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- 2021-05-13 发布
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中考数学试题分类汇编:考点 30 切线的性质和判定
一.选择题(共 11 小题)
1.(2018•哈尔滨)如图,点 P 为⊙O 外一点,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PO
交⊙O 于点 B,∠P=30°,OB=3,则线段 BP 的长为( )
A.3 B.3 C.6 D.9
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,进而利用直角三角形的性质得出
OP 的长.
【解答】解:连接 OA,
∵PA 为⊙O 的切线,
∴∠OAP=90°,
∵∠P=30°,OB=3,
∴AO=3,则 OP=6,
故 BP=6﹣3=3.
故选:A.
2.(2018•眉山)如图所示,AB 是⊙O 的直径,PA 切⊙O 于点 A,线段 PO 交⊙
O 于点 C,连结 BC,若∠P=36°,则∠B 等于( )
A.27° B.32° C.36° D.54°
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,再利用三角形内角和定理得出∠
AOP=54°,结合圆周角定理得出答案.
【解答】解:∵PA 切⊙O 于点 A,
∴∠OAP=90°,
∵∠P=36°,
∴∠AOP=54°,
∴∠B=27°.
故选:A.
3.(2018•重庆)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,PD 与
⊙O 相切于点 D,过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C,若⊙O 的半径为 4,
BC=6,则 PA 的长为( )
A.4 B.2 C.3 D.2.5
【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°,再利用相似三角形的判定与性质
分析得出答案.
【解答】解:连接 DO,
∵PD 与⊙O 相切于点 D,
∴∠PDO=90°,
∵∠C=90°,
∴DO∥BC,
∴△PDO∽△PCB,
∴ = = = ,
设 PA=x,则 = ,
解得:x=4,
故 PA=4.
故选:A.
4.(2018•福建)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 与⊙O 相切于点 B,AC 交⊙O 于
点 D,若∠ACB=50°,则∠BOD 等于( )
A.40° B.50° C.60° D.80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°,根据直角三角形的性质求出∠A,根据
圆周角定理计算即可.
【解答】解:∵BC 是⊙O 的切线,
∴∠ABC=90°,
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°,
由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=80°,
故选:D.
5.(2018•泸州)在平面直角坐标系内,以原点 O 为圆心,1 为半径作圆,点 P
在直线 y= 上运动,过点 P 作该圆的一条切线,切点为 A,则 PA 的最小
值为( )
A.3 B.2 C. D.
【分析】如图,直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 D,作 OH⊥CD
于 H,先利用一次解析式得到 D(0,2 ),C(﹣2,0),再利用勾股定理可
计算出 CD=4,则利用面积法可计算出 OH= ,连接 OA,如图,利用切线的性
质得 OA⊥PA,则 PA= ,然后利用垂线段最短求 PA 的最小值.
【解答】解:如图,直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 D,作 OH
⊥CD 于 H,
当 x=0 时,y= x+2 =2 ,则 D(0,2 ),
当 y=0 时, x+2 =0,解得 x=﹣2,则 C(﹣2,0),
∴CD= =4,
∵ OH•CD= OC•OD,
∴OH= = ,
连接 OA,如图,
∵PA 为⊙O 的切线,
∴OA⊥PA,
∴PA= = ,
当 OP 的值最小时,PA 的值最小,
而 OP 的最小值为 OH 的长,
∴PA 的最小值为 = .
故选:D.
6.(2018•泰安)如图,BM 与⊙O 相切于点 B,若∠MBA=140°,则∠ACB 的度
数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
【分析】连接 OA、OB,由切线的性质知∠OBM=90°,从而得∠ABO=∠BAO=50°,
由内角和定理知∠AOB=80°,根据圆周角定理可得答案.
【解答】解:如图,连接 OA、OB,
∵BM 是⊙O 的切线,
∴∠OBM=90°,
∵∠MBA=140°,
∴∠ABO=50°,
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=50°,
∴∠AOB=80°,
∴∠ACB= ∠AOB=40°,
故选:A.
7.(2018•深圳)如图,一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,A 为 60°
角与直尺交点,AB=3,则光盘的直径是( )
A.3 B. C.6 D.
【分析】设三角板与圆的切点为 C,连接 OA、OB,由切线长定理得出 AB=AC=3、
∠OAB=60°,根据 OB=ABtan∠OAB 可得答案.
【解答】解:设三角板与圆的切点为 C,连接 OA、OB,
由切线长定理知 AB=AC=3,OA 平分∠BAC,
∴∠OAB=60°,
在 Rt△ABO 中,OB=ABtan∠OAB=3 ,
∴光盘的直径为 6 ,
故选:D.
8.(2018•重庆)如图,△ABC 中,∠A=30°,点 O 是边 AB 上一点,以点 O 为
圆心,以 OB 为半径作圆,⊙O 恰好与 AC 相切于点 D,连接 BD.若 BD 平分∠
ABC,AD=2 ,则线段 CD 的长是( )
A.2 B. C. D.
【分析】连接 OD,得 Rt△OAD,由∠A=30°,AD=2 ,可求出 OD、AO 的长;
由 BD 平分∠ABC,OB=OD 可得
OD 与 BC 间的位置关系,根据平行线分线段成比例定理,得结论.
【解答】解:连接 OD
∵OD 是⊙O 的半径,AC 是⊙O 的切线,点 D 是切点,
∴OD⊥AC
在 Rt△AOD 中,∵∠A=30°,AD=2 ,
∴OD=OB=2,AO=4,
∴∠ODB=∠OBD,又∵BD 平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB,
∴
即
∴CD= .
故选:B.
9.(2018•湘西州)如图,直线 AB 与⊙O 相切于点 A,AC、CD 是⊙O 的两条弦,
且 CD∥AB,若⊙O 的半径为 5,CD=8,则弦 AC 的长为( )
A.10 B.8 C.4 D.4
【分析】由 AB 是圆的切线知 AO⊥AB,结合 CD∥AB 知 AO⊥CD,从而得出 CE=4,
Rt△COE 中求得 OE=3 及 AE=8,在 Rt△ACE 中利用勾股定理可得答案.
【解答】解:∵直线 AB 与⊙O 相切于点 A,
∴OA⊥AB,
又∵CD∥AB,
∴AO⊥CD,记垂足为 E,
∵CD=8,
∴CE=DE= CD=4,
连接 OC,则 OC=OA=5,
在 Rt△OCE 中,OE= = =3,
∴AE=AO+OE=8,
则 AC= = =4 ,
故选:D.
