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- 2021-05-13 发布
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2016年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题(共8小题,每小题2分,满分16分)
1.﹣2的绝对值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣ D.
2.计算3﹣(﹣1)的结果是( )
A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4
3.如图所示是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是( )
A.圆柱体 B.三棱锥 C.球体 D.圆锥体
4.如图,数轴上点P对应的数为p,则数轴上与数﹣对应的点是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
5.如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是( )
A. cm B.5cm C.6cm D.10cm
6.若x>y,则下列不等式中不一定成立的是( )
A.x+1>y+1 B.2x>2y C.> D.x2>y2
7.已知△ABC中,BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为P,则CP的长可能是( )
A.2 B.4 C.5 D.7
8.已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的自变量和对应函数值如表:
x
…
﹣1
0
2
4
…
第33页(共33页)
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
当y2>y1时,自变量x的取值范围是( )
A.x<﹣1 B.x>4 C.﹣1<x<4 D.x<﹣1或x>4
二、填空题(共10小题,每小题2分,满分20分)
9.化简:﹣=______.
10.若分式有意义,则x的取值范围是______.
11.分解因式:x3﹣2x2+x=______.
12.一个多边形的每个外角都是60°,则这个多边形边数为______.
13.若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等,则x的值是______.
14.在比例尺为1:40000的地图上,某条道路的长为7cm,则该道路的实际长度是______km.
15.已知正比例函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)图象的一个交点坐标为(﹣1,﹣1),则另一个交点坐标是______.
16.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=70°,∠OBC=60°,则∠ODC=______.
17.已知x、y满足2x•4y=8,当0≤x≤1时,y的取值范围是______.
18.如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是______.
第33页(共33页)
三、解答题(共10小题,满分84分)
19.先化简,再求值(x﹣1)(x﹣2)﹣(x+1)2,其中x=.
20.解方程和不等式组:
(1)+=1
(2).
21.为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式,调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项,用随机抽样的方法调查了该市部分市民,并根据调查结果绘制成如下统计图.
根据统计图所提供的信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了______名市民;
(2)补全条形统计图;
(3)该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数.
22.一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球,这些球除颜色外都相同
(1)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,求摸到红球的概率;
(2)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球,求两次都摸到红球的概率.
23.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O
(1)求证:OB=OC;
(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.
24.某超市销售甲、乙两种糖果,购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元,购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元.
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(1)求甲、乙两种糖果的价格;
(2)若购买甲、乙两种糖果共20千克,且总价不超过240元,问甲种糖果最少购买多少千克?
25.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α(30°<α<180°),得到△AO′B′.
(1)当α=60°时,判断点B是否在直线O′B′上,并说明理由;
(2)连接OO′,设OO′与AB交于点D,当α为何值时,四边形ADO′B′是平行四边形?请说明理由.
26.(1)阅读材料:
教材中的问题,如图1,把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开,使剪成的若干块能够拼成一个大正方形,小明的思考:因为剪拼前后的图形面积相等,且5个小正方形的总面积为5,所以拼成的大正方形边长为______,故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边,请在图1中用虚线补全剪拼示意图.
(2)类比解决:
如图2,已知边长为2的正三角形纸板ABC,沿中位线DE剪掉△ADE,请把纸板剩下的部分DBCE剪开,使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形.
①拼成的正三角形边长为______;
②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图.
(3)灵活运用:
如图3,把一边长为60cm的正方形彩纸剪开,用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝,其中∠BCD=90°,延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F,点E、F分别为AB、AD的中点,在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨,在图3的正方形中画出一种剪拼示意图,并求出相应轻质钢丝的总长度.(说明:题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余)
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27.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点,点A(3,3),点M为抛物线的顶点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值;
(3)直线OA上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
28.如图,正方形ABCD的边长为1,点P在射线BC上(异于点B、C),直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q
(1)若BP=,求∠BAP的度数;
(2)若点P在线段BC上,过点F作FG⊥CD,垂足为G,当△FGC≌△QCP时,求PC的长;
(3)以PQ为直径作⊙M.
