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  • 2021-05-13 发布

中考数学试题分类汇编考点30:切线的性质和判定

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中考数学试题分类汇编:考点 30 切线的性质和判定 一.选择题(共 11 小题) 1.(2018•哈尔滨)如图,点 P 为⊙O 外一点,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PO 交⊙O 于点 B,∠P=30°,OB=3,则线段 BP 的长为( ) A.3 B.3 C.6 D.9 【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,进而利用直角三角形的性质得出 OP 的长. 【解答】解:连接 OA, ∵PA 为⊙O 的切线, ∴∠OAP=90°, ∵∠P=30°,OB=3, ∴AO=3,则 OP=6, 故 BP=6﹣3=3. 故选:A. 2.(2018•眉山)如图所示,AB 是⊙O 的直径,PA 切⊙O 于点 A,线段 PO 交⊙ O 于点 C,连结 BC,若∠P=36°,则∠B 等于( ) A.27° B.32° C.36° D.54° 【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,再利用三角形内角和定理得出∠ AOP=54°,结合圆周角定理得出答案. 【解答】解:∵PA 切⊙O 于点 A, ∴∠OAP=90°, ∵∠P=36°, ∴∠AOP=54°, ∴∠B=27°. 故选:A. 3.(2018•重庆)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,PD 与 ⊙O 相切于点 D,过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C,若⊙O 的半径为 4, BC=6,则 PA 的长为( ) A.4 B.2 C.3 D.2.5 【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°,再利用相似三角形的判定与性质 分析得出答案. 【解答】解:连接 DO, ∵PD 与⊙O 相切于点 D, ∴∠PDO=90°, ∵∠C=90°, ∴DO∥BC, ∴△PDO∽△PCB, ∴ = = = , 设 PA=x,则 = , 解得:x=4, 故 PA=4. 故选:A. 4.(2018•福建)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 与⊙O 相切于点 B,AC 交⊙O 于 点 D,若∠ACB=50°,则∠BOD 等于( ) A.40° B.50° C.60° D.80° 【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°,根据直角三角形的性质求出∠A,根据 圆周角定理计算即可. 【解答】解:∵BC 是⊙O 的切线, ∴∠ABC=90°, ∴∠A=90°﹣∠ACB=40°, 由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=80°, 故选:D. 5.(2018•泸州)在平面直角坐标系内,以原点 O 为圆心,1 为半径作圆,点 P 在直线 y= 上运动,过点 P 作该圆的一条切线,切点为 A,则 PA 的最小 值为( ) A.3 B.2 C. D. 【分析】如图,直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 D,作 OH⊥CD 于 H,先利用一次解析式得到 D(0,2 ),C(﹣2,0),再利用勾股定理可 计算出 CD=4,则利用面积法可计算出 OH= ,连接 OA,如图,利用切线的性 质得 OA⊥PA,则 PA= ,然后利用垂线段最短求 PA 的最小值. 【解答】解:如图,直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 D,作 OH ⊥CD 于 H, 当 x=0 时,y= x+2 =2 ,则 D(0,2 ), 当 y=0 时, x+2 =0,解得 x=﹣2,则 C(﹣2,0), ∴CD= =4, ∵ OH•CD= OC•OD, ∴OH= = , 连接 OA,如图, ∵PA 为⊙O 的切线, ∴OA⊥PA, ∴PA= = , 当 OP 的值最小时,PA 的值最小, 而 OP 的最小值为 OH 的长, ∴PA 的最小值为 = . 故选:D. 6.(2018•泰安)如图,BM 与⊙O 相切于点 B,若∠MBA=140°,则∠ACB 的度 数为( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 【分析】连接 OA、OB,由切线的性质知∠OBM=90°,从而得∠ABO=∠BAO=50°, 由内角和定理知∠AOB=80°,根据圆周角定理可得答案. 【解答】解:如图,连接 OA、OB, ∵BM 是⊙O 的切线, ∴∠OBM=90°, ∵∠MBA=140°, ∴∠ABO=50°, ∵OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO=50°, ∴∠AOB=80°, ∴∠ACB= ∠AOB=40°, 故选:A. 7.(2018•深圳)如图,一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,A 为 60° 角与直尺交点,AB=3,则光盘的直径是( ) A.3 B. C.6 D. 【分析】设三角板与圆的切点为 C,连接 OA、OB,由切线长定理得出 AB=AC=3、 ∠OAB=60°,根据 OB=ABtan∠OAB 可得答案. 【解答】解:设三角板与圆的切点为 C,连接 OA、OB, 由切线长定理知 AB=AC=3,OA 平分∠BAC, ∴∠OAB=60°, 在 Rt△ABO 中,OB=ABtan∠OAB=3 , ∴光盘的直径为 6 , 故选:D. 8.(2018•重庆)如图,△ABC 中,∠A=30°,点 O 是边 AB 上一点,以点 O 为 圆心,以 OB 为半径作圆,⊙O 恰好与 AC 相切于点 D,连接 BD.若 BD 平分∠ ABC,AD=2 ,则线段 CD 的长是( ) A.2 B. C. D. 【分析】连接 OD,得 Rt△OAD,由∠A=30°,AD=2 ,可求出 OD、AO 的长; 由 BD 平分∠ABC,OB=OD 可得 OD 与 BC 间的位置关系,根据平行线分线段成比例定理,得结论. 【解答】解:连接 OD ∵OD 是⊙O 的半径,AC 是⊙O 的切线,点 D 是切点, ∴OD⊥AC 在 Rt△AOD 中,∵∠A=30°,AD=2 , ∴OD=OB=2,AO=4, ∴∠ODB=∠OBD,又∵BD 平分∠ABC, ∴∠OBD=∠CBD ∴∠ODB=∠CBD ∴OD∥CB, ∴ 即 ∴CD= . 故选:B. 9.(2018•湘西州)如图,直线 AB 与⊙O 相切于点 A,AC、CD 是⊙O 的两条弦, 且 CD∥AB,若⊙O 的半径为 5,CD=8,则弦 AC 的长为( ) A.10 B.8 C.4 D.4 【分析】由 AB 是圆的切线知 AO⊥AB,结合 CD∥AB 知 AO⊥CD,从而得出 CE=4, Rt△COE 中求得 OE=3 及 AE=8,在 Rt△ACE 中利用勾股定理可得答案. 