10.(2018•宜昌)如图,直线 AB 是⊙O 的切线,C 为切点,OD∥AB 交⊙O 于
点 D,点 E 在⊙O 上,连接 OC,EC,ED,则∠CED 的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°,再根据平行线的性质得∠COD=90°,最后
由圆周角定理可得答案.
【解答】解:∵直线 AB 是⊙O 的切线,C 为切点,
∴∠OCB=90°,
∵OD∥AB,
∴∠COD=90°,
∴∠CED= ∠COD=45°,
故选:D.
11.(2018•无锡)如图,矩形 ABCD 中,G 是 BC 的中点,过 A、D、G 三点的圆
O 与边 AB、CD 分别交于点 E、点 F,给出下列说法:(1)AC 与 BD 的交点是圆
O 的圆心;(2)AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心;(3)BC 与圆 O 相切,其中正
确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】连接 DG、AG,作 GH⊥AD 于 H,连接 OD,如图,先确定 AG=DG,则
GH 垂直平分 AD,则可判断点 O 在 HG 上,再根据 HG⊥BC 可判定 BC 与圆 O 相
切;接着利用 OG=OG 可判断圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点;然后根据四边形 AEFD
为⊙O 的内接矩形可判断 AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心.
【解答】解:连接 DG、AG,作 GH⊥AD 于 H,连接 OD,如图,
∵G 是 BC 的中点,
∴AG=DG,
∴GH 垂直平分 AD,
∴点 O 在 HG 上,
∵AD∥BC,
∴HG⊥BC,
∴BC 与圆 O 相切;
∵OG=OG,
∴点 O 不是 HG 的中点,
∴圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点;
而四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形,
∴AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心;
∴(1)错误,(2)(3)正确.
故选:C.
二.填空题(共 14 小题)
12.(2018•安徽)如图,菱形 ABOC 的边 AB,AC 分别与⊙O 相切于点 D,E.若
点 D 是 AB 的中点,则∠DOE= 60 °.
【分析】连接 OA,根据菱形的性质得到△AOB 是等边三角形,根据切线的性质
求出∠AOD,同理计算即可.
【解答】解:连接 OA,
∵四边形 ABOC 是菱形,
∴BA=BO,
∵AB 与⊙O 相切于点 D,
∴OD⊥AB,
∵点 D 是 AB 的中点,
∴直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线,
∴OA=OB,
∴△AOB 是等边三角形,
∵AB 与⊙O 相切于点 D,
∴OD⊥AB,
∴∠AOD= ∠AOB=30°,
同理,∠AOE=30°,
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,
故答案为:60.
13.(2018•连云港)如图,AB 是⊙O 的弦,点 C 在过点 B 的切线上,且 OC⊥
OA,OC 交 AB 于点 P,已知∠OAB=22°,则∠OCB= 44° .
【分析】首先连接 OB,由点 C 在过点 B 的切线上,且 OC⊥OA,根据等角的余
角相等,易证得∠CBP=∠CPB,利用等腰三角形的性质解答即可.
【解答】解:连接 OB,
∵BC 是⊙O 的切线,
∴OB⊥BC,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
∵OC⊥OA,
∴∠A+∠APO=90°,
∵OA=OB,∠OAB=22°,
∴∠OAB=∠OBA=22°,
∴∠APO=∠CBP=68°,
∵∠APO=∠CPB,
∴∠CPB=∠ABP=68°,
∴∠OCB=180°﹣68°﹣68°=44°,
故答案为:44°
14.(2018•泰州)如图,△ABC 中,∠ACB=90°,sinA= ,AC=12,将△ABC
绕点 C 顺时针旋转 90°得到△A'B'C,P 为线段 A′B'上的动点,以点 P 为圆心,PA′
长为半径作⊙P,当⊙P 与△ABC 的边相切时,⊙P 的半径为 或 .
【分析】分两种情形分别求解:如图 1 中,当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时,如
图 2 中,当⊙P 与 AB 相切于点 T 时,
【解答】解:如图 1 中,当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时,连接 PQ.
设 PQ=PA′=r,
∵PQ∥CA′,
∴ = ,
∴ = ,
∴r= .
如图 2 中,当⊙P 与 AB 相切于点 T 时,易证 A′、B′、T 共线,
∵△A′BT∽△ABC,
∴ = ,
∴ = ,
∴A′T= ,
∴r= A′T= .
综上所述,⊙P 的半径为 或 .
15.(2018•宁波)如图,正方形 ABCD 的边长为 8,M 是 AB 的中点,P 是 BC
边上的动点,连结 PM,以点 P 为圆心,PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形 ABCD
的边相切时,BP 的长为 3 或 4 .
【分析】分两种情形分别求解:如图 1 中,当⊙P 与直线 CD 相切时;如图 2 中
当⊙P 与直线 AD 相切时.设切点为 K,连接 PK,则 PK⊥AD,四边形 PKDC 是矩
形;
【解答】解:如图 1 中,当⊙P 与直线 CD 相切时,设 PC=PM=m.
在 Rt△PBM 中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8﹣x)2,
∴x=5,
∴PC=5,BP=BC﹣PC=8﹣5=3.
如图 2 中当⊙P 与直线 AD 相切时.设切点为 K,连接 PK,则 PK⊥AD,四边形
PKDC 是矩形.
∴PM=PK=CD=2BM,
∴BM=4,PM=8,
在 Rt△PBM 中,PB= =4 .
综上所述,BP 的长为 3 或 4 .
16.(2018•台州)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的点,过点 C 作⊙O 的
切线交 AB 的延长线于点 D.若∠A=32°,则∠D= 26 度.
【分析】连接 OC,根据圆周角定理得到∠COD=2∠A,根据切线的性质计算即可.
【解答】解:连接 OC,
由圆周角定理得,∠COD=2∠A=64°,
∵CD 为⊙O 的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠D=90°﹣∠COD=26°,
故答案为:26.
17.(2018•长沙)如图,点 A,B,D 在⊙O 上,∠A=20°,BC 是⊙O 的切线,B
为切点,OD 的延长线交 BC 于点 C,则∠OCB= 50 度.
【分析】由圆周角定理易求∠BOC 的度数,再根据切线的性质定理可得∠
OBC=90°,进而可求出求出∠OCB 的度°°
【解答】解:
∵∠A=20°,
∴∠BOC=40°,
∵BC 是⊙O 的切线,B 为切点,
∴∠OBC=90°,
∴∠OCB=90°﹣40°=50°,
故答案为:50.
