3，4）在双曲线上，∴，即。‎ ‎∴反比例函数的表达式为。‎ ‎（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交轴于点P，‎ ‎∵MD⊥BP，∴∠PMD=∠MBD=∠ABO。‎ ‎∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=。‎ ‎∴在Rt△PDM中，。∴PD=2MD=8，‎ ‎∴OP=OD+PD=11‎ ‎∴在轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）根据一次函数的图象经过A（0，﹣2），B（1，0），根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，可得到关于的方程组，从而可得到一次函数的解析式。设M（m，n）作MD⊥轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入求出m的值，由M（3，4）在双曲线上即可求出 的值，从而求出反比例函数的解析式。‎ ‎（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，从而可得出结论。‎ ‎20.（山东聊城10分）如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于 点A、B，交轴于点C．‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)若点A的坐标是(2，－4)，且＝，求的值和一 次函数的解析式．‎ ‎【答案】解：(1) ∵反比例函数的图象在第四象限，‎ ‎∴，解得。‎ ‎(2) ∵点A(2，－4)在函数图象上，‎ ‎∴，解得。‎ 过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，‎ ‎∴∠BNC=∠AMC=90°。‎ 又∵∠BCN=∠ACM，‎ ‎∵△BCN∽△ACM。∴。‎ ‎∵，∴，即。‎ ‎∵AM=4，所∴BN=1。∴点B的纵坐标是－1。‎ ‎∵点B在反比例函数的图象上，∴当时，。‎ ‎∴点B的坐标是(8．－1)。‎ ‎∵一次函数的图象过点A(2，－4)、B(8，－1)，‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴一次函数的解析式是。‎ ‎【考点】反比例函数图象的性质，点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，待定系数法，解二元一次方程组。‎ ‎【分析】(1)由反比例函数图象在在第四象限，求得。‎ ‎ （2）点A(2，－4)在函数图象上即可求出m的值。‎ 利用△BCN∽△ACM求得点B的纵坐标，然后利用点B在反比例函数的图象上，点的坐标满足方 程，求得点B的横坐标。这样由点A(2，－4)、B(8，－1)，用待定系数法即可求出一次函数的解析式。‎ ‎21.（山东临沂10分）如图，一次函数与反比例函数的图象相较于A（2，3），B（﹣3，）两点．‎ ‎（1）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；‎ ‎（3）过点B作BC⊥轴，垂足为C，求S△ABC．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A（2，3）在的图象上，∴=6。‎ ‎∴反比例函数的解析式为：。‎ ‎∴=。‎ ‎∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在上，∴解得。‎ ‎∴一次函数的解析式为：。‎ ‎（2）﹣3＜＜0或＞2。‎ ‎（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，点的坐标与方程的关系，待定系数法。‎ ‎【分析】（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相较于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象，观察即可求得答案。‎ ‎（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案。‎ ‎22.（广东河源7分） 如图，反比例函数的图像与一次函数的图象交于点A、B，其中A(1，2)．‎ ‎ (1)求的值；‎ ‎ (2)求点B的坐标,并写出时，的取值范围． ‎ ‎【答案】解： (1)∵点A在反比例函数的图像上，∴‎ ‎ ∵点A在一次函数的图像上，∴‎ ‎ (2)由(1)知，反比例函数和一次函数的关系式分别为。‎ ‎ 联立解之，得（方程组的另一解舍去）。‎ ‎ ∴点B的坐标为（2，1）。‎ ‎ ∴时，的取值范围为。‎ ‎【考点】点的坐标与方程的关系，解二元方程组，函数的图象。‎ ‎【分析】(1) 因为点在函数图象上，点的坐标满足方程，所以只要将点A的坐标分别代入函数关系式即可求出m，b的值。