①判断FC和⊙M的位置关系,并说明理由;
②当直线BD与⊙M相切时,直接写出PC的长.
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2016年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题2分,满分16分)
1.﹣2的绝对值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣ D.
【考点】绝对值.
【分析】根据绝对值的定义,可直接得出﹣2的绝对值.
【解答】解:|﹣2|=2.
故选B.
【点评】本题考查了绝对值的定义,关键是利用了绝对值的性质.
2.计算3﹣(﹣1)的结果是( )
A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4
【考点】有理数的减法.
【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数,所以3﹣(﹣1)=3+1=4.
【解答】解:3﹣(﹣1)=4,
故答案为:D.
【点评】本题考查了有理数的减法,属于基础题,比较简单;熟练掌握减法法则是做好本题的关键.
3.如图所示是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是( )
A.圆柱体 B.三棱锥 C.球体 D.圆锥体
【考点】由三视图判断几何体.
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【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
【解答】解:由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体,
由俯视图为圆可得为圆柱体.
故选A.
【点评】本题考查了由三视图来判断几何体,还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力.
4.如图,数轴上点P对应的数为p,则数轴上与数﹣对应的点是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
【考点】数轴.
【分析】根据图示得到点P所表示的数,然后求得﹣的值即可.
【解答】解:如图所示,点P表示的数是1.5,则﹣=0.75>﹣1,则数轴上与数﹣对应的点是C.
故选:C.
【点评】本题考查了数轴,根据图示得到点P所表示的数是解题的关键.
5.如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是( )
A. cm B.5cm C.6cm D.10cm
【考点】圆周角定理;勾股定理.
【分析】如图,连接MN,根据圆周角定理可以判定MN是直径,所以根据勾股定理求得直径,然后再来求半径即可.
【解答】解:如图,连接MN,
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∵∠O=90°,
∴MN是直径,
又OM=8cm,ON=6cm,
∴MN===10(cm).
∴该圆玻璃镜的半径是: MN=5cm.
故选:B.
【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理,半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
6.若x>y,则下列不等式中不一定成立的是( )
A.x+1>y+1 B.2x>2y C.> D.x2>y2
【考点】不等式的性质.
【分析】根据不等式的基本性质进行判断,不等式的两边加上同一个数,不等号的方向不变;不等式的两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
【解答】解:(A)在不等式x>y两边都加上1,不等号的方向不变,故(A)正确;
(B)在不等式x>y两边都乘上2,不等号的方向不变,故(B)正确;
(C)在不等式x>y两边都除以2,不等号的方向不变,故(C)正确;
(D)当x=1,y=﹣2时,x>y,但x2<y2,故(D)错误.
故选(D)
【点评】本题主要考查了不等式的性质,应用不等式的性质应注意的问题:在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向.
7.已知△ABC中,BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为P,则CP的长可能是( )
A.2 B.4 C.5 D.7
【考点】垂线段最短.
第33页(共33页)
【分析】根据垂线段最短得出结论.
【解答】解:如图,根据垂线段最短可知:PC<3,
∴CP的长可能是2,
故选A.
【点评】本题考查了垂线段最短的性质,正确理解此性质,垂线段最短,指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短;本题是指点C到直线AB连接的所有线段中,CP是垂线段,所以最短;在实际问题中涉及线路最短问题时,其理论依据应从“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择.
8.已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的自变量和对应函数值如表:
x
…
﹣1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
当y2>y1时,自变量x的取值范围是( )
A.x<﹣1 B.x>4 C.﹣1<x<4 D.x<﹣1或x>4
【考点】二次函数与不等式(组).
【分析】先在表格中找出点,用待定系数法求出直线和抛物线的解析式,用y2>y1建立不等式,求解不等式即可.
【解答】解:由表可知,(﹣1,0),(0,1)在直线一次函数y1=kx+m的图象上,
∴,
∴
∴一次函数y1=x+1,
由表可知,(﹣1,0),(1,﹣4),(3,0)在二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,
第33页(共33页)
∴,
∴
∴二次函数y2=x2﹣2x﹣3
当y2>y1时,∴x2﹣2x﹣3>x+1,
∴(x﹣4)(x+1)>0,
∴x>4或x<﹣1,
故选D
【点评】此题是二次函数和不等式题目,主要考查了待定系数法,解不等式,解本题的关键是求出直线和抛物线的解析式.