18.(2018•香坊区)如图,BD 是⊙O 的直径,BA 是⊙O 的弦,过点 A 的切线
交 BD 延长线于点 C,OE⊥AB 于 E,且 AB=AC,若 CD=2 ,则 OE 的长为 .
【分析】根据题意,利用三角形全等和切线的性质、中位线,直角三角形中 30°
角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得 OE 的长.
【解答】解:连接 OA、AD,如右图所示,
∵BD 是⊙O 的直径,BA 是⊙O 的弦,过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C,OE⊥
AB 于 E,
∴∠DAB=90°,∠OAC=90°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△ACO 和△BAD 中,
,
∴△ACO≌△BAD(ASA),
∴AO=AD,
∵AO=OD,
∴AO=OD=AD,
∴△AOD 是等边三角形,
∴∠ADO=∠DAO=60°,
∴∠B=∠C=30°,∠OAE=30°,∠DAC=30°,
∴AD=DC,
∵CD=2 ,
∴AD=2 ,
∴点 O 为 AD 的中点,OE∥AD,OE⊥AB,
∴OE= ,
故答案为: .
19.(2018•山西)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点 D 是 AB
的中点,以 CD 为直径作⊙O,⊙O 分别与 AC,BC 交于点 E,F,过点 F 作⊙O 的
切线 FG,交 AB 于点 G,则 FG 的长为 .
【分析】先利用勾股定理求出 AB=10,进而求出 CD=BD=5,再求出 CF=4,进而
求出 DF=3,再判断出 FG⊥BD,利用面积即可得出结论.
【解答】解:如图,
在 Rt△ABC 中,根据勾股定理得,AB=10,
∴点 D 是 AB 中点,
∴CD=BD= AB=5,
连接 DF,
∵CD 是⊙O 的直径,
∴∠CFD=90°,
∴BF=CF= BC=4,
∴DF= =3,
连接 OF,
∵OC=OD,CF=BF,
∴OF∥AB,
∴∠OFC=∠B,
∵FG 是⊙O 的切线,
∴∠OFG=90°,
∴∠OFC+∠BFG=90°,
∴∠BFG+∠B=90°,
∴FG⊥AB,
∴S△BDF= DF×BF= BD×FG,
∴FG= = = ,
故答案为 .
20.(2018•包头)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的切线与 BA
的延长线交于点 D,点 E 在 上(不与点 B,C 重合),连接 BE,CE.若∠D=40°,
则∠BEC= 115 度.
【分析】连接 OC,根据切线的性质求出∠DCO,求出∠COB,即可求出答案.
【解答】解:
连接 OC,
∵DC 切⊙O 于 C,
∴∠DCO=90°,
∵∠D=40°,
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°,
∴ 的度数是 130°,
∴ 的度数是 360°﹣130°=230°,
∴∠BEC= =115°,
故答案为:115.
21.(2018•湘潭)如图,AB 是⊙O 的切线,点 B 为切点,若∠A=30°,则∠AOB=
60° .
【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°,根据直角三角形的性质计算即可.
【解答】解:∵AB 是⊙O 的切线,
∴∠OBA=90°,
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°,
故答案为:60°.
22.(2018•徐州)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD 与⊙O
相切于点 D.若∠C=18°,则∠CDA= 126 度.
【分析】连接 OD,构造直角三角形,利用 OA=OD,可求得∠ODA=36°,从而根
据∠CDA=∠CDO+∠ODA 计算求解.
【解答】解:连接 OD,则∠ODC=90°,∠COD=72°;
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠A= ∠COD=36°,
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°.
23.(2018•青岛)如图,Rt△ABC,∠B=90°,∠C=30°,O 为 AC 上一点,OA=2,
以 O 为圆心,以
OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E,与 AB 相交于点 F,连接 OE、OF,则图中阴影
部分的面积是 ﹣ π .
【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案.
【解答】解:∵∠B=90°,∠C=30°,
∴∠A=60°,
∵OA=OF,
∴△AOF 是等边三角形,
∴∠COF=120°,
∵OA=2,
∴扇形 OGF 的面积为: =
∵OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E,
∴∠OEC=90°,
∴OC=2OE=4,
∴AC=OC+OA=6,
∴AB= AC=3,
∴由勾股定理可知:BC=3
∴△ABC 的面积为: ×3×3 =
∵△OAF 的面积为: ×2× = ,
∴阴影部分面积为: ﹣ ﹣ π= ﹣ π
故答案为: ﹣ π
24.(2018•广东)如图,矩形 ABCD 中,BC=4,CD=2,以 AD 为直径的半圆 O
与 BC 相切于点 E,连接 BD,则阴影部分的面积为 π .(结果保留π)
【分析】连接 OE,如图,利用切线的性质得 OD=2,OE⊥BC,易得四边形 OECD
为正方形,先利用扇形面积公式,利用 S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD 计算由弧 DE、线段 EC、
CD 所围成的面积,然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部
分的面积.
【解答】解:连接 OE,如图,
∵以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E,
∴OD=2,OE⊥BC,
易得四边形 OECD 为正方形,
∴由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积=S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD=22﹣ =4﹣π,
∴阴影部分的面积= ×2×4﹣(4﹣π)=π.
故答案为π.
25.(2018•南京)如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=4,以 CD 为直径作⊙O.将
矩形 ABCD 绕点 C
旋转,使所得矩形 A′B′C′D′的边 A′B′与⊙O 相切,切点为 E,边 CD′与⊙O 相交于
点
F,则 CF 的长为 4 .
【分析】连接 OE,延长 EO 交 CD 于点 G,作 OH⊥B′C,由旋转性质知∠B′=∠
B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4,从而得出四边形 OEB′H 和四边形 EB′CG 都是矩
形且 OE=OD=OC=2.5,继而求得 CG=B′E=OH= = =2,根据
垂径定理可得 CF 的长.
【解答】解:连接 OE,延长 EO 交 CD 于点 G,作 OH⊥B′C 于点 H,
则∠OEB′=∠OHB′=90°,
∵矩形 ABCD 绕点 C 旋转所得矩形为 A′B′C′D′,
∴∠B′=∠B′CD′=90°,AB=CD=5、BC=B′C=4,
∴四边形 OEB′H 和四边形 EB′CG 都是矩形,OE=OD=OC=2.5,
∴B′H=OE=2.5,
∴CH=B′C﹣B′H=1.5,
∴CG=B′E=OH= = =2,
∵四边形 EB′CG 是矩形,
∴∠OGC=90°,即 OG⊥CD′,
∴CF=2CG=4,
故答案为:4.