【解答】解:∵直线 AB 与⊙O 相切于点 A, ∴OA⊥AB, 又∵CD∥AB, ∴AO⊥CD,记垂足为 E, ∵CD=8, ∴CE=DE= CD=4, 连接 OC,则 OC=OA=5, 在 Rt△OCE 中,OE= = =3, ∴AE=AO+OE=8, 则 AC= = =4 , 故选:D. 10.(2018•宜昌)如图,直线 AB 是⊙O 的切线,C 为切点,OD∥AB 交⊙O 于 点 D,点 E 在⊙O 上,连接 OC,EC,ED,则∠CED 的度数为( ) A.30° B.35° C.40° D.45° 【分析】由切线的性质知∠OCB=90°,再根据平行线的性质得∠COD=90°,最后 由圆周角定理可得答案. 【解答】解:∵直线 AB 是⊙O 的切线,C 为切点, ∴∠OCB=90°, ∵OD∥AB, ∴∠COD=90°, ∴∠CED= ∠COD=45°, 故选:D. 11.(2018•无锡)如图,矩形 ABCD 中,G 是 BC 的中点,过 A、D、G 三点的圆 O 与边 AB、CD 分别交于点 E、点 F,给出下列说法:(1)AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心;(2)AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心;(3)BC 与圆 O 相切,其中正 确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】连接 DG、AG,作 GH⊥AD 于 H,连接 OD,如图,先确定 AG=DG,则 GH 垂直平分 AD,则可判断点 O 在 HG 上,再根据 HG⊥BC 可判定 BC 与圆 O 相 切;接着利用 OG=OG 可判断圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点;然后根据四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形可判断 AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心. 【解答】解:连接 DG、AG,作 GH⊥AD 于 H,连接 OD,如图, ∵G 是 BC 的中点, ∴AG=DG, ∴GH 垂直平分 AD, ∴点 O 在 HG 上, ∵AD∥BC, ∴HG⊥BC, ∴BC 与圆 O 相切; ∵OG=OG, ∴点 O 不是 HG 的中点, ∴圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点; 而四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形, ∴AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心; ∴(1)错误,(2)(3)正确. 故选:C. 二.填空题(共 14 小题) 12.(2018•安徽)如图,菱形 ABOC 的边 AB,AC 分别与⊙O 相切于点 D,E.若 点 D 是 AB 的中点,则∠DOE= 60 °. 【分析】连接 OA,根据菱形的性质得到△AOB 是等边三角形,根据切线的性质 求出∠AOD,同理计算即可. 【解答】解:连接 OA, ∵四边形 ABOC 是菱形, ∴BA=BO, ∵AB 与⊙O 相切于点 D, ∴OD⊥AB, ∵点 D 是 AB 的中点, ∴直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线, ∴OA=OB, ∴△AOB 是等边三角形, ∵AB 与⊙O 相切于点 D, ∴OD⊥AB, ∴∠AOD= ∠AOB=30°, 同理,∠AOE=30°, ∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°, 故答案为:60. 13.(2018•连云港)如图,AB 是⊙O 的弦,点 C 在过点 B 的切线上,且 OC⊥ OA,OC 交 AB 于点 P,已知∠OAB=22°,则∠OCB= 44° . 【分析】首先连接 OB,由点 C 在过点 B 的切线上,且 OC⊥OA,根据等角的余 角相等,易证得∠CBP=∠CPB,利用等腰三角形的性质解答即可. 【解答】解:连接 OB, ∵BC 是⊙O 的切线, ∴OB⊥BC, ∴∠OBA+∠CBP=90°, ∵OC⊥OA, ∴∠A+∠APO=90°, ∵OA=OB,∠OAB=22°, ∴∠OAB=∠OBA=22°, ∴∠APO=∠CBP=68°, ∵∠APO=∠CPB, ∴∠CPB=∠ABP=68°, ∴∠OCB=180°﹣68°﹣68°=44°, 故答案为:44° 14.(2018•泰州)如图,△ABC 中,∠ACB=90°,sinA= ,AC=12,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△A'B'C,P 为线段 A′B'上的动点,以点 P 为圆心,PA′ 长为半径作⊙P,当⊙P 与△ABC 的边相切时,⊙P 的半径为 或 . 【分析】分两种情形分别求解:如图 1 中,当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时,如 图 2 中,当⊙P 与 AB 相切于点 T 时, 【解答】解:如图 1 中,当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时,连接 PQ. 设 PQ=PA′=r, ∵PQ∥CA′, ∴ = , ∴ = , ∴r= . 如图 2 中,当⊙P 与 AB 相切于点 T 时,易证 A′、B′、T 共线, ∵△A′BT∽△ABC, ∴ = , ∴ = , ∴A′T= , ∴r= A′T= . 综上所述,⊙P 的半径为 或 . 15.(2018•宁波)如图,正方形 ABCD 的边长为 8,M 是 AB 的中点,P 是 BC 边上的动点,连结 PM,以点 P 为圆心,PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时,BP 的长为 3 或 4 . 【分析】分两种情形分别求解:如图 1 中,当⊙P 与直线 CD 相切时;如图 2 中 当⊙P 与直线 AD 相切时.设切点为 K,连接 PK,则 PK⊥AD,四边形 PKDC 是矩 形; 【解答】解:如图 1 中,当⊙P 与直线 CD 相切时,设 PC=PM=m. 在 Rt△PBM 中,∵PM2=BM2+PB2, ∴x2=42+(8﹣x)2, ∴x=5, ∴PC=5,BP=BC﹣PC=8﹣5=3. 如图 2 中当⊙P 与直线 AD 相切时.设切点为 K,连接 PK,则 PK⊥AD,四边形 PKDC 是矩形. ∴PM=PK=CD=2BM, ∴BM=4,PM=8, 在 Rt△PBM 中,PB= =4 . 综上所述,BP 的长为 3 或 4 . 16.(2018•台州)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的点,过点 C 作⊙O 的 切线交 AB 的延长线于点 D.若∠A=32°,则∠D= 26 度. 【分析】连接 OC,根据圆周角定理得到∠COD=2∠A,根据切线的性质计算即可. 【解答】解:连接 OC, 由圆周角定理得,∠COD=2∠A=64°, ∵CD 为⊙O 的切线, ∴OC⊥CD, ∴∠D=90°﹣∠COD=26°, 故答案为:26. 