‎ ‎ （2）由于点B是反比例函数和一次函数的交点，从而联立方程即可求得点B的坐标。从图象得知时，一次函数图象在反比例函数图象之上，即在点A和点B之间，此时的横坐标范围为。‎ ‎23.（广东肇庆8分） 如图．一次函数的图象经过点B(，0)，且与反比例函数 (为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1，n)．求：‎ ‎(1) 一次函数和反比例函数的解析式；‎ ‎(2)当时，反比例函数的取值范围．‎ ‎【答案】解：(1) 由一次函数的图象经过点B(—1，0)可得：‎ ‎ ， 即。‎ ‎ ∴一次函数的解析式为。‎ ‎ 又∵A(1，n)在上，∴n=1+1=2。‎ ‎ 又∵A(1，2)在上，∴，即。 ‎ ‎ ∴反比例函数的解析式为。‎ ‎ （2）∵当时，；当时，，‎ ‎ 且，‎ ‎ ∴ 当时， 反比例函数的取值范围为 。 ‎ ‎【考点】点的坐标与方程的关系，反比例函数的性质。‎ ‎【分析】(1) 根据点在曲线上，点的坐标满足方程可求一次函数和反比例函数的解析式。‎ ‎ （2）求出时，根据反比例函数的性质可得答案。‎ ‎24. （河南省9分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C.‎ ‎（1）= ，= ；‎ ‎（2）根据函数图象可知，当＞时，的取值范围是 ；‎ ‎（3）过点A作AD⊥轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标.‎ ‎【答案】解：（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于点 ‎∴，即；‎ ‎，即=16。‎ ‎（2）由（1）得两函数关系式：，，‎ 联立，可得。即A（4，4）。‎ ‎∵一次函数与反比例函数的图象交于点A（4， 4）和B（﹣8，﹣2），‎ ‎∴当＞时，的取值范围是﹣8＜＜0或＞4。‎ ‎（3）在中，令，得。即点C的坐标是（0，2）。‎ ‎∴CO=2，AD=OD=4。‎ ‎∴S四边形ODAC。‎ ‎∵S梯形ODAC：S△ODE=3：1，∴S△ODE = S梯形ODA=4，即OD•DE=4。‎ ‎∴DE=2。∴点E的坐标为（4，2）。‎ 又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是。‎ ‎∴联立，，得或（舍去）。‎ ‎∴直线OP与的图象在第一象限内的交点P的坐标为（，）。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）把B点的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出、的值。‎ ‎（2）先求出一次函数与反比例函数的图象的交点坐标，即可求出当＞时，的取值范围。‎ ‎（3）先求出四边形OADC的面积，从而求出DE的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线OP的解析式即可得出点P的坐标。‎ ‎25. （四川成都10分）如图，已知反比例函数的图象经过点P (，8)，直线经过该反比例函数图象上的Q(4，)．‎ ‎ (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；‎ ‎ (2)设该直线与轴、轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．‎ ‎【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点(，8)，‎ ‎∴。∴反比例函数为。‎ ‎∵点Q(4，)在反比例函数的图象上，∴ ∴Q（4,1）。‎ ‎∵直线经过点Q（4,1），∴，即。‎ ‎∴一次函数为。‎ ‎（2）由，消去，得，即，‎ ‎∴，∴。‎ ‎∴。∴点P的坐标为（1,4）。‎ 由直线与x轴相交于A点，得A点的坐标为（5,0）。‎ ‎∴S△OPQ=S△OAP﹣S△OAQ ==。‎ ‎【考点】反比例函数综合题。‎ ‎【分析】（1）把点(，8)代入反比例函数，确定反比例函数的解析式为；再把点Q(4，)代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线，即可确定的值。‎ ‎（2）把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；对于，令=0，求出A点坐标，然后根据S△OPQ=S△OAP﹣S△OAQ进行计算即可。‎ ‎26.（四川资阳8分）如图，已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=－x+b的图象分别交于A(1，3)、B两点．‎ ‎(1) 求m、b的值；(2分)‎ ‎(2) 若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S=S2 –S1，求S的最大值．