三.解答题(共 25 小题)
26.(2018•柯桥区模拟)如图,已知三角形 ABC 的边 AB 是⊙O 的切线,切点
为 B.AC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D、C,过 C 作直线 CE 丄 AB,交 AB 的延
长线于点 E.
(1)求证:CB 平分∠ACE;
(2)若 BE=3,CE=4,求⊙O 的半径.
【分析】(1)证明:如图 1,连接 OB,由 AB 是⊙0 的切线,得到 OB⊥AB,由
于 CE 丄 AB,的 OB∥CE,于是得到∠1=∠3,根据等腰三角形的性质得到∠1=
∠2,通过等量代换得到结果.
(2)如图 2,连接 BD 通过△DBC∽△CBE,得到比例式 ,列方程可得结
果.
【解答】(1)证明:如图 1,连接 OB,
∵AB 是⊙0 的切线,
∴OB⊥AB,
∵CE 丄 AB,
∴OB∥CE,
∴∠1=∠3,
∵OB=OC,
∴∠1=∠2
∴∠2=∠3,
∴CB 平分∠ACE;
(2)如图 2,连接 BD,
∵CE 丄 AB,
∴∠E=90°,
∴BC= = =5,
∵CD 是⊙O 的直径,
∴∠DBC=90°,
∴∠E=∠DBC,
∴△DBC∽△CBE,
∴ ,
∴BC2=CD•CE,
∴CD= = ,
∴OC= = ,
∴⊙O 的半径= .
27.(2018•天津)已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 相交,∠BAC=38°,
(I)如图①,若 D 为 的中点,求∠ABC 和∠ABD 的大小;
(Ⅱ)如图②,过点 D 作⊙O 的切线,与 AB 的延长线交于点 P,若 DP∥AC,求
∠OCD 的大小.
【分析】(Ⅰ)根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC 和∠ABD 的大
小;
(Ⅱ)根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD 的大小.
【解答】解:(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 相交,∠BAC=38°,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°,
∵D 为 的中点,∠AOB=180°,
∴∠AOD=90°,
∴∠ACD=45°;
(Ⅱ)连接 OD,
∵DP 切⊙O 于点 D,
∴OD⊥DP,即∠ODP=90°,
由 DP∥AC,又∠BAC=38°,
∴∠P=∠BAC=38°,
∵∠AOD 是△ODP 的一个外角,
∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°,
∴∠ACD=64°,
∵OC=OA,∠BAC=38°,
∴∠OCA=∠BAC=38°,
∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°.
28.(2018•荆门)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,经过点 C 的切线
交 AB 的延长线于点 E,AD⊥EC 交 EC 的延长线于点 D,AD 交⊙O 于 F,FM⊥AB
于 H,分别交⊙O、AC 于 M、N,连接 MB,BC.
(1)求证:AC 平分∠DAE;
(2)若 cosM= ,BE=1,①求⊙O 的半径;②求 FN 的长.
【分析】(1)连接 OC,如图,利用切线的性质得 OC⊥DE,则判断 OC∥AD 得
到∠1=∠3,加上∠2=∠3,从而得到∠1=∠2;
(2)①利用圆周角定理和垂径定理得到 = ,则∠COE=∠FAB,所以∠FAB=
∠M=∠COE,设⊙O 的半径为 r,然后在 Rt△OCE 中利用余弦的定义得到 = ,
从而解方程求出 r 即可;
②连接 BF,如图,先在 Rt△AFB 中利用余弦定义计算出 AF= ,再计算出 OC=3,
接着证明△AFN∽△AEC,然后利用相似比可计算出 FN 的长.
【解答】(1)证明:连接 OC,如图,
∵直线 DE 与⊙O 相切于点 C,
∴OC⊥DE,
又∵AD⊥DE,
∴OC∥AD.
∴∠1=∠3
∵OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
∴AC 平方∠DAE;
(2)解:①∵AB 为直径,
∴∠AFB=90°,
而 DE⊥AD,
∴BF∥DE,
∴OC⊥BF,
∴ = ,
∴∠COE=∠FAB,
而∠FAB=∠M,
∴∠COE=∠M,
设⊙O 的半径为 r,
在 Rt△OCE 中,cos∠COE= = ,即 = ,解得 r=4,
即⊙O 的半径为 4;
②连接 BF,如图,
在 Rt△AFB 中,cos∠FAB= ,
∴AF=8× =
在 Rt△OCE 中,OE=5,OC=4,
∴CE=3,
∵AB⊥FM,
∴ ,
∴∠5=∠4,
∵FB∥DE,
∴∠5=∠E=∠4,
∵ = ,
∴∠1=∠2,
∴△AFN∽△AEC,
∴ = ,即 = ,
∴FN= .
29.(2018•随州)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,CN 为⊙O 的切
线,OM⊥AB 于点 O,分别交 AC、CN 于 D、M 两点.
(1)求证:MD=MC;
(2)若⊙O 的半径为 5,AC=4 ,求 MC 的长.
【分析】(1)连接 OC,利用切线的性质证明即可;
(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.
【解答】解:(1)连接 OC,
∵CN 为⊙O 的切线,
∴OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90°,
∵OM⊥AB,
∴∠OAC+∠ODA=90°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,
∴MD=MC;
(2)由题意可知 AB=5×2=10,AC=4 ,
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC= ,
∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AOD∽△ACB,
∴ ,即 ,
可得:OD=2.5,
设 MC=MD=x,在 Rt△OCM 中,由勾股定理得:(x+2.5)2=x2+52,
解得:x= ,
即 MC= .
30.(2018•黄冈)如图,AD 是⊙O 的直径,AB 为⊙O 的弦,OP⊥AD,OP 与
AB 的延长线交于点 P,过 B 点的切线交 OP 于点 C.
(1)求证:∠CBP=∠ADB.
(2)若 OA=2,AB=1,求线段 BP 的长.
【分析】(1)连接 OB,如图,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,再根据切线的
性质得到∠OBC=90°,然后利用等量代换进行证明;
(2)证明△AOP∽△ABD,然后利用相似比求 BP 的长.
【解答】(1)证明:连接 OB,如图,
∵AD 是⊙O 的直径,
∴∠ABD=90°,
∴∠A+∠ADB=90°,
∵BC 为切线,
∴OB⊥BC,
∴∠OBC=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
而 OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠CBP=∠ADB;
(2)解:∵OP⊥AD,
∴∠POA=90°,
∴∠P+∠A=90°,
∴∠P=∠D,
∴△AOP∽△ABD,
∴ = ,即 = ,
∴BP=7.