17.(2018•长沙)如图,点 A,B,D 在⊙O 上,∠A=20°,BC 是⊙O 的切线,B 为切点,OD 的延长线交 BC 于点 C,则∠OCB= 50 度. 【分析】由圆周角定理易求∠BOC 的度数,再根据切线的性质定理可得∠ OBC=90°,进而可求出求出∠OCB 的度°° 【解答】解: ∵∠A=20°, ∴∠BOC=40°, ∵BC 是⊙O 的切线,B 为切点, ∴∠OBC=90°, ∴∠OCB=90°﹣40°=50°, 故答案为:50. 18.(2018•香坊区)如图,BD 是⊙O 的直径,BA 是⊙O 的弦,过点 A 的切线 交 BD 延长线于点 C,OE⊥AB 于 E,且 AB=AC,若 CD=2 ,则 OE 的长为 . 【分析】根据题意,利用三角形全等和切线的性质、中位线,直角三角形中 30° 角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得 OE 的长. 【解答】解:连接 OA、AD,如右图所示, ∵BD 是⊙O 的直径,BA 是⊙O 的弦,过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C,OE⊥ AB 于 E, ∴∠DAB=90°,∠OAC=90°, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, 在△ACO 和△BAD 中, , ∴△ACO≌△BAD(ASA), ∴AO=AD, ∵AO=OD, ∴AO=OD=AD, ∴△AOD 是等边三角形, ∴∠ADO=∠DAO=60°, ∴∠B=∠C=30°,∠OAE=30°,∠DAC=30°, ∴AD=DC, ∵CD=2 , ∴AD=2 , ∴点 O 为 AD 的中点,OE∥AD,OE⊥AB, ∴OE= , 故答案为: . 19.(2018•山西)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点 D 是 AB 的中点,以 CD 为直径作⊙O,⊙O 分别与 AC,BC 交于点 E,F,过点 F 作⊙O 的 切线 FG,交 AB 于点 G,则 FG 的长为 . 【分析】先利用勾股定理求出 AB=10,进而求出 CD=BD=5,再求出 CF=4,进而 求出 DF=3,再判断出 FG⊥BD,利用面积即可得出结论. 【解答】解:如图, 在 Rt△ABC 中,根据勾股定理得,AB=10, ∴点 D 是 AB 中点, ∴CD=BD= AB=5, 连接 DF, ∵CD 是⊙O 的直径, ∴∠CFD=90°, ∴BF=CF= BC=4, ∴DF= =3, 连接 OF, ∵OC=OD,CF=BF, ∴OF∥AB, ∴∠OFC=∠B, ∵FG 是⊙O 的切线, ∴∠OFG=90°, ∴∠OFC+∠BFG=90°, ∴∠BFG+∠B=90°, ∴FG⊥AB, ∴S△BDF= DF×BF= BD×FG, ∴FG= = = , 故答案为 . 20.(2018•包头)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D,点 E 在 上(不与点 B,C 重合),连接 BE,CE.若∠D=40°, 则∠BEC= 115 度. 【分析】连接 OC,根据切线的性质求出∠DCO,求出∠COB,即可求出答案. 【解答】解: 连接 OC, ∵DC 切⊙O 于 C, ∴∠DCO=90°, ∵∠D=40°, ∴∠COB=∠D+∠DCO=130°, ∴ 的度数是 130°, ∴ 的度数是 360°﹣130°=230°, ∴∠BEC= =115°, 故答案为:115. 21.(2018•湘潭)如图,AB 是⊙O 的切线,点 B 为切点,若∠A=30°,则∠AOB= 60° . 【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°,根据直角三角形的性质计算即可. 【解答】解:∵AB 是⊙O 的切线, ∴∠OBA=90°, ∴∠AOB=90°﹣∠A=60°, 故答案为:60°. 22.(2018•徐州)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD 与⊙O 相切于点 D.若∠C=18°,则∠CDA= 126 度. 【分析】连接 OD,构造直角三角形,利用 OA=OD,可求得∠ODA=36°,从而根 据∠CDA=∠CDO+∠ODA 计算求解. 【解答】解:连接 OD,则∠ODC=90°,∠COD=72°; ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠A= ∠COD=36°, ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°. 23.(2018•青岛)如图,Rt△ABC,∠B=90°,∠C=30°,O 为 AC 上一点,OA=2, 以 O 为圆心,以 OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E,与 AB 相交于点 F,连接 OE、OF,则图中阴影 部分的面积是 ﹣ π . 【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案. 【解答】解:∵∠B=90°,∠C=30°, ∴∠A=60°, ∵OA=OF, ∴△AOF 是等边三角形, ∴∠COF=120°, ∵OA=2, ∴扇形 OGF 的面积为: = ∵OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E, ∴∠OEC=90°, ∴OC=2OE=4, ∴AC=OC+OA=6, ∴AB= AC=3, ∴由勾股定理可知:BC=3 ∴△ABC 的面积为: ×3×3 = ∵△OAF 的面积为: ×2× = , ∴阴影部分面积为: ﹣ ﹣ π= ﹣ π 故答案为: ﹣ π 24.(2018•广东)如图,矩形 ABCD 中,BC=4,CD=2,以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E,连接 BD,则阴影部分的面积为 π .(结果保留π) 【分析】连接 OE,如图,利用切线的性质得 OD=2,OE⊥BC,易得四边形 OECD 为正方形,先利用扇形面积公式,利用 S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD 计算由弧 DE、线段 EC、 CD 所围成的面积,然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部 分的面积. 【解答】解:连接 OE,如图, ∵以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E, ∴OD=2,OE⊥BC, 易得四边形 OECD 为正方形, ∴由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积=S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD=22﹣ =4﹣π, ∴阴影部分的面积= ×2×4﹣(4﹣π)=π. 故答案为π. 25.(2018•南京)如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=4,以 CD 为直径作⊙O.