二、填空题(共10小题,每小题2分,满分20分)
9.化简:﹣= .
【考点】二次根式的加减法.
【分析】先把各根式化为最简二次根式,再根据二次根式的减法进行计算即可.
【解答】解:原式=2﹣
=.
故答案为:.
【点评】本题考查的是二次根式的加减法,熟知二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变是解答此题的关键.
10.若分式有意义,则x的取值范围是 x≠﹣1 .
【考点】分式有意义的条件.
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
【解答】解:∵分式有意义,
∴x+1≠0,即x≠﹣﹣1
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故答案为:x≠﹣1.
【点评】本题考查的是分式有意义的条件,熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键.
11.分解因式:x3﹣2x2+x= x(x﹣1)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式x,进而利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解:x3﹣2x2+x=x(x2﹣2x+1)=x(x﹣1)2.
故答案为:x(x﹣1)2.
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,熟练应用完全平方公式是解题关键.
12.一个多边形的每个外角都是60°,则这个多边形边数为 6 .
【考点】多边形内角与外角.
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数.
【解答】解:360÷60=6.
故这个多边形边数为6.
故答案为:6.
【点评】此题主要考查了多边形的外角和,关键是掌握任何多边形的外角和都360°.
13.若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等,则x的值是 ﹣4 .
【考点】解一元一次方程.
【分析】根据题意列出方程,求出方程的解即可得到x的值.
【解答】解:根据题意得:x﹣5=2x﹣1,
解得:x=﹣4,
故答案为:﹣4
【点评】此题考查了解一元一次方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
14.在比例尺为1:40000的地图上,某条道路的长为7cm,则该道路的实际长度是 2.8 km.
【考点】比例线段.
【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离,依题意列比例式直接求解即可.
第33页(共33页)
【解答】解:设这条道路的实际长度为x,则:
,
解得x=280000cm=2.8km.
∴这条道路的实际长度为2.8km.
故答案为:2.8
【点评】此题考查比例线段问题,能够根据比例尺正确进行计算,注意单位的转换.
15.已知正比例函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)图象的一个交点坐标为(﹣1,﹣1),则另一个交点坐标是 (1,1) .
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形,则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.
【解答】解:∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称,
∴另一个交点的坐标与点(﹣1,﹣1)关于原点对称,
∴该点的坐标为(1,1).
故答案为:(1,1).
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性,要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数.
16.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=70°,∠OBC=60°,则∠ODC= 50° .
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数,利用圆周角定理求出∠BOD的度数,再根据四边形内角和为360度即可求出∠ODC的度数.
【解答】解:∵∠A=70°
∴∠C=180°﹣∠A=110°,
∴∠BOD=2∠A=140°,
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∵∠OBC=60°,
∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°,
故答案为:50°.
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解答此题的关键.
17.已知x、y满足2x•4y=8,当0≤x≤1时,y的取值范围是 1≤y≤ .
【考点】解一元一次不等式组;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】首先把已知得到式子的两边化成以2为底数的幂的形式,然后得到x和y的关系,根据x的范围求得y的范围.
【解答】解:∵2x•4y=8,
∴2x•22y=23,即2x+2y=23,
∴x+2y=3.
∴y=,
∵0≤x≤1,
∴1≤y≤.
故答案是:1≤y≤.
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数的幂的乘法法则,理解幂的运算法则得到x和y的关系是关键.
18.如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是 1 .
【考点】平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
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【分析】先延长EP交BC于点F,得出PF⊥BC,再判定四边形CDEP为平行四边形,根据平行四边形的性质得出:四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,最后根据a2+b2=4,判断ab的最大值即可.