31.(2018•襄阳)如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和 BN 是⊙O 的两条切线,E 为
⊙O 上一点,过点 E 作直线 DC 分别交 AM,BN 于点 D,C,且 CB=CE.
(1)求证:DA=DE;
(2)若 AB=6,CD=4 ,求图中阴影部分的面积.
【分析】(1)连接 OE.推知 CD 为⊙O 的切线,即可证明 DA=DE;
(2)利用分割法求得阴影部分的面积.
【解答】解:(1)证明:连接 OE、OC.
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB.
∵BC=EC,
∴∠CBE=∠CEB,
∴∠OBC=∠OEC.
∵BC 为⊙O 的切线,
∴∠OEC=∠OBC=90°;
∵OE 为半径,
∴CD 为⊙O 的切线,
∵AD 切⊙O 于点 A,
∴DA=DE;
(2)如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,则四边形 ABFD 是矩形,
∴AD=BF,DF=AB=6,
∴DC=BC+AD=4 .
∵FC= =2 ,
∴BC﹣AD=2 ,
∴BC=3 .
在直角△OBC 中,tan∠BOE= = ,
∴∠BOC=60°.
在△OEC 与△OBC 中,
,
∴△OEC≌△OBC(SSS),
∴∠BOE=2∠BOC=120°.
∴S 阴影部分=S 四边形 BCEO﹣S 扇形 OBE=2× BC•OB﹣ =9 ﹣3π.
32.(2018•长春)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点 A,BC 交⊙O 于点 D.已
知⊙O 的半径为 6,∠C=40°.
(1)求∠B 的度数.
(2)求 的长.(结果保留π)
【分析】(1)根据切线的性质求出∠A=90°,根据三角形内角和定理求出即可;
(2)根据圆周角定理求出∠AOD,根据弧长公式求出即可.
【解答】解:(1)∵AC 切⊙O 于点 A,
∠BAC=90°,
∵∠C=40°,
∴∠B=50°;
(2)连接 OD,
∵∠B=50°,
∴∠AOD=2∠B=100°,
∴ 的长为 = π.
33.(2018•白银)如图,点 O 是△ABC 的边 AB 上一点,⊙O 与边 AC 相切于点
E,与边 BC,AB 分别相交于点 D,F,且 DE=EF.
(1)求证:∠C=90°;
(2)当 BC=3,sinA= 时,求 AF 的长.
【分析】(1)连接 OE,BE,因为 DE=EF,所以 ,从而易证∠OEB=∠DBE,
所以 OE∥BC,从可证明 BC⊥AC;
(2)设⊙O 的半径为 r,则 AO=5﹣r,在 Rt△AOE 中,sinA= = = ,从而
可求出 r 的值.
【解答】解:(1)连接 OE,BE,
∵DE=EF,
∴
∴∠OBE=∠DBE
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE
∴∠OEB=∠DBE,
∴OE∥BC
∵⊙O 与边 AC 相切于点 E,
∴OE⊥AC
∴BC⊥AC
∴∠C=90°
(2)在△ABC,∠C=90°,BC=3,sinA=
∴AB=5,
设⊙O 的半径为 r,则 AO=5﹣r,
在 Rt△AOE 中,sinA= = =
∴r=
∴AF=5﹣2× =
34.(2018•绵阳)如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 在⊙O 上(点 D 不与 A,B 重
合),直线 AD 交过点 B 的切线于点 C,过点 D 作⊙O 的切线 DE 交 BC 于点 E.
(1)求证:BE=CE;
(2)若 DE∥AB,求 sin∠ACO 的值.
【分析】(1)证明:连接 OD,如图,利用切线长定理得到 EB=ED,利用切线的
性质得 OD⊥DE,AB⊥CB,再根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ACB,则 EC=ED,
从而得到 BE=CE;
(2)作 OH⊥AD 于 H,如图,设⊙O 的半径为 r,先证明四边形 OBED 为正方形
得 DE=CE=r,再利用△AOD 和△CDE 都为等腰直角三角形得到 OH=DH= r,
CD= r,
接着根据勾股定理计算出 OC= r,然后根据正弦的定义求解.
【解答】(1)证明:连接 OD,如图,
∵EB、ED 为⊙O 的切线,
∴EB=ED,OD⊥DE,AB⊥CB,
∴∠ADO+∠CDE=90°,∠A+∠ACB=90°,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∴∠CDE=∠ACB,
∴EC=ED,
∴BE=CE;
(2)解:作 OH⊥AD 于 H,如图,设⊙O 的半径为 r,
∵DE∥AB,
∴∠DOB=∠DEB=90°,
∴四边形 OBED 为矩形,
而 OB=OD,
∴四边形 OBED 为正方形,
∴DE=CE=r,
易得△AOD 和△CDE 都为等腰直角三角形,
∴OH=DH= r,CD= r,
在 Rt△OCB 中,OC= = r,
在 Rt△OCH 中,sin∠OCH= = = ,
即 sin∠ACO 的值为 .
35.(2018•德州)如图,AB 是⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 C,且与
AB 的延长线交于点 E,点 C 是 的中点.
(1)求证:AD⊥CD;
(2)若∠CAD=30°,⊙O 的半径为 3,一只蚂蚁从点 B 出发,沿着 BE﹣EC﹣ 爬
回至点 B,求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14, ≈1.73,结果保留一位小数).
【分析】(1)连接 OC,根据切线的性质得到 OC⊥CD,证明 OC∥AD,根据平
行线的性质证明;
(2)根据圆周角定理得到∠COE=60°,根据勾股定理、弧长公式计算即可.
【解答】(1)证明:连接 OC,
∵直线 CD 与⊙O 相切,
∴OC⊥CD,
∵点 C 是 的中点,
∴∠DAC=∠EAC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠EAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,
∴AD⊥CD;
(2)解:∵∠CAD=30°,
∴∠CAE=∠CAD=30°,
由圆周角定理得,∠COE=60°,
∴OE=2OC=6,EC= OC=3 , = =π,
∴蚂蚁爬过的路程=3+3 +π≈11.3.
36.(2018•北京)如图,AB 是⊙O 的直径,过⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线
PC,PD,切点分别为 C,D,连接 OP,CD.
(1)求证:OP⊥CD;
(2)连接 AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求 OP 的长.
【分析】(1)先判断出 Rt△ODP≌Rt△OCP,得出∠DOP=∠COP,即可得出结论;
(2)先 求出∠COD=60°,得出△OCD 是等边三角形,最后用锐角三角函数即可
得出结论.