将 矩形 ABCD 绕点 C 旋转,使所得矩形 A′B′C′D′的边 A′B′与⊙O 相切,切点为 E,边 CD′与⊙O 相交于 点 F,则 CF 的长为 4 . 【分析】连接 OE,延长 EO 交 CD 于点 G,作 OH⊥B′C,由旋转性质知∠B′=∠ B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4,从而得出四边形 OEB′H 和四边形 EB′CG 都是矩 形且 OE=OD=OC=2.5,继而求得 CG=B′E=OH= = =2,根据 垂径定理可得 CF 的长. 【解答】解:连接 OE,延长 EO 交 CD 于点 G,作 OH⊥B′C 于点 H, 则∠OEB′=∠OHB′=90°, ∵矩形 ABCD 绕点 C 旋转所得矩形为 A′B′C′D′, ∴∠B′=∠B′CD′=90°,AB=CD=5、BC=B′C=4, ∴四边形 OEB′H 和四边形 EB′CG 都是矩形,OE=OD=OC=2.5, ∴B′H=OE=2.5, ∴CH=B′C﹣B′H=1.5, ∴CG=B′E=OH= = =2, ∵四边形 EB′CG 是矩形, ∴∠OGC=90°,即 OG⊥CD′, ∴CF=2CG=4, 故答案为:4. 三.解答题(共 25 小题) 26.(2018•柯桥区模拟)如图,已知三角形 ABC 的边 AB 是⊙O 的切线,切点 为 B.AC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D、C,过 C 作直线 CE 丄 AB,交 AB 的延 长线于点 E. (1)求证:CB 平分∠ACE; (2)若 BE=3,CE=4,求⊙O 的半径. 【分析】(1)证明:如图 1,连接 OB,由 AB 是⊙0 的切线,得到 OB⊥AB,由 于 CE 丄 AB,的 OB∥CE,于是得到∠1=∠3,根据等腰三角形的性质得到∠1= ∠2,通过等量代换得到结果. (2)如图 2,连接 BD 通过△DBC∽△CBE,得到比例式 ,列方程可得结 果. 【解答】(1)证明:如图 1,连接 OB, ∵AB 是⊙0 的切线, ∴OB⊥AB, ∵CE 丄 AB, ∴OB∥CE, ∴∠1=∠3, ∵OB=OC, ∴∠1=∠2 ∴∠2=∠3, ∴CB 平分∠ACE; (2)如图 2,连接 BD, ∵CE 丄 AB, ∴∠E=90°, ∴BC= = =5, ∵CD 是⊙O 的直径, ∴∠DBC=90°, ∴∠E=∠DBC, ∴△DBC∽△CBE, ∴ , ∴BC2=CD•CE, ∴CD= = , ∴OC= = , ∴⊙O 的半径= . 27.(2018•天津)已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 相交,∠BAC=38°, (I)如图①,若 D 为 的中点,求∠ABC 和∠ABD 的大小; (Ⅱ)如图②,过点 D 作⊙O 的切线,与 AB 的延长线交于点 P,若 DP∥AC,求 ∠OCD 的大小. 【分析】(Ⅰ)根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC 和∠ABD 的大 小; (Ⅱ)根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD 的大小. 【解答】解:(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 相交,∠BAC=38°, ∴∠ACB=90°, ∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°, ∵D 为 的中点,∠AOB=180°, ∴∠AOD=90°, ∴∠ACD=45°; (Ⅱ)连接 OD, ∵DP 切⊙O 于点 D, ∴OD⊥DP,即∠ODP=90°, 由 DP∥AC,又∠BAC=38°, ∴∠P=∠BAC=38°, ∵∠AOD 是△ODP 的一个外角, ∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°, ∴∠ACD=64°, ∵OC=OA,∠BAC=38°, ∴∠OCA=∠BAC=38°, ∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°. 28.(2018•荆门)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,经过点 C 的切线 交 AB 的延长线于点 E,AD⊥EC 交 EC 的延长线于点 D,AD 交⊙O 于 F,FM⊥AB 于 H,分别交⊙O、AC 于 M、N,连接 MB,BC. (1)求证:AC 平分∠DAE; (2)若 cosM= ,BE=1,①求⊙O 的半径;②求 FN 的长. 【分析】(1)连接 OC,如图,利用切线的性质得 OC⊥DE,则判断 OC∥AD 得 到∠1=∠3,加上∠2=∠3,从而得到∠1=∠2; (2)①利用圆周角定理和垂径定理得到 = ,则∠COE=∠FAB,所以∠FAB= ∠M=∠COE,设⊙O 的半径为 r,然后在 Rt△OCE 中利用余弦的定义得到 = , 从而解方程求出 r 即可; ②连接 BF,如图,先在 Rt△AFB 中利用余弦定义计算出 AF= ,再计算出 OC=3, 接着证明△AFN∽△AEC,然后利用相似比可计算出 FN 的长. 【解答】(1)证明:连接 OC,如图, ∵直线 DE 与⊙O 相切于点 C, ∴OC⊥DE, 又∵AD⊥DE, ∴OC∥AD. ∴∠1=∠3 ∵OA=OC, ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠2, ∴AC 平方∠DAE; (2)解:①∵AB 为直径, ∴∠AFB=90°, 而 DE⊥AD, ∴BF∥DE, ∴OC⊥BF, ∴ = , ∴∠COE=∠FAB, 而∠FAB=∠M, ∴∠COE=∠M, 设⊙O 的半径为 r, 在 Rt△OCE 中,cos∠COE= = ,即 = ,解得 r=4, 即⊙O 的半径为 4; ②连接 BF,如图, 在 Rt△AFB 中,cos∠FAB= , ∴AF=8× = 在 Rt△OCE 中,OE=5,OC=4, ∴CE=3, ∵AB⊥FM, ∴ , ∴∠5=∠4, ∵FB∥DE, ∴∠5=∠E=∠4, ∵ = , ∴∠1=∠2, ∴△AFN∽△AEC, ∴ = ,即 = , ∴FN= . 29.(2018•随州)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,CN 为⊙O 的切 线,OM⊥AB 于点 O,分别交 AC、CN 于 D、M 两点. (1)求证:MD=MC; (2)若⊙O 的半径为 5,AC=4 ,求 MC 的长. 【分析】(1)连接 OC,利用切线的性质证明即可; (2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可. 