(6分)‎ ‎【答案】解：(1) 把A(1，3)的坐标分别代入y=、y=－x+b，可求得m=3，b=4。‎ ‎(2) 由(1)知，反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=－x+4．‎ ‎∵ 直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，‎ ‎∴ 可设点M的坐标为(x，)，点N的坐标为(x，－x+4)，其中，x>0。‎ 又∵ MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，∴ 四边形MDOC、NEOC都是矩形。‎ ‎∴ S1=x·=3，S2=x·(－x+4)=－x2+4x。‎ ‎∴ S=S2 –S1=(－x2+4x)－3=－(x－2)2+1，其中，x>0。‎ ‎∴ 当x=2时，S取得最大值，其最大值为1。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的判定和性质，二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1) 根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A(1，3)的坐标分别代入y=、y=－x+b即可求。‎ ‎ （2）求出双曲线和直线方程，设点M的坐标为(x，)，点N的坐标为(x，－x+4)，把S1、S2用x的代数式表示，用二次函数的最值性质即可求。‎ ‎27.（四川宜宾7分）如图，一次函数的图象与反比例函数y1= – ( x<0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x<–1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值.‎ (1) 求一次函数的解析式；‎ (2) 设函数y2= (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象关于y 轴对称.在y2= (x>0)的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.‎ ‎【答案】解：（1）∵x< –1时，一次函数值大于反比例函数值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值。‎ ‎∴A点的横坐标是–1。∴A（–1，3）。 ‎ 设一次函数解析式为y= kx+b，因直线过A、C ‎ 则 ，解之得： 。‎ ‎ ∴一次函数解析式为y= –x+2。‎ ‎（2）∵y2 = (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象y轴对称，∴y2 = (x>0) 。‎ ‎ ∵B点是直线y= –x+2与y轴的交点，∴B (0，2) 。‎ ‎ 设P（n， )，n>2 ， S四边形BCQP –S△BOC =2。‎ ‎∴( 2+ )n– ´2´2 = 2，n = 。∴P（，）。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质。‎ ‎【分析】（1）根据x＜-1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞-1时候，一次函数值小于反比例函数值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可。‎ ‎（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P的坐标即可。‎ ‎28.（四川攀枝花8分）如图,已知反比例函数 (是常数，≠0)，一次函数 (、为常数，≠0)，其中一次函数与轴，轴的交点分别是A(－4，0)，B(0，2). (1)求一次函数的关系式；‎ ‎(2)反比例函数图像上有一点P满足：①PA⊥轴；②PO=(O为坐标原点)，求反比例函数的关系式；‎ ‎(3)求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图像上.‎ ‎【答案】解：（1）∵一次函数与轴，轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2），‎ ‎∴，解得。∴一次函数的关系式为：。‎ ‎（2）设P（﹣4，），则，解得： =±1。‎ 由题意知 =﹣1， =1舍去。‎ ‎∴把P（﹣4，﹣1）代入反比例函数，得。‎ ‎∴反比例函数的关系式为：。‎ ‎（3）∵P（﹣4，﹣1），∴关于原点的对称点Q的坐标为Q（4，1）。‎ ‎∵把Q（4，1）代入反比例函数关系式成立，‎ ‎∴Q在该反比例函数的图象上。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，关于原点的对称点的特征。