【解答】解:(1)连接 OC,OD,
∴OC=OD,
∵PD,PC 是⊙O 的切线,
∵∠ODP=∠OCP=90°,
在 Rt△ODP 和 Rt△OCP 中, ,
∴Rt△ODP≌Rt△OCP,
∴∠DOP=∠COP,
∵OD=OC,
∴OP⊥CD;
(2)如图,连接 OD,OC,
∴OA=OD=OC=OB=2,
∴∠ADO=∠DAO=50°,∠BCO=∠CBO=70°,
∴∠AOD=80°,∠BOC=40°,
∴∠COD=60°,
∵OD=OC,
∴△COD 是等边三角形,
由(1)知,∠DOP=∠COP=30°,
在 Rt△ODP 中,OP= = .
37.(2018•铜仁市)如图,在三角形 ABC 中,AB=6,AC=BC=5,以 BC 为直径作
⊙O 交 AB 于点 D,交 AC 于点 G,直线 DF 是⊙O 的切线,D 为切点,交 CB 的延
长线于点 E.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)求 tan∠E 的值.
【分析】(1)连接 OC,CD,根据圆周角定理得∠BDC=90°,由等腰三角形三线
合一的性质得:D 为 AB 的中点,所以 OD 是中位线,由三角形中位线性质得:
OD∥AC,根据切线的性质可得结论;
(2)如图,连接 BG,先证明 EF∥BG,则∠CBG=∠E,求∠CBG 的正切即可.
【解答】(1)证明:如图,连接 OC,CD,
∵BC 是⊙O 的直径,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB,
∵AC=BC,
∴AD=BD,
∵OB=OC,
∴OD 是△ABC 的中位线
∴OD∥AC,
∵DF 为⊙O 的切线,
∴OD⊥DF,
∴DF⊥AC;
(2)解:如图,连接 BG,
∵BC 是⊙O 的直径,
∴∠BGC=90°,
∵∠EFC=90°=∠BGC,
∴EF∥BG,
∴∠CBG=∠E,
Rt△BDC 中,∵BD=3,BC=5,
∴CD=4,
S△ABC= ,
6×4=5BG,
BG= ,
由勾股定理得:CG= = ,
∴tan∠CBG=tan∠E= = = .
38.(2018•昆明)如图,AB 是⊙O 的直径,ED 切⊙O 于点 C,AD 交⊙O 于点 F,
∠AC 平分∠BAD,连接 BF.
(1)求证:AD⊥ED;
(2)若 CD=4,AF=2,求⊙O 的半径.
【分析】(1)连接 OC,如图,先证明 OC∥AD,然后利用切线的性质得 OC⊥
DE,从而得到 AD⊥ED;
(2)OC 交 BF 于 H,如图,利用圆周角定理得到∠AFB=90°,再证明四边形 CDFH
为矩形得到 FH=CD=4,∠CHF=90°,利用垂径定理得到 BH=FH=4,然后利用勾股
定理计算出 AB,从而得到⊙O 的半径.
【解答】(1)证明:连接 OC,如图,
∵AC 平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OC∥AD,
∵ED 切⊙O 于点 C,
∴OC⊥DE,
∴AD⊥ED;
(2)解:OC 交 BF 于 H,如图,
∵AB 为直径,
∴∠AFB=90°,
易得四边形 CDFH 为矩形,
∴FH=CD=4,∠CHF=90°,
∴OH⊥BF,
∴BH=FH=4,
∴BF=8,
在 Rt△ABF 中,AB= = =2 ,
∴⊙O 的半径为 .
39.(2018•陕西)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以斜边 AB 上的中线 CD
为直径作⊙O,分别与 AC、BC 交于点 M、N.
(1)过点 N 作⊙O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E,求证:NE⊥AB;
(2)连接 MD,求证:MD=NB.
【分析】(1)连接 ON,如图,根据斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD=AD=DB,
则∠1=∠B,再证明∠2=∠B 得到 ON∥DB,接着根据切线的性质得到 ON⊥NE,
然后利用平行线的性质得到结论;
(2)连接 DN,如图,根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°,则可判断四边
形 CMDN 为矩形,所以 DM=CN,然后证明 CN=BN,从而得到 MD=NB.
【解答】证明:(1)连接 ON,如图,
∵CD 为斜边 AB 上的中线,
∴CD=AD=DB,
∴∠1=∠B,
∵OC=ON,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠B,
∴ON∥DB,
∵NE 为切线,
∴ON⊥NE,
∴NE⊥AB;
(2)连接 DN,如图,
∵AD 为直径,
∴∠CMD=∠CND=90°,
而∠MCB=90°,
∴四边形 CMDN 为矩形,
∴DM=CN,
∵DN⊥BC,∠1=∠B,
∴CN=BN,
∴MD=NB.
40.(2018•曲靖)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,将弧 BC 沿直
线 BC 翻折,使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合,连接 OC,CD,BD,过点 C
的切线与线段 BA 的延长线交于点 P,连接 AD,在 PB 的另一侧作∠MPB=∠ADC.
(1)判断 PM 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 PC= ,求四边形 OCDB 的面积.
【分析】(1)连接 DO 并延长交 PM 于 E,如图,利用折叠的性质得 OC=DC,BO=BD,
则可判断四边形 OBDC 为菱形,所以 OD⊥BC,△OCD 和△OBD 都是等边三角形,
从而计算出∠COP=∠EOP=60°,接着证明 PM∥BC 得到 OE⊥PM,所以 OE= OP,
根据切线的性质得到 OC⊥PC,则 OC= OP,从而可判定 PM 是⊙O 的切线;
(2)先在 Rt△OPC 中计算出 OC=1,然后根据等边三角形的面积公式计算四边形
OCDB 的面积.
【解答】解:(1)PM 与⊙O 相切.
理由如下:
连接 DO 并延长交 PM 于 E,如图,
∵弧 BC 沿直线 BC 翻折,使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合,
∴OC=DC,BO=BD,
∴OC=DC=BO=BD,
∴四边形 OBDC 为菱形,
∴OD⊥BC,
∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形,
∴∠COD=∠BOD=60°,
∴∠COP=∠EOP=60°,
∵∠MPB=∠ADC,
而∠ADC=∠ABC,
∴∠ABC=∠MPB,
∴PM∥BC,
∴OE⊥PM,
∴OE= OP,
∵PC 为⊙O 的切线,
∴OC⊥PC,
∴OC= OP,
∴OE=OC,
而 OE⊥PC,
∴PM 是⊙O 的切线;
(2)在 Rt△OPC 中,OC= PC= × =1,
∴四边形 OCDB 的面积=2S△OCD=2× ×12= .