【解答】解:(1)连接 OC, ∵CN 为⊙O 的切线, ∴OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90°, ∵OM⊥AB, ∴∠OAC+∠ODA=90°, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠ACM=∠ODA=∠CDM, ∴MD=MC; (2)由题意可知 AB=5×2=10,AC=4 , ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴BC= , ∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A, ∴△AOD∽△ACB, ∴ ,即 , 可得:OD=2.5, 设 MC=MD=x,在 Rt△OCM 中,由勾股定理得:(x+2.5)2=x2+52, 解得:x= , 即 MC= . 30.(2018•黄冈)如图,AD 是⊙O 的直径,AB 为⊙O 的弦,OP⊥AD,OP 与 AB 的延长线交于点 P,过 B 点的切线交 OP 于点 C. (1)求证:∠CBP=∠ADB. (2)若 OA=2,AB=1,求线段 BP 的长. 【分析】(1)连接 OB,如图,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,再根据切线的 性质得到∠OBC=90°,然后利用等量代换进行证明; (2)证明△AOP∽△ABD,然后利用相似比求 BP 的长. 【解答】(1)证明:连接 OB,如图, ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠ABD=90°, ∴∠A+∠ADB=90°, ∵BC 为切线, ∴OB⊥BC, ∴∠OBC=90°, ∴∠OBA+∠CBP=90°, 而 OA=OB, ∴∠A=∠OBA, ∴∠CBP=∠ADB; (2)解:∵OP⊥AD, ∴∠POA=90°, ∴∠P+∠A=90°, ∴∠P=∠D, ∴△AOP∽△ABD, ∴ = ,即 = , ∴BP=7. 31.(2018•襄阳)如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和 BN 是⊙O 的两条切线,E 为 ⊙O 上一点,过点 E 作直线 DC 分别交 AM,BN 于点 D,C,且 CB=CE. (1)求证:DA=DE; (2)若 AB=6,CD=4 ,求图中阴影部分的面积. 【分析】(1)连接 OE.推知 CD 为⊙O 的切线,即可证明 DA=DE; (2)利用分割法求得阴影部分的面积. 【解答】解:(1)证明:连接 OE、OC. ∵OB=OE, ∴∠OBE=∠OEB. ∵BC=EC, ∴∠CBE=∠CEB, ∴∠OBC=∠OEC. ∵BC 为⊙O 的切线, ∴∠OEC=∠OBC=90°; ∵OE 为半径, ∴CD 为⊙O 的切线, ∵AD 切⊙O 于点 A, ∴DA=DE; (2)如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,则四边形 ABFD 是矩形, ∴AD=BF,DF=AB=6, ∴DC=BC+AD=4 . ∵FC= =2 , ∴BC﹣AD=2 , ∴BC=3 . 在直角△OBC 中,tan∠BOE= = , ∴∠BOC=60°. 在△OEC 与△OBC 中, , ∴△OEC≌△OBC(SSS), ∴∠BOE=2∠BOC=120°. ∴S 阴影部分=S 四边形 BCEO﹣S 扇形 OBE=2× BC•OB﹣ =9 ﹣3π. 32.(2018•长春)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点 A,BC 交⊙O 于点 D.已 知⊙O 的半径为 6,∠C=40°. (1)求∠B 的度数. (2)求 的长.(结果保留π) 【分析】(1)根据切线的性质求出∠A=90°,根据三角形内角和定理求出即可; (2)根据圆周角定理求出∠AOD,根据弧长公式求出即可. 【解答】解:(1)∵AC 切⊙O 于点 A, ∠BAC=90°, ∵∠C=40°, ∴∠B=50°; (2)连接 OD, ∵∠B=50°, ∴∠AOD=2∠B=100°, ∴ 的长为 = π. 33.(2018•白银)如图,点 O 是△ABC 的边 AB 上一点,⊙O 与边 AC 相切于点 E,与边 BC,AB 分别相交于点 D,F,且 DE=EF. (1)求证:∠C=90°; (2)当 BC=3,sinA= 时,求 AF 的长. 【分析】(1)连接 OE,BE,因为 DE=EF,所以 ,从而易证∠OEB=∠DBE, 所以 OE∥BC,从可证明 BC⊥AC; (2)设⊙O 的半径为 r,则 AO=5﹣r,在 Rt△AOE 中,sinA= = = ,从而 可求出 r 的值. 【解答】解:(1)连接 OE,BE, ∵DE=EF, ∴ ∴∠OBE=∠DBE ∵OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE ∴∠OEB=∠DBE, ∴OE∥BC ∵⊙O 与边 AC 相切于点 E, ∴OE⊥AC ∴BC⊥AC ∴∠C=90° (2)在△ABC,∠C=90°,BC=3,sinA= ∴AB=5, 设⊙O 的半径为 r,则 AO=5﹣r, 在 Rt△AOE 中,sinA= = = ∴r= ∴AF=5﹣2× = 34.(2018•绵阳)如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 在⊙O 上(点 D 不与 A,B 重 合),直线 AD 交过点 B 的切线于点 C,过点 D 作⊙O 的切线 DE 交 BC 于点 E. (1)求证:BE=CE; (2)若 DE∥AB,求 sin∠ACO 的值. 【分析】(1)证明:连接 OD,如图,利用切线长定理得到 EB=ED,利用切线的 性质得 OD⊥DE,AB⊥CB,再根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ACB,则 EC=ED, 从而得到 BE=CE; (2)作 OH⊥AD 于 H,如图,设⊙O 的半径为 r,先证明四边形 OBED 为正方形 得 DE=CE=r,再利用△AOD 和△CDE 都为等腰直角三角形得到 OH=DH= r, CD= r, 接着根据勾股定理计算出 OC= r,然后根据正弦的定义求解. 【解答】(1)证明:连接 OD,如图, ∵EB、ED 为⊙O 的切线, ∴EB=ED,OD⊥DE,AB⊥CB, ∴∠ADO+∠CDE=90°,∠A+∠ACB=90°, ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO, ∴∠CDE=∠ACB, ∴EC=ED, ∴BE=CE; (2)解:作 OH⊥AD 于 H,如图,设⊙O 的半径为 r, ∵DE∥AB, ∴∠DOB=∠DEB=90°, ∴四边形 OBED 为矩形, 而 OB=OD, ∴四边形 OBED 为正方形, ∴DE=CE=r, 易得△AOD 和△CDE 都为等腰直角三角形, ∴OH=DH= r,CD= r, 在 Rt△OCB 中,OC= = r, 在 Rt△OCH 中,sin∠OCH= = = , 即 sin∠ACO 的值为 . 35.(2018•德州)如图,AB 是⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 C,且与 AB 的延长线交于点 E,点 C 是 的中点. (1)求证:AD⊥CD; (2)若∠CAD=30°,⊙O 的半径为 3,一只蚂蚁从点 B 出发,沿着 BE﹣EC﹣ 爬 回至点 B,求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14, ≈1.73,结果保留一位小数). 