【解答】解:延长EP交BC于点F,
∵∠APB=90°,∠AOE=∠BPC=60°,
∴∠EPC=150°,
∴∠CPF=180°﹣150°=30°,
∴PF平分∠BPC,
又∵PB=PC,
∴PF⊥BC,
设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,则
CF=CP=b,a2+b2=22=4,
∵△APE和△ABD都是等边三角形,
∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,
∴∠EAD=∠PAB,
∴△EAD≌△PAB(SAS),
∴ED=PB=CP,
同理可得:△APB≌△DCB(SAS),
∴EP=AP=CP,
∴四边形CDEP是平行四边形,
∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,
又∵(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2≥0,
∴2ab≤a2+b2=4,
∴ab≤1,
即四边形PCDE面积的最大值为1.
故答案为:1
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【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线.
三、解答题(共10小题,满分84分)
19.先化简,再求值(x﹣1)(x﹣2)﹣(x+1)2,其中x=.
【考点】多项式乘多项式.
【分析】根据多项式乘以多项式先化简,再代入求值,即可解答.
【解答】解:(x﹣1)(x﹣2)﹣(x+1)2,
=x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1
=﹣5x+1
当x=时,
原式=﹣5×+1
=﹣.
【点评】本题考查了多项式乘以多项式,解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式.
20.解方程和不等式组:
(1)+=1
(2).
【考点】解分式方程;解一元一次不等式组.
【分析】(1)先把分式方程化为整式方程求出x的值,再代入最简公分母进行检验即可;
(2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
【解答】解:(1)原方程可化为x﹣5=5﹣2x,解得x=,
第33页(共33页)
把x=代入2x﹣5得,2x﹣5=﹣5=≠0,
故x=是原分式方程的解;
(2),由①得,x≤2,由②得,x>﹣1,
故不等式组的解为:﹣1<x≤2.
【点评】本题考查的是解分式方程,在解答此类题目时要注意验根.
21.为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式,调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项,用随机抽样的方法调查了该市部分市民,并根据调查结果绘制成如下统计图.
根据统计图所提供的信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了 2000 名市民;
(2)补全条形统计图;
(3)该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数.
【考点】条形统计图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据“总人数=看电视人数÷看电视人数所占比例”即可算出本次共调查了多少名市民;
(2)根据“其它人数=总人数×其它人数所占比例”即可算出晚饭后选择其它的市民数,再用“锻炼人数=总人数﹣看电视人数﹣阅读人数﹣其它人数”即可算出晚饭后选择锻炼的人数,依此补充完整条形统计图即可;
(3)根据“本市选择锻炼人数=本市总人数×锻炼人数所占比例”即可得出结论.
【解答】解:(1)本次共调查的人数为:800÷40%=2000,
故答案为:2000.
(2)晚饭后选择其它的人数为:2000×28%=560,
第33页(共33页)
晚饭后选择锻炼的人数为:2000﹣800﹣240﹣560=400.
将条形统计图补充完整,如图所示.
(3)晚饭后选择锻炼的人数所占的比例为:400÷2000=20%,
该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为:480×20%=96(万).
答:该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为96万.
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体,解题的关键是:(1)根据数量关系算出样本容量;(2)求出选择其它和锻炼的人数;(3)根据比例关系估算出本市晚饭后1小时内锻炼的人数.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,熟练掌握各统计图的有关知识是关键.
22.一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球,这些球除颜色外都相同
(1)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,求摸到红球的概率;
(2)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球,求两次都摸到红球的概率.
【考点】列表法与树状图法;概率公式.
【专题】计算题.
【分析】(1)直接利用概率公式求解;
(2)先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出两次都摸到红球的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:(1)摸到红球的概率=;
(2)画树状图为:
共有9种等可能的结果数,其中两次都摸到红球的结果数为1,
第33页(共33页)
所以两次都摸到红球的概率=.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.
23.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O
(1)求证:OB=OC;
(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】(1)首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB,然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC,从而得证;
(2)首先求出∠A的度数,进而求出∠BOC的度数.
【解答】(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵BD、CE是△ABC的两条高线,
∴∠DBC=∠ECB,
∴OB=OC;
(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,
∴∠A=180°﹣2×50°=80°,
∴∠BOC=180°﹣80°=100°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理;关键是掌握等腰三角形等角对等边.