‎ ‎【分析】（1）用待定系数法即可得出一次函数的解析式。‎ ‎（2）先求出P点的坐标，然后用待定系数法即可求出反比例函数解析式。‎ ‎（3）先求出P关于原点对称的点Q的坐标，然后代入反比例函数验证即可。‎ ‎29.（四川广安8分）如图所示，直线的方程为，直线的方程为，且两直线相交于点P，过点P的双曲线与直线的另一交点为Q（3，m）．‎ ‎（1）求双曲线的解析式．‎ ‎（2）根据图象直接写出不等式的解集．‎ ‎【答案】解：（1）联立列方程组得，解得，即P。‎ ‎∴。∴双曲线的解析式。‎ ‎（2）或。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，不等式的图象解法。‎ ‎【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，列方程组求得点P的坐标而求得双曲线的解析式。‎ ‎ （2）不等式的解集，可看作的图象在的图象上方时，横坐标的范围。‎ A B O x y ‎30.（四川绵阳12分）右图中曲线是反比例函数的图象的一支．‎ ‎（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？‎ ‎（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴 交于点B，△AOB的面积为2，求的值．‎ ‎【答案】解：（1）这个反比例函数图象的另一支位于第四象限。‎ 由 + 7＜0，解得＜－7，即常数的取值范围是＜－7。‎ ‎（2）在中，令= 0，得= 2，即OB = 2。‎ 过A作x轴的垂线，垂足为C，如图。‎ ‎ ∵ S△AOB = 2，即OB · AC = 2，‎ ‎ ∴ ×2×AC = 2，解得AC = 2，即A点的纵坐标为2。‎ 把= 2代入中，得=－1，即A（－1，2）．所以 ，得=－9。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，反比例函数的图象特征，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以+7＜0即可求解。‎ ‎（2）由△AOB的面积求出A点的纵坐标，代入求出横坐标，代入即可求出的值。‎ A B C O x y ‎31.（安徽省12分）如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(2，1)、B，与y轴交于点C(0，3)．‎ ‎(1)求函数y1的表达式和点B的坐标；‎ ‎(2)观察图象，比较当x＞0时y1与y2的大小．‎ ‎【答案】解：(1)由题意，得 解得 。 ∴ 。‎ ‎ 。∴。‎ ‎ 设点B的坐标为则 ，解得 。‎ ‎ ∴点B的坐标为（1, 2）。‎ ‎ （2）当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2;‎ ‎ 当1＜x＜2时，y1＞y2; ‎ ‎ 当x=1或x=2时，y1=y2。‎ ‎【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，二元方程组，一次函数和二次函数图象。‎ ‎【分析】(1)由点A、C在函数y1＝k1x＋b的图象上，点A、C的坐标满足y1＝k1x＋b，从而求出k1的值和一次函数表达式。由点A在函数的图象上，点A坐标满足y1＝k1‎ x＋b，从而求出k2的值和反比例函数表达式。由点B在函数和上，联立方程组，即可求得点B的坐标。‎ ‎ （2）由图象知，当0＜x＜1或x＞2时，的图象在的图象之上，即y1＜y2;‎ ‎ 当1＜x＜2时，的图象在的图象之上，即y1＞y2; 当x=1或x=2时，的图象和的图象相交，即y1=y2。‎ ‎32.（贵州安顺10分）如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥轴于点B，△AOB的面积为2．若直线经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，－2）．‎ ‎（1）求直线的解析式；‎ ‎（2）设直线与轴交于点M，求AM的长．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A（－1，m）在第二象限内，∴AB = m，OB = 1，∴‎ 即：，解得。∴A (－1,4)。‎ ‎∵点A (－1,4)，在反比例函数的图像上，∴4 =，解得。‎ ‎∴反比例函数为。‎ 又∵反比例函数的图像经过C（n，），‎ ‎∴，解得，∴C (2,－2)。‎ ‎∵直线过点A (－1,4)，C (2,－2)‎ ‎∴ 解方程组得 ‎ ‎∴直线的解析式为 。‎ ‎（2）当y = 0时，即解得，即点M（1，0）‎ 在Rt△ABM中，∵AB = 4，BM = BO +OM = 1+1 = 2，‎ 由勾股定理得AM=。