【分析】(1)连接 OC,根据切线的性质得到 OC⊥CD,证明 OC∥AD,根据平 行线的性质证明; (2)根据圆周角定理得到∠COE=60°,根据勾股定理、弧长公式计算即可. 【解答】(1)证明:连接 OC, ∵直线 CD 与⊙O 相切, ∴OC⊥CD, ∵点 C 是 的中点, ∴∠DAC=∠EAC, ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠EAC, ∴∠DAC=∠OCA, ∴OC∥AD, ∴AD⊥CD; (2)解:∵∠CAD=30°, ∴∠CAE=∠CAD=30°, 由圆周角定理得,∠COE=60°, ∴OE=2OC=6,EC= OC=3 , = =π, ∴蚂蚁爬过的路程=3+3 +π≈11.3. 36.(2018•北京)如图,AB 是⊙O 的直径,过⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线 PC,PD,切点分别为 C,D,连接 OP,CD. (1)求证:OP⊥CD; (2)连接 AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求 OP 的长. 【分析】(1)先判断出 Rt△ODP≌Rt△OCP,得出∠DOP=∠COP,即可得出结论; (2)先 求出∠COD=60°,得出△OCD 是等边三角形,最后用锐角三角函数即可 得出结论. 【解答】解:(1)连接 OC,OD, ∴OC=OD, ∵PD,PC 是⊙O 的切线, ∵∠ODP=∠OCP=90°, 在 Rt△ODP 和 Rt△OCP 中, , ∴Rt△ODP≌Rt△OCP, ∴∠DOP=∠COP, ∵OD=OC, ∴OP⊥CD; (2)如图,连接 OD,OC, ∴OA=OD=OC=OB=2, ∴∠ADO=∠DAO=50°,∠BCO=∠CBO=70°, ∴∠AOD=80°,∠BOC=40°, ∴∠COD=60°, ∵OD=OC, ∴△COD 是等边三角形, 由(1)知,∠DOP=∠COP=30°, 在 Rt△ODP 中,OP= = . 37.(2018•铜仁市)如图,在三角形 ABC 中,AB=6,AC=BC=5,以 BC 为直径作 ⊙O 交 AB 于点 D,交 AC 于点 G,直线 DF 是⊙O 的切线,D 为切点,交 CB 的延 长线于点 E. (1)求证:DF⊥AC; (2)求 tan∠E 的值. 【分析】(1)连接 OC,CD,根据圆周角定理得∠BDC=90°,由等腰三角形三线 合一的性质得:D 为 AB 的中点,所以 OD 是中位线,由三角形中位线性质得: OD∥AC,根据切线的性质可得结论; (2)如图,连接 BG,先证明 EF∥BG,则∠CBG=∠E,求∠CBG 的正切即可. 【解答】(1)证明:如图,连接 OC,CD, ∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BDC=90°, ∴CD⊥AB, ∵AC=BC, ∴AD=BD, ∵OB=OC, ∴OD 是△ABC 的中位线 ∴OD∥AC, ∵DF 为⊙O 的切线, ∴OD⊥DF, ∴DF⊥AC; (2)解:如图,连接 BG, ∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BGC=90°, ∵∠EFC=90°=∠BGC, ∴EF∥BG, ∴∠CBG=∠E, Rt△BDC 中,∵BD=3,BC=5, ∴CD=4, S△ABC= , 6×4=5BG, BG= , 由勾股定理得:CG= = , ∴tan∠CBG=tan∠E= = = . 38.(2018•昆明)如图,AB 是⊙O 的直径,ED 切⊙O 于点 C,AD 交⊙O 于点 F, ∠AC 平分∠BAD,连接 BF. (1)求证:AD⊥ED; (2)若 CD=4,AF=2,求⊙O 的半径. 【分析】(1)连接 OC,如图,先证明 OC∥AD,然后利用切线的性质得 OC⊥ DE,从而得到 AD⊥ED; (2)OC 交 BF 于 H,如图,利用圆周角定理得到∠AFB=90°,再证明四边形 CDFH 为矩形得到 FH=CD=4,∠CHF=90°,利用垂径定理得到 BH=FH=4,然后利用勾股 定理计算出 AB,从而得到⊙O 的半径. 【解答】(1)证明:连接 OC,如图, ∵AC 平分∠BAD, ∴∠1=∠2, ∵OA=OC, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∴OC∥AD, ∵ED 切⊙O 于点 C, ∴OC⊥DE, ∴AD⊥ED; (2)解:OC 交 BF 于 H,如图, ∵AB 为直径, ∴∠AFB=90°, 易得四边形 CDFH 为矩形, ∴FH=CD=4,∠CHF=90°, ∴OH⊥BF, ∴BH=FH=4, ∴BF=8, 在 Rt△ABF 中,AB= = =2 , ∴⊙O 的半径为 . 39.(2018•陕西)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作⊙O,分别与 AC、BC 交于点 M、N. (1)过点 N 作⊙O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E,求证:NE⊥AB; (2)连接 MD,求证:MD=NB. 【分析】(1)连接 ON,如图,根据斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD=AD=DB, 则∠1=∠B,再证明∠2=∠B 得到 ON∥DB,接着根据切线的性质得到 ON⊥NE, 然后利用平行线的性质得到结论; (2)连接 DN,如图,根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°,则可判断四边 形 CMDN 为矩形,所以 DM=CN,然后证明 CN=BN,从而得到 MD=NB. 【解答】证明:(1)连接 ON,如图, ∵CD 为斜边 AB 上的中线, ∴CD=AD=DB, ∴∠1=∠B, ∵OC=ON, ∴∠1=∠2, ∴∠2=∠B, ∴ON∥DB, ∵NE 为切线, ∴ON⊥NE, ∴NE⊥AB; (2)连接 DN,如图, ∵AD 为直径, ∴∠CMD=∠CND=90°, 而∠MCB=90°, ∴四边形 CMDN 为矩形, ∴DM=CN, ∵DN⊥BC,∠1=∠B, ∴CN=BN, ∴MD=NB. 40.(2018•曲靖)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,将弧 BC 沿直 线 BC 翻折,使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合,连接 OC,CD,BD,过点 C 的切线与线段 BA 的延长线交于点 P,连接 AD,在 PB 的另一侧作∠MPB=∠ADC. (1)判断 PM 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 PC= ,求四边形 OCDB 的面积. 【分析】(1)连接 DO 并延长交 PM 于 E,如图,利用折叠的性质得 OC=DC,BO=BD, 则可判断四边形 OBDC 为菱形,所以 OD⊥BC,△OCD 和△OBD 都是等边三角形, 从而计算出∠COP=∠EOP=60°,接着证明 PM∥BC 得到 OE⊥PM,所以 OE= OP, 根据切线的性质得到 OC⊥PC,则 OC= OP,从而可判定 PM 是⊙O 的切线; (2)先在 Rt△OPC 中计算出 OC=1,然后根据等边三角形的面积公式计算四边形 OCDB 的面积. 