41.(2018•邵阳)如图所示,AB 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,过点 B 作
BD⊥CD,垂足为点 D,连结 BC.BC 平分∠ABD.
求证:CD 为⊙O 的切线.
【分析】先利用 BC 平分∠ABD 得到∠OBC=∠DBC,再证明 OC∥BD,从而得到
OC⊥CD,然后根据切线的判定定理得到结论.
【解答】证明:∵BC 平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥BD,
∵BD⊥CD,
∴OC⊥CD,
∴CD 为⊙O 的切线.
42.(2018•黄石)如图,已知 A、B、C、D、E 是⊙O 上五点,⊙O 的直径 BE=2 ,
∠BCD=120°,A 为 的中点,延长 BA 到点 P,使 BA=AP,连接 PE.
(1)求线段 BD 的长;
(2)求证:直线 PE 是⊙O 的切线.
【分析】(1)连接 DB,如图,利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°,再根据
圆周角定理得到∠BDE=90°,然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算 BD
的长;
(2)连接 EA,如图,根据圆周角定理得到∠BAE=90°,而 A 为 的中点,则∠
ABE=45°,再根据等腰三角形的判定方法,利用 BA=AP 得到△BEP 为等腰直角三
角形,所以∠PEB=90°,然后根据切线的判定定理得到结论.
【解答】(1)解:连接 DB,如图,
∵∠BCD+∠DEB=180°,
∴∠DEB=180°﹣120°=60°,
∵BE 为直径,
∴∠BDE=90°,
在 Rt△BDE 中,DE= BE= ×2 = ,
BD= DE= × =3;
(2)证明:连接 EA,如图,
∵BE 为直径,
∴∠BAE=90°,
∵A 为 的中点,
∴∠ABE=45°,
∵BA=AP,
而 EA⊥BA,
∴△BEP 为等腰直角三角形,
∴∠PEB=90°,
∴PE⊥BE,
∴直线 PE 是⊙O 的切线.
43.(2018•怀化)已知:如图,AB 是⊙O 的直径,AB=4,点 F,C 是⊙O 上两
点,连接 AC,AF,OC,弦 AC 平分∠FAB,∠BOC=60°,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF
的延长线于点 D,垂足为点 D.
(1)求扇形 OBC 的面积(结果保留);
(2)求证:CD 是⊙O 的切线.
【分析】(1)由扇形的面积公式即可求出答案.
(2)易证∠FAC=∠ACO,从而可知 AD∥OC,由于 CD⊥AF,所以 CD⊥OC,所以
CD 是⊙O 的切线.
【解答】解:(1)∵AB=4,
∴OB=2
∵∠COB=60°,
∴S 扇形 OBC= =
(2)∵AC 平分∠FAB,
∴∠FAC=∠CAO,
∵AO=CO,
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC,
∵CD⊥AF,
∴CD⊥OC
∵C 在圆上,
∴CD 是⊙O 的切线
44.(2018•新疆)如图,PA 与⊙O 相切于点 A,过点 A 作 AB⊥OP,垂足为 C,
交⊙O 于点 B.连接 PB,AO,并延长 AO 交⊙O 于点 D,与 PB 的延长线交于点 E.
(1)求证:PB 是⊙O 的切线;
(2)若 OC=3,AC=4,求 sinE 的值.
【分析】(1)要证明是圆的切线,须证明过切点的半径垂直,所以连接 OBB,
证明 OB⊥PE 即可.
(2)要求 sinE,首先应找出直角三角形,然后利用直角三角函数求解即可.而
sinE 既可放在直角三角形 EAP 中,也可放在直角三角形 EBO 中,所以利用相似
三角形的性质求出 EP 或 EO 的长即可解决问题
【解答】(1)证明:连接 OB∵PO⊥AB,
∴AC=BC,
∴PA=PB
在△PAO 和△PBO 中
∴△PAO 和≌△PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB 是⊙O 的切线.
(2)连接 BD,则 BD∥PO,且 BD=2OC=6
在 Rt△ACO 中,OC=3,AC=4
∴AO=5
在 Rt△ACO 与 Rt△PAO 中,
∠APO=∠APO,
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO∼△PAO
=
∴PO= ,PA=
∴PB=PA=
在△EPO 与△EBD 中,
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴ = ,
解得 EB= ,
PE= ,
∴sinE= =
45.(2018•安顺)如图,在△ABC 中,AB=AC,O 为 BC 的中点,AC 与半圆 O
相切于点 D.
(1)求证:AB 是半圆 O 所在圆的切线;
(2)若 cos∠ABC= ,AB=12,求半圆 O 所在圆的半径.
【分析】(1)先判断出∠CAO=∠BAO,进而判断出 OD=OE,即可得出结论;
(2)先求出 OB,再用勾股定理求出 OA,最后用三角形的面积即可得出结论.
【解答】解:(1)如图,作 OE⊥AB 于 E,连接 OD,OA,
∵AB=AC,点 O 是 BC 的中点,
∴∠CAO=∠BAO,
∵AC 与半圆 O 相切于 D,
∴OD⊥AC,
∵OE⊥AB,
∴OD=OE,
∵AB 径半圆 O 的半径的外端点,
∴AB 是半圆 O 所在圆的切线;
(2)∵AB=AC,O 是 BC 的中点,
∴AO⊥BC,
在 Rt△AOB 中,OB=AB•cos∠ABC=12× =8,
根据勾股定理得,OA= =4 ,
由三角形的面积得,S△AOB= AB•OE= OB•OA,
∴OE= = ,
即:半圆 O 所在圆的半径为 .
46.(2018•衡阳)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,∠BAC 的平分线
交⊙O 于点 D,过点 D 作 DE⊥AC 分别交 AC、AB 的延长线于点 E、F.
(1)求证:EF 是⊙O 的切线;
(2)若 AC=4,CE=2,求 的长度.(结果保留π)
【分析】(1)连接 OD,由 OA=OD 知∠OAD=∠ODA,由 AD 平分∠EAF 知∠DAE=
∠DAO,据此可得∠DAE=∠ADO,继而知 OD∥AE,根据 AE⊥EF 即可得证;
( 2 ) 作 OG ⊥ AE , 知 AG=CG= AC=2 , 证 四 边 形 ODEG 是 矩 形 得
OA=OB=OD=CG+CE=4,再证△ADE∽△ABD 得 AD2=48,据此得出 BD 的长及∠BAD
的度数,利用弧长公式可得答案.