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次方程和二元一次方程组，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据点A的横坐标与△AOB的面积求出AB的长度，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点C的坐标，根据点A与点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式。‎ ‎（2）根据直线的解析式，取y=0，求出对应的的值，得到点M的坐标，然后求出BM的长度，在△ABM中利用勾股定理即可求出AM的长度。‎ ‎33.（福建泉州9分）如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（5，1）和A1．‎ ‎（1）求这两个函数的关系式；‎ ‎（2）由反比例函数 的图象特征可知：点A和A1关于直线对称．请你根据图象，填写点A1的坐标及时的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A（5，1）是一次函数图象与反比例函数图象的交点，‎ ‎∴－5＋=1， ，即=6，=5。‎ ‎∴两个函数的关系式为，。‎ ‎（2）由函数图象可知A1（1，5）。‎ 当时， 0＜＜1或＞5。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数图象的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质。‎ ‎【分析】（1）将点A（5，1）分别代入一次函数与反比例函数中，可求、的值，从而求得两个函数解析式。‎ ‎（2）抛物线关于直线轴对称，所以直接根据图象，可写点A1的坐标。根据的图象的位置关系，可得下方时的取值范围。‎ ‎34.（福建厦门8分）已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A(－1，‎ m)、B(－4，n)．‎ O x y ‎4‎ ‎－4‎ ‎4‎ ‎－4‎ ‎(1)求一次函数的关系式；‎ ‎(2)在给定的直角坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答：‎ 当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？‎ ‎【答案】解：（1）把A点坐标代入反比例函数解析式得，。 ‎ 把B点坐标代入反比例函数解析式得，。‎ ‎∴A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1），‎ 代入一次函数得，，解得。‎ ‎∴一次函数的关系式为：。‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎ ‎ ‎∵由函数图象可知，当＜﹣4或﹣1＜＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，‎ ‎∴当＜﹣4或﹣1＜＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）先把A、B两点坐标代入反比例函数解析式即可求出、的值，可得出A、B两点的坐标，再把A、B两点的坐标代入一次函数的关系式即可求出、的值，从而得出其关系式。‎ ‎（2）利用描点法在坐标系内画出两函数的图象，再利用数形结合进行解答即可。‎ ‎35.（浙江舟山、嘉兴6分）如图，已知直线经过点P（，），点 P关于轴的对称点P′在反比例函数（）的图象上．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）直接写出点P′的坐标；‎ ‎（3）求反比例函数的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）把（﹣2，）代入中，得 ‎=﹣2×（﹣2）=4，∴=4。‎ ‎ （2）∵P点的坐标是（﹣2，4），‎ ‎ ∴点P关于轴的对称点P′的坐标是（2，4）；‎ ‎ （3）把P′（2，4）代入函数式= ，得4= ，∴=8 。‎ ‎ ∴反比例函数的解析式是=．‎ ‎【考点】待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，对称的性质。‎ ‎【分析】（1）把（﹣2，）代入=﹣2中即可求。‎ ‎ （2）坐标系中任一点关于轴对称的点的坐标，其中横坐标等于原来点横坐标的相反数，纵坐标不变。‎ ‎ （3）把P′代入=中，求出，即可得出反比例函数的解析式。‎ ‎36.（湖北襄阳5分）已知直线与双曲线交于点P （﹣1，n）．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若点A （1，1），B（2，2）在双曲线上，且1＜2＜0，试比较1，2的大小．‎ ‎【答案】解：（1）∵点P（﹣1，n）在直线上，∴n=﹣3×（﹣1）=3。‎ ‎∵点P（﹣1，3）在双曲线上，∴m﹣5=﹣3，解得，m=﹣2。