【解答】解:(1)PM 与⊙O 相切. 理由如下: 连接 DO 并延长交 PM 于 E,如图, ∵弧 BC 沿直线 BC 翻折,使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合, ∴OC=DC,BO=BD, ∴OC=DC=BO=BD, ∴四边形 OBDC 为菱形, ∴OD⊥BC, ∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形, ∴∠COD=∠BOD=60°, ∴∠COP=∠EOP=60°, ∵∠MPB=∠ADC, 而∠ADC=∠ABC, ∴∠ABC=∠MPB, ∴PM∥BC, ∴OE⊥PM, ∴OE= OP, ∵PC 为⊙O 的切线, ∴OC⊥PC, ∴OC= OP, ∴OE=OC, 而 OE⊥PC, ∴PM 是⊙O 的切线; (2)在 Rt△OPC 中,OC= PC= × =1, ∴四边形 OCDB 的面积=2S△OCD=2× ×12= . 41.(2018•邵阳)如图所示,AB 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,过点 B 作 BD⊥CD,垂足为点 D,连结 BC.BC 平分∠ABD. 求证:CD 为⊙O 的切线. 【分析】先利用 BC 平分∠ABD 得到∠OBC=∠DBC,再证明 OC∥BD,从而得到 OC⊥CD,然后根据切线的判定定理得到结论. 【解答】证明:∵BC 平分∠ABD, ∴∠OBC=∠DBC, ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OCB=∠DBC, ∴OC∥BD, ∵BD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD 为⊙O 的切线. 42.(2018•黄石)如图,已知 A、B、C、D、E 是⊙O 上五点,⊙O 的直径 BE=2 , ∠BCD=120°,A 为 的中点,延长 BA 到点 P,使 BA=AP,连接 PE. (1)求线段 BD 的长; (2)求证:直线 PE 是⊙O 的切线. 【分析】(1)连接 DB,如图,利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°,再根据 圆周角定理得到∠BDE=90°,然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算 BD 的长; (2)连接 EA,如图,根据圆周角定理得到∠BAE=90°,而 A 为 的中点,则∠ ABE=45°,再根据等腰三角形的判定方法,利用 BA=AP 得到△BEP 为等腰直角三 角形,所以∠PEB=90°,然后根据切线的判定定理得到结论. 【解答】(1)解:连接 DB,如图, ∵∠BCD+∠DEB=180°, ∴∠DEB=180°﹣120°=60°, ∵BE 为直径, ∴∠BDE=90°, 在 Rt△BDE 中,DE= BE= ×2 = , BD= DE= × =3; (2)证明:连接 EA,如图, ∵BE 为直径, ∴∠BAE=90°, ∵A 为 的中点, ∴∠ABE=45°, ∵BA=AP, 而 EA⊥BA, ∴△BEP 为等腰直角三角形, ∴∠PEB=90°, ∴PE⊥BE, ∴直线 PE 是⊙O 的切线. 43.(2018•怀化)已知:如图,AB 是⊙O 的直径,AB=4,点 F,C 是⊙O 上两 点,连接 AC,AF,OC,弦 AC 平分∠FAB,∠BOC=60°,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D,垂足为点 D. (1)求扇形 OBC 的面积(结果保留); (2)求证:CD 是⊙O 的切线. 【分析】(1)由扇形的面积公式即可求出答案. (2)易证∠FAC=∠ACO,从而可知 AD∥OC,由于 CD⊥AF,所以 CD⊥OC,所以 CD 是⊙O 的切线. 【解答】解:(1)∵AB=4, ∴OB=2 ∵∠COB=60°, ∴S 扇形 OBC= = (2)∵AC 平分∠FAB, ∴∠FAC=∠CAO, ∵AO=CO, ∴∠ACO=∠CAO ∴∠FAC=∠ACO ∴AD∥OC, ∵CD⊥AF, ∴CD⊥OC ∵C 在圆上, ∴CD 是⊙O 的切线 44.(2018•新疆)如图,PA 与⊙O 相切于点 A,过点 A 作 AB⊥OP,垂足为 C, 交⊙O 于点 B.连接 PB,AO,并延长 AO 交⊙O 于点 D,与 PB 的延长线交于点 E. (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)若 OC=3,AC=4,求 sinE 的值. 【分析】(1)要证明是圆的切线,须证明过切点的半径垂直,所以连接 OBB, 证明 OB⊥PE 即可. (2)要求 sinE,首先应找出直角三角形,然后利用直角三角函数求解即可.而 sinE 既可放在直角三角形 EAP 中,也可放在直角三角形 EBO 中,所以利用相似 三角形的性质求出 EP 或 EO 的长即可解决问题 【解答】(1)证明:连接 OB∵PO⊥AB, ∴AC=BC, ∴PA=PB 在△PAO 和△PBO 中 ∴△PAO 和≌△PBO ∴∠OBP=∠OAP=90° ∴PB 是⊙O 的切线. (2)连接 BD,则 BD∥PO,且 BD=2OC=6 在 Rt△ACO 中,OC=3,AC=4 ∴AO=5 在 Rt△ACO 与 Rt△PAO 中, ∠APO=∠APO, ∠PAO=∠ACO=90° ∴△ACO∼△PAO = ∴PO= ,PA= ∴PB=PA= 在△EPO 与△EBD 中, BD∥PO ∴△EPO∽△EBD ∴ = , 解得 EB= , PE= , ∴sinE= = 45.(2018•安顺)如图,在△ABC 中,AB=AC,O 为 BC 的中点,AC 与半圆 O 相切于点 D. (1)求证:AB 是半圆 O 所在圆的切线; (2)若 cos∠ABC= ,AB=12,求半圆 O 所在圆的半径. 【分析】(1)先判断出∠CAO=∠BAO,进而判断出 OD=OE,即可得出结论; (2)先求出 OB,再用勾股定理求出 OA,最后用三角形的面积即可得出结论. 【解答】解:(1)如图,作 OE⊥AB 于 E,连接 OD,OA, ∵AB=AC,点 O 是 BC 的中点, ∴∠CAO=∠BAO, ∵AC 与半圆 O 相切于 D, ∴OD⊥AC, ∵OE⊥AB, ∴OD=OE, ∵AB 径半圆 O 的半径的外端点, ∴AB 是半圆 O 所在圆的切线; (2)∵AB=AC,O 是 BC 的中点, ∴AO⊥BC, 在 Rt△AOB 中,OB=AB•cos∠ABC=12× =8, 根据勾股定理得,OA= =4 , 由三角形的面积得,S△AOB= AB•OE= OB•OA, ∴OE= = , 即:半圆 O 所在圆的半径为 . 46.(2018•衡阳)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,∠BAC 的平分线 交⊙O 于点 D,过点 D 作 DE⊥AC 分别交 AC、AB 的延长线于点 E、F. (1)求证:EF 是⊙O 的切线; (2)若 AC=4,CE=2,求 的长度.