【解答】解:(1)如图,连接 OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD 平分∠EAF,
∴∠DAE=∠DAO,
∴∠DAE=∠ADO,
∴OD∥AE,
∵AE⊥EF,
∴OD⊥EF,
∴EF 是⊙O 的切线;
(2)如图,作 OG⊥AE 于点 G,连接 BD,
则 AG=CG= AC=2,∠OGE=∠E=∠ODE=90°,
∴四边形 ODEG 是矩形,
∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4,∠DOG=90°,
∵∠DAE=∠BAD,∠AED=∠ADB=90°,
∴△ADE∽△ABD,
∴ = ,即 = ,
∴AD2=48,
在 Rt△ABD 中,BD= =4,
在 Rt△ABD 中,∵AB=2BD,
∴∠BAD=30°,
∴∠BOD=60°,
则 的长度为 = .
47.(2018•孝感)如图,△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,
交 AC 于点 E,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,交 AB 的延长线于点 G.
(1)求证:DF 是⊙O 的切线;
(2)已知 BD=2 ,CF=2,求 AE 和 BG 的长.
【分析】(1)连接 OD,AD,由圆周角定理可得 AD⊥BC,结合等腰三角形的性
质知 BD=CD,再根据 OA=OB 知 OD∥AC,从而由 DG⊥AC 可得 OD⊥FG,即可得
证;
(2)连接 BE.BE∥GF,推出△AEB∽△AFG,可得 = ,由此构建方程即可
解决问题;
【解答】解:(1)连接 OD,AD,
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
又∵OA=OB,
∴OD∥AC,
∵DG⊥AC,
∴OD⊥FG,
∴直线 FG 与⊙O 相切;
(2)连接 BE.∵BD=2 ,
∴ ,
∵CF=2,
∴DF= =4,
∴BE=2DF=8,
∵cos∠C=cos∠ABC,
∴ = ,
∴ = ,
∴AB=10,
∴AE= =6,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥GF,
∴△AEB∽△AFG,
∴ = ,
∴ = ,
∴BG= .
48.(2018•江西)如图,在△ABC 中,O 为 AC 上一点,以点 O 为圆心,OC 为
半径做圆,与 BC 相切于点 C,过点 A 作 AD⊥BO 交 BO 的廷长线于点 D,且∠AOD=
∠BAD.
(1)求证:AB 为⊙O 的切线;
(2)若 BC=6,tan∠ABC= ,求 AD 的长.
【分析】(1)作 OE⊥AB,先由∠AOD=∠BAD 求得∠ABD=∠OAD,再由∠BOC=
∠D=90°及∠BOC=∠AOD 求得∠OBC=∠OAD=∠ABD,最后证△BOC≌△BOE 得
OE=OC,依据切线的判定可得;
(2)先求得∠EOA=∠ABC,在 Rt△ABC 中求得 AC=8、AB=10,由切线长定理知
BE=BC=6、AE=4、OE=3,继而得 BO=3 ,再证△ABD∽△OBC 得 = ,据此
可得答案.
【解答】解:(1)过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,
∵AD⊥BO 于点 D,
∴∠D=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°,
∵∠AOD=∠BAD,
∴∠ABD=∠OAD,
又∵BC 为⊙O 的切线,
∴AC⊥BC,
∴∠BOC=∠D=90°,
∵∠BOC=∠AOD,
∴∠OBC=∠OAD=∠ABD,
在△BOC 和△BOE 中,
∵ ,
∴△BOC≌△BOE(AAS),
∴OE=OC,
∵OE⊥AB,
∴AB 是⊙O 的切线;
(2)∵∠ABC+∠BAC=90°,∠EOA+∠BAC=90°,
∴∠EOA=∠ABC,
∵tan∠ABC= 、BC=6,
∴AC=BC•tan∠ABC=8,
则 AB=10,
由(1)知 BE=BC=6,
∴AE=4,
∵tan∠EOA=tan∠ABC= ,
∴ = ,
∴OE=3,OB= =3 ,
∵∠ABD=∠OBC,∠D=∠ACB=90°,
∴△ABD∽△OBC,
∴ = ,即 = ,
∴AD=2 .
49.(2018•金华)如图,在 Rt△ABC 中,点 O 在斜边 AB 上,以 O 为圆心,OB
为半径作圆,分别与 BC,AB 相交于点 D,E,连结 AD.已知∠CAD=∠B.
(1)求证:AD 是⊙O 的切线.
(2)若 BC=8,tanB= ,求⊙O 的半径.
【分析】(1)连接 OD,由 OD=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再由已
知角相等,等量代换得到∠1=∠3,求出∠4 为 90°,即可得证;
(2)设圆的半径为 r,利用锐角三角函数定义求出 AB 的长,再利用勾股定理列
出关于 r 的方程,求出方程的解即可得到结果.
【解答】(1)证明:连接 OD,
∵OB=OD,
∴∠3=∠B,
∵∠B=∠1,
∴∠1=∠3,
在 Rt△ACD 中,∠1+∠2=90°,
∴∠4=180°﹣(∠2+∠3)=90°,
∴OD⊥AD,
则 AD 为圆 O 的切线;
(2)设圆 O 的半径为 r,
在 Rt△ABC 中,AC=BCtanB=4,
根据勾股定理得:AB= =4 ,
∴OA=4 ﹣r,
在 Rt△ACD 中,tan∠1=tanB= ,
∴CD=ACtan∠1=2,
根据勾股定理得:AD2=AC2+CD2=16+4=20,
在 Rt△ADO 中,OA2=OD2+AD2,即(4 ﹣r)2=r2+20,
解得:r= .
50.(2018•南充)如图,C 是⊙O 上一点,点 P 在直径 AB 的延长线上,⊙O 的
半径为 3,PB=2,PC=4.
(1)求证:PC 是⊙O 的切线.
(2)求 tan∠CAB 的值.
【分析】(1)可以证明 OC2+PC2=OP2 得△OCP 是直角三角形,即 OC⊥PC,PC
是⊙O 的切线
(2))AB 是直径,得∠ACB=90°,通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA,进而
,得出 tan∠CAB= .
【解答】解:(1)如图,连接 OC、BC
∵⊙O 的半径为 3,PB=2
∴OC=OB=3,OP=OB+PB=5
∵PC=4
∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP 是直角三角形,
∴OC⊥PC
∴PC 是⊙O 的切线.
(2)∵AB 是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OC⊥PC
∴∠BCP+∠OCB=90°
∴∠BCP=∠ACO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠BCP
在△PBC 和△PCA 中:
∠BCP=∠A,∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA,
∴
∴tan∠CAB=