24.某超市销售甲、乙两种糖果,购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元,购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元.
(1)求甲、乙两种糖果的价格;
(2)若购买甲、乙两种糖果共20千克,且总价不超过240元,问甲种糖果最少购买多少千克?
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【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设超市甲种糖果每千克需x元,乙种糖果每千克需y元.根据“3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元,购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元”列出方程组并解答;
(2)设购买甲种糖果a千克,则购买乙种糖果(20﹣a)千克,结合“总价不超过240元”列出不等式,并解答.
【解答】解:(1)设超市甲种糖果每千克需x元,乙种糖果每千克需y元,
依题意得:,
解得.
答:超市甲种糖果每千克需10元,乙种糖果每千克需14元;
(2)设购买甲种糖果a千克,则购买乙种糖果(20﹣a)千克,
依题意得:10a+14(20﹣a)≤240,
解得a≥10,
即a最小值=10.
答:该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克.
【点评】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的数量关系.
25.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α(30°<α<180°),得到△AO′B′.
(1)当α=60°时,判断点B是否在直线O′B′上,并说明理由;
(2)连接OO′,设OO′与AB交于点D,当α为何值时,四边形ADO′B′是平行四边形?请说明理由.
【考点】一次函数图象上点的坐标特征;平行四边形的判定;坐标与图形变化-旋转.
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【分析】(1)首先证明∠BAO=30°,再求出直线O′B′的解析式即可解决问题.
(2)如图2中,当α=120°时,四边形ADO′B′是平行四边形.只要证明∠DAO′=∠AO′B′=90°,∠O′AO=∠O′AB′=30°,即可解决问题.
【解答】解;(1)如图1中,
∵一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,
∴A(,0),B(0,1),
∴tan∠BAO=,
∴∠BAO=30°,AB=2OB=2,
∵旋转角为60°,
∴B′(,2),O′(,),
设直线O′B′解析式为y=kx+b,
∴,,解得,
∴直线O′B′的解析式为y=x+1,
∵x=0时,y=1,
∴点B(0,1)在直线O′B′上.
(2)如图2中,当α=120°时,四边形ADO′B′是平行四边形.
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理由:∵AO=AO′,∠OAO′=120°,∠BAO=30°,
∴∠DAO′=∠AO′B′=90°,∠O′AO=∠O′AB′=30°,
∴AD∥O′B′,DO′∥AB′,
∴四边形ADO′B′是平行四边形.
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、平行四边形的性质和判定、旋转变换等知识,解题的关键是利用性质不变性解决问题,属于中考常考题型.
26.(1)阅读材料:
教材中的问题,如图1,把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开,使剪成的若干块能够拼成一个大正方形,小明的思考:因为剪拼前后的图形面积相等,且5个小正方形的总面积为5,所以拼成的大正方形边长为 ,故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边,请在图1中用虚线补全剪拼示意图.
(2)类比解决:
如图2,已知边长为2的正三角形纸板ABC,沿中位线DE剪掉△ADE,请把纸板剩下的部分DBCE剪开,使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形.
①拼成的正三角形边长为 ;
②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图.
(3)灵活运用:
如图3,把一边长为60cm的正方形彩纸剪开,用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝,其中∠BCD=90°,延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F,点E、F分别为AB、AD的中点,在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨,在图3的正方形中画出一种剪拼示意图,并求出相应轻质钢丝的总长度.(说明:题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余)
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【考点】四边形综合题.
【分析】(1)依题意补全图形如图1,利用剪拼前后的图形面积相等,得出大正方形的面积即可;
(2)①先求出梯形EDBC的面积,利用剪拼前后的图形面积相等,结合等边三角形的面积公式即可;
②依题意补全图形如图3所示;
(3)依题意补全图形如图4,根据剪拼的特点,得出AC是正方形的对角线,点E,F是正方形两邻边的中点,构成等腰直角三角形,即可.