‎ ‎（2）∵m﹣5=﹣3＜0，‎ ‎∴当＜0时，随x的增大而增大。‎ ‎∵点A（1，1），B（2，2）在函数上，且1＜2＜0，‎ ‎∴1＜2。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征。‎ ‎【分析】（1）根据点P（﹣1，n）在直线上求出n的值，然后根据P点在双曲线上求出m的值。‎ ‎（2）首先判断出m﹣5正负，然后根据反比例函数的性质，当1＜2＜0时，判断出1，2的大小。‎ ‎37.（山西省7分）)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥轴于点E。已知C点的坐标是(6，)，DE=3．‎ ‎（1）求反比例函数与一次函数的解析式。‎ ‎（2）根据图象直接回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?‎ ‎【答案】解：（1）点C（6，－1）在反比例函数的图象上，∴=－6，‎ ‎∴反比例函数的解析式。‎ ‎∵点D在反比例函数上，且DE=3，∴=－2。∴点D的坐标为（－2，3）。‎ ‎∵C、D两点在直线上，∴，解得 。‎ ‎∴一次函数的解析式为。‎ ‎（2）由图象，得当x＜-2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 ‎【分析】（1）根据题意，可得出A、B两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入与，即可得出解析式。‎ ‎（2）求当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，的取值范围即可。‎ ‎38.（内蒙古呼和浩特8分）在同一直角坐标系中反比例函数的图象与一次函数 的图象相交，且其中一个交点A的坐标为（–2，3），若一次函数的图象又与x轴相交于点B，且△AOB的面积为6（点O为坐标原点）.求一次函数与反比例函数的解析式.‎ ‎【答案】解：将点A（－2，3）代入中得：，∴。‎ ‎ ∴反比例函数的解析式为。‎ 又∵△AOB的面积为6，∴。 ∴∴|OB|=4。‎ ‎∴B点坐标为（4，0）或（－4，0）。‎ ‎①当B（4，0）时，又∵点A（－2，3）是两函数图象的交点，‎ ‎∴代入中得，解得。∴。‎ ‎②当B（－4，0）时，又∵点A（—2，3）是两函数图象的交点，‎ ‎∴代入中得，解得。 ∴。‎ 综上所述，一次函数的解析式为或。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】将点A（﹣2，3）代入中得，得到=﹣2×3=﹣6，即得到反比例函数的解析式；由△AOB的面积为6，求出OB，得到B点坐标为（4，0）或（﹣4，0），然后分类讨论：一次函数过（﹣2，3）和（4，0）或一次函数过（﹣2，3）和（﹣4，0），利用待定系数法求出一次函数的解析式。‎ ‎39.（四川内江10分）如图，正比例函数与反比例函数相交于A、B点．已知点A的坐标为A（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4．过点A的一次函数与反比例函数的图象交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）．‎ ‎（1）求正比例函数、反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）结合图象，求出当时的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）∵S△BDO=4．∴=2×4=8，∴反比例函数解析式；。‎ ‎∵点A（4，n）在反比例函数图象上，∴4n=8，n=2。∴A点坐标是（4，2）。‎ ‎∵A点（4，2）在正比例函数图象上，∴2=·4，。‎ ‎∴正比例函数解析式是：。‎ ‎∵一次函数过点A（4，2），E（5，0），‎ ‎∴，解得。∴一次函数解析式为。‎ ‎（2）由=解得另一交点C的坐标是（1，8）。‎ 点A（4，2）和点B关于原点中心对称，∴B（－4，－2），D（－4，0）。‎ ‎∴由观察可得当时x的取值范围是：x＜－4或1＜x＜4。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）首先根据△BOD的面积求出反比例函数解析式；再利用反比例函数图象上的点的特征求出A点坐标，由于正比例函数经过A点；再利用待定系数法求出正比例函数解析式；一次函数过点A（4，2），E（5，0），再次利用待定系数法求出一次函数解析式。‎ ‎（2）点C是一次函数与反比例函数解析式的交点，用方程=先求出C的坐标，再求出D点坐标，最后结合图象可以看出答案。‎ ‎40.（四川雅安10分）如图，过轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥轴于C，四边形OABC面积为4．