(结果保留π) 【分析】(1)连接 OD,由 OA=OD 知∠OAD=∠ODA,由 AD 平分∠EAF 知∠DAE= ∠DAO,据此可得∠DAE=∠ADO,继而知 OD∥AE,根据 AE⊥EF 即可得证; ( 2 ) 作 OG ⊥ AE , 知 AG=CG= AC=2 , 证 四 边 形 ODEG 是 矩 形 得 OA=OB=OD=CG+CE=4,再证△ADE∽△ABD 得 AD2=48,据此得出 BD 的长及∠BAD 的度数,利用弧长公式可得答案. 【解答】解:(1)如图,连接 OD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∵AD 平分∠EAF, ∴∠DAE=∠DAO, ∴∠DAE=∠ADO, ∴OD∥AE, ∵AE⊥EF, ∴OD⊥EF, ∴EF 是⊙O 的切线; (2)如图,作 OG⊥AE 于点 G,连接 BD, 则 AG=CG= AC=2,∠OGE=∠E=∠ODE=90°, ∴四边形 ODEG 是矩形, ∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4,∠DOG=90°, ∵∠DAE=∠BAD,∠AED=∠ADB=90°, ∴△ADE∽△ABD, ∴ = ,即 = , ∴AD2=48, 在 Rt△ABD 中,BD= =4, 在 Rt△ABD 中,∵AB=2BD, ∴∠BAD=30°, ∴∠BOD=60°, 则 的长度为 = . 47.(2018•孝感)如图,△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D, 交 AC 于点 E,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,交 AB 的延长线于点 G. (1)求证:DF 是⊙O 的切线; (2)已知 BD=2 ,CF=2,求 AE 和 BG 的长. 【分析】(1)连接 OD,AD,由圆周角定理可得 AD⊥BC,结合等腰三角形的性 质知 BD=CD,再根据 OA=OB 知 OD∥AC,从而由 DG⊥AC 可得 OD⊥FG,即可得 证; (2)连接 BE.BE∥GF,推出△AEB∽△AFG,可得 = ,由此构建方程即可 解决问题; 【解答】解:(1)连接 OD,AD, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴BD=CD, 又∵OA=OB, ∴OD∥AC, ∵DG⊥AC, ∴OD⊥FG, ∴直线 FG 与⊙O 相切; (2)连接 BE.∵BD=2 , ∴ , ∵CF=2, ∴DF= =4, ∴BE=2DF=8, ∵cos∠C=cos∠ABC, ∴ = , ∴ = , ∴AB=10, ∴AE= =6, ∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴BE∥GF, ∴△AEB∽△AFG, ∴ = , ∴ = , ∴BG= . 48.(2018•江西)如图,在△ABC 中,O 为 AC 上一点,以点 O 为圆心,OC 为 半径做圆,与 BC 相切于点 C,过点 A 作 AD⊥BO 交 BO 的廷长线于点 D,且∠AOD= ∠BAD. (1)求证:AB 为⊙O 的切线; (2)若 BC=6,tan∠ABC= ,求 AD 的长. 【分析】(1)作 OE⊥AB,先由∠AOD=∠BAD 求得∠ABD=∠OAD,再由∠BOC= ∠D=90°及∠BOC=∠AOD 求得∠OBC=∠OAD=∠ABD,最后证△BOC≌△BOE 得 OE=OC,依据切线的判定可得; (2)先求得∠EOA=∠ABC,在 Rt△ABC 中求得 AC=8、AB=10,由切线长定理知 BE=BC=6、AE=4、OE=3,继而得 BO=3 ,再证△ABD∽△OBC 得 = ,据此 可得答案. 【解答】解:(1)过点 O 作 OE⊥AB 于点 E, ∵AD⊥BO 于点 D, ∴∠D=90°, ∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°, ∵∠AOD=∠BAD, ∴∠ABD=∠OAD, 又∵BC 为⊙O 的切线, ∴AC⊥BC, ∴∠BOC=∠D=90°, ∵∠BOC=∠AOD, ∴∠OBC=∠OAD=∠ABD, 在△BOC 和△BOE 中, ∵ , ∴△BOC≌△BOE(AAS), ∴OE=OC, ∵OE⊥AB, ∴AB 是⊙O 的切线; (2)∵∠ABC+∠BAC=90°,∠EOA+∠BAC=90°, ∴∠EOA=∠ABC, ∵tan∠ABC= 、BC=6, ∴AC=BC•tan∠ABC=8, 则 AB=10, 由(1)知 BE=BC=6, ∴AE=4, ∵tan∠EOA=tan∠ABC= , ∴ = , ∴OE=3,OB= =3 , ∵∠ABD=∠OBC,∠D=∠ACB=90°, ∴△ABD∽△OBC, ∴ = ,即 = , ∴AD=2 . 49.(2018•金华)如图,在 Rt△ABC 中,点 O 在斜边 AB 上,以 O 为圆心,OB 为半径作圆,分别与 BC,AB 相交于点 D,E,连结 AD.已知∠CAD=∠B. (1)求证:AD 是⊙O 的切线. (2)若 BC=8,tanB= ,求⊙O 的半径. 【分析】(1)连接 OD,由 OD=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再由已 知角相等,等量代换得到∠1=∠3,求出∠4 为 90°,即可得证; (2)设圆的半径为 r,利用锐角三角函数定义求出 AB 的长,再利用勾股定理列 出关于 r 的方程,求出方程的解即可得到结果. 【解答】(1)证明:连接 OD, ∵OB=OD, ∴∠3=∠B, ∵∠B=∠1, ∴∠1=∠3, 在 Rt△ACD 中,∠1+∠2=90°, ∴∠4=180°﹣(∠2+∠3)=90°, ∴OD⊥AD, 则 AD 为圆 O 的切线; (2)设圆 O 的半径为 r, 在 Rt△ABC 中,AC=BCtanB=4, 根据勾股定理得:AB= =4 , ∴OA=4 ﹣r, 在 Rt△ACD 中,tan∠1=tanB= , ∴CD=ACtan∠1=2, 根据勾股定理得:AD2=AC2+CD2=16+4=20, 在 Rt△ADO 中,OA2=OD2+AD2,即(4 ﹣r)2=r2+20, 解得:r= . 50.(2018•南充)如图,C 是⊙O 上一点,点 P 在直径 AB 的延长线上,⊙O 的 半径为 3,PB=2,PC=4. (1)求证:PC 是⊙O 的切线. (2)求 tan∠CAB 的值. 【分析】(1)可以证明 OC2+PC2=OP2 得△OCP 是直角三角形,即 OC⊥PC,PC 是⊙O 的切线 (2))AB 是直径,得∠ACB=90°,通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA,进而 ,得出 tan∠CAB= . 【解答】解:(1)如图,连接 OC、BC ∵⊙O 的半径为 3,PB=2 ∴OC=OB=3,OP=OB+PB=5 ∵PC=4 ∴OC2+PC2=OP2 ∴△OCP 是直角三角形, ∴OC⊥PC ∴PC 是⊙O 的切线. (2)∵AB 是直径 ∴∠ACB=90° ∴∠ACO+∠OCB=90° ∵OC⊥PC ∴∠BCP+∠OCB=90° ∴∠BCP=∠ACO ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO ∴∠A=∠BCP 在△PBC 和△PCA 中: ∠BCP=∠A,∠P=∠P ∴△PBC∽△PCA, ∴ ∴tan∠CAB=