【解答】解:(1)补全图形如图1所示,
由剪拼可知,5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积,
∵5个小正方形的总面积为5
∴大正方形的面积为5,
∴大正方形的边长为,
故答案为:;
(2)①如图2,
第33页(共33页)
∵边长为2的正三角形纸板ABC,沿中位线DE剪掉△ADE,
∴DE=BC=1,BD=CE=1
过点D作DM⊥BC,
∵∠DBM=60°
∴DM=,
∴S梯形EDBC=(DE+BC)×DM=(1+2)×=,
由剪拼可知,梯形EDBC的面积等于新拼成的等边三角形的面积,
设新等边三角形的边长为a,
∴a2=,
∴a=或a=﹣(舍),
∴新等边三角形的边长为,
故答案为:;
②剪拼示意图如图3所示,
(3)剪拼示意图如图4所示,
∵正方形的边长为60cm,
由剪拼可知,AC是正方形的对角线,
∴AC=60cm,
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由剪拼可知,点E,F分别是正方形的两邻边的中点,
∴CE=CF=30cm,
∵∠ECF=90°,
根据勾股定理得,EF=30cm;
∴轻质钢丝的总长度为AC+EF=60+30=90cm.
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,等边三角形的性质,勾股定理,剪拼的特点,解本题的关键是根据题意补全图形,难点是剪拼新正三角形和筝形.
27.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点,点A(3,3),点M为抛物线的顶点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值;
(3)直线OA上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把点A(3,3)代入y=x2+bx中,即可解决问题.
(2)设点P在点Q的左下方,过点P作PE⊥QQ1于点E,如图1所示.设点P(m,m)(0<m<1),则Q(m+2,m+2),P1(m,m2﹣2m),Q1(m+2,m2+2m),构建二次函数,利用二次函数性质即可解决问题.
(3)存在,首先证明EF是线段AM的中垂线,利用方程组求交点E坐标即可.
【解答】解:(1)把点A(3,3)代入y=x2+bx中,
得:3=9+3b,解得:b=﹣2,
∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x.
(2)设点P在点Q的左下方,过点P作PE⊥QQ1于点E,如图1所示.
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∵PE⊥QQ1,QQ1⊥x轴,
∴PE∥x轴,
∵直线OA的解析式为y=kx,
∴∠QPE=45°,
∴PE=PQ=2.
设点P(m,m)(0<m<1),则Q(m+2,m+2),P1(m,m2﹣2m),Q1(m+2,m2+2m),
∴PP1=3m﹣m2,QQ1=2﹣m2﹣m,
∴=(PP1+QQ1)•PE=﹣2m2+2m+2=﹣2+,
∴当m=时,取最大值,最大值为.
(3)存在.
如图2中,点E的对称点为F,EF与AM交于点G,连接OM、MF、AF、OF.
∵S△AOF=S△AOM,
∴MF∥OA,
∵EG=GF, =,
∴AG=GM,
∵M(1,﹣1),A(3,3),
∴点G(2,1),
∵直线AM解析式为y=2x﹣3,
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∴线段AM的中垂线EF的解析式为y=﹣x+2,
由解得,
∴点E坐标为(,).
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、一次函数、面积问题等知识,解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式,学会构建二次函数,利用二次函数性质解决最值问题,学会利用方程组求两个函数的交点,属于中考压轴题.
28.如图,正方形ABCD的边长为1,点P在射线BC上(异于点B、C),直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q
(1)若BP=,求∠BAP的度数;
(2)若点P在线段BC上,过点F作FG⊥CD,垂足为G,当△FGC≌△QCP时,求PC的长;
(3)以PQ为直径作⊙M.