‎ ‎（1）求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求点D的坐标；‎ ‎（3）当在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）‎ ‎【答案】解：（1）设反比例函数的解析式，‎ ‎∵图象经过点（﹣2，3），∴，即。‎ ‎∴反比例函数解析式为。‎ 又∵四边形OABC面积为4，∴（OA+BC）OC=8。‎ ‎∵BC=3，OC=2，∴OA=1。∴A（0，1）‎ 设一次函数的解析式为，将A、B两点代入得 ‎，解得。‎ ‎∴一次函数的解析式为 ‎（2）联立组成方程组得，解得=﹣2或3。‎ ‎∴点D（3，﹣2）。‎ ‎（3）＜﹣2或0＜＜3。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与议程伯关系。‎ ‎【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式，由四边形OABC面积为4求出A点坐标，再由待定系数法求出一次函数的解析式。‎ ‎（2）两个解析式联立，求得点D的坐标即可。‎ ‎（3）一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围在函数图象上反映为一次函数的图象在反比例函数的的图象的上方时横坐标的范畴。‎ ‎41.（四川巴中10分） 如图所示，若一次函数和反比例函数的图象都经过点A(1，1)，且直线与y轴交于点D，与反比例函数的另一个交点为B．‎ ‎ (1)求反比例函数的解析式；‎ ‎ (2)在y轴正半轴上存在一点C．使得，求点C的坐标。‎ ‎【答案】解：（1）∵的图象经过点A(1，1)，∴。‎ ‎∴反比例函数的解析式为。‎ ‎（2）联立方程组，‎ ‎∴，∴。解得。∴。‎ ‎∴B( )。‎ 易求D（）,令C()()‎ ‎。‎ 解得。∴C点坐标为(0,7)。‎ ‎【考点】一次函数和反比例函数图象的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程。‎ ‎【分析】（1）由的图象经过点A(1，1)，即可求出，从而求出反比例函数的解析式。‎ ‎ （2）联立方程组，求出点B的坐标，根据即可求出点C的坐标。‎ ‎42.(四川德阳10分) 如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为(2，)．‎ ‎(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；‎ ‎(2)直线与轴相交于点C，点C关于轴的对称点为，求△的外接圆的周长．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A(2，)在直线上，∴。∴点A(2，)。‎ 又∵点A(2，)在函数的图象上，∴。‎ ‎∴反比例函数的解析式为。‎ 解方程组，得，。∴点B的坐标为。‎ ‎（2）∵直线与轴的交点C的坐标为（1,0），‎ ‎∴点C关于轴的对称点的坐标为。‎ 连接，‎ ‎∵B,,C(1，0)，‎ ‎∴⊥轴于，且=2，=2。‎ ‎∴△是等腰直角三角形。∴BC=。‎ ‎∴△的外接圆的半径为。∴△的外接圆的周长=。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形外接圆的性质。‎ ‎【分析】（1）由点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，易求出反比例函数的解析式和点B的坐标。‎ ‎（2）根据对称的性质，求出的坐标即可判断△是等腰直角三角形，由勾股定理求出BC，即可得到外接圆的半径，从而求出外接圆的周长。‎ ‎43.（甘肃兰州7分）如图，一次函数的图像与反比例函数（＞0）的图像交于点P，PA⊥轴于点A，PB⊥轴于点B.一次函数的图像分别交轴、轴于点C、点D，且=27，=.‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求一次函数与反比例函数的表达式；‎ ‎（3）根据图像写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？‎ ‎【答案】解：（1）∵一次函数与轴相交于点D，‎ ‎∴D（0，3）‎ ‎（2）在Rt△COD和Rt△CAP中，由Rt△COD∽Rt△CAP，‎ ‎=，OD=3，得AP=6，OB=6。∴DB=9。‎ 在Rt△DBP中，∵=27，即，∴BP=6，P（6，－6）。‎ ‎∵点P在一次函数图象上，∴，。‎ ‎∴一次函数的解析式为：。‎ ‎∵点P在反比例函数图象上，∴，。‎ ‎∴一次函数的解析式为：。‎ ‎（3）根据图象可得：当＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据一次函数与y轴的交点，得出D点的坐标。‎ ‎（2）根据在Rt△COD和Rt△CAP中，=，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果。‎