①判断FC和⊙M的位置关系,并说明理由;
②当直线BD与⊙M相切时,直接写出PC的长.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)在直角△ABP中,利用特殊角的三角函数值求∠BAP的度数;
(2)设PC=x,根据全等和正方形性质得:QC=1﹣x,BP=1﹣x,由AB∥DQ得,代入列方程求出x的值,因为点P在线段BC上,所以x<1,写出符合条件的PC的长;
(3)①如图2,当点P在线段BC上时,FC与⊙M相切,只要证明FC⊥CM即可,先根据直角三角形斜边上的中线得CM=PM,则∠MCP=∠MPC,从而可以得出∠MCP+∠BAP=90°,再证明△ADF≌△CDF,
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得∠FAD=∠FCD,则∠BAP=∠BCF,所以得出∠MCP+∠BCF=90°,FC⊥CM;
如图3,当点P在线段BC的延长线上时,FC与⊙M相切,同理可得∠MCD+∠FCD=90°,则FC⊥CM,FC与⊙M相切;
②当点P在线段AB上时,如图4,设⊙M切BD于E,连接EM、MC,设∠Q=x,根据平角BFD列方程求出x的值,作AP的中垂线HN,得∠BHP=30°,在Rt△BHP中求出BP的长,则得出PC=﹣1;当点P在点C的右侧时(即在线段BC的延长线上),如图5,同理可得:PC=+1.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABP=90°,
∴tan∠BAP===,
∵tan30°=,
∴∠BAP=30°;
(2)如图1,设PC=x,则BP=1﹣x,
∵△FGC≌△QCP,
∴GC=PC=x,DG=1﹣x,
∵∠BDC=45°,∠FGD=90°,
∴△FGD是等腰直角三角形,
∴FG=DG=CQ=1﹣x,
∵AB∥DQ,
∴,
∴,
∴x=(1﹣x)2,
解得:x1=>1(舍去),x2=,
∴PC=;
(3)①如图2,当点P在线段BC上时,FC与⊙M相切,理由是:
取PQ的中点M,以M为圆心,以PQ为直径画圆,连接CM,
∵∠PCQ=90°,PQ为直径,
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∴点C是圆M上,
∵△PCQ为直角三角形,
∴MC=PM,
∴∠MCP=∠MPC,
∵∠APB=∠MPC,
∴∠MCP=∠APB,
∵∠APB+∠BAP=90°,
∴∠MCP+∠BAP=90°,
∵AD=DC,∠ADB=∠CDB,FD=FD,
∴△ADF≌△CDF,
∴∠FAD=∠FCD,
∵∠BAP+∠FAD=∠BCF+∠FCD,
∴∠BAP=∠BCF,
∴∠MCP+∠BCF=90°,
∴FC⊥CM,
∴FC与⊙M相切;
如图3,当点P在线段BC的延长线上时,FC与⊙M也相切,理由是:
取PQ的中点M,以M为圆心,以PQ为直径画圆,连接CM,
同理得∠AQD=∠MCQ,点C是圆M上,
∵AD=DC,∠BDA=∠CDB=45°,DF=DF,
∴△ADF≌△CDF,
∴∠FAD=∠FCD,
∵∠AQD+∠FAD=90°,
∴∠MCD+∠FCD=90°,
∴FC⊥MC,
∴FC与⊙M相切;
②当点P在线段AB上时,如图4,
设⊙M切BD于E,连接EM、MC,
∴∠MEF=∠MCF=90°,
∵ME=MC,MF=MF,
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∴△MEF≌△MCF,
∴∠QFC=∠QFE,
∵∠BAP=∠Q=∠BCF,
设∠Q=x,则∠BAP=∠BCF=x,∠QFE=∠QFC=45°+x,∠DFC=45°+x,
∵∠QFE+∠QFC+∠DFC=180°,
∴3(45+x)=180,
x=15,
∴∠Q=15°,
∴∠BAP=15°,
作AP的中垂线HN,交AB于H,交AP于N,
∴AH=AP,
∴∠BHP=30°,
设BP=x,则HP=2x,HB=x,
∴2x+x=1,
x=2﹣,
∴PC=BC﹣BP=1﹣(2﹣)=﹣1;
当点P在点C的右侧时(即在线段BC的延长线上),如图5,
同理可得:PC=+1;
综上所述:PC=﹣1或+1.
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【点评】本题是圆的综合题,综合考查了正方形、圆及切线、全等三角形的性质及判定;同时利用特殊的三角函数值求角的度数,本题还是动点问题,难度较大,尤其是第(3)问,因为不确定点P是在线段BC上还是在延长线上,有此情况存在,所以都要分情况进行讨论,从而分别证出结论或求出PC的长.
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