高考数学数列分类汇编理 7页

2011-2018新课标数列分类汇编一、选择题【2012新课标】5.已知为等比数列，，，则（D）【解析】，或【2013新课标1】7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(C)A、3B、4C、5D、6【解析】有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.【2013新课标2】3.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　C　)．A．B．C．D．【解析】设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，∴＝q＋10，整理得q2＝9.∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.【2015新课标2】4.等比数列｛an｝满足a1=3，=21，则(B)（A）21（B）42（C）63（D）84【2016新课标1】3.已知等差数列前9项的和为27，，则（C）（A）100（B）99（C）98（D）97【解析】解法1：，.解法2：，即，又，解得，【2017新课标1】4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（C）A．1B．2C．4D．8 【2017新课标1】12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（A）A．440B．330C．220D．110【2017新课标2】3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（B）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【解析】设顶层灯数为，，，解得．【2017新课标3】9．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（A）A．B．C．3D．8【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.则，即又∵，代入上式可得又∵，则∴，故选A.【2018新课标1】4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．12【答案】B二、填空题【2012新课标】16.数列满足，则的前项和为1830【解析】可证明：【2013新课标1】14、若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋13，则数列{an}的通项公式是an=______.【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.【2013新课标2】16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为_____-49_____．【解析】设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0，①S15＝＝15a1＋105d＝25.②联立①②，得a1＝－3，，所以Sn＝.令f(n)＝nSn，则，.令f′(n)＝0，得n＝0或.当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.【2015新课标2】16.设是数列的前n项和，且，，则________．【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．【2016新课标1】15.设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则的最大值为64【解析】由a1+a3=10，a2+a4=5解得，，，所以当或4时，有最大值64【2017新课标2】15.等差数列的前项和为，，，则．【解析】设首项为，公差为d，则，求得，，则，【2017新课标3】14．设等比数列满足，，则___-8_____．【解析】为等比数列，设公比为． ，即，显然，，得，即，代入式可得，．【2018新课标1】14．记为数列的前项和．若，则________．【答案】-63三、解答题【2011新课标】等比数列的各项均为正数，且（1）求数列的通项公式.（2）设求数列的前项和.【解析】（1）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。（2）故，数列的前n项和为【2014新课标1】17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（1）证明：an+2﹣an=λ（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【解析】（1）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（2）解：①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，∴an=an+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，， ∴λSn=1+=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．　【2014新课标2】17.已知数列满足=1，.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：.【解析】（1）由得又，所以，{}是首项为，公比为3的等比数列。=，因此{}的通项公式为=（2）由（1）知=因为当n1时，所以，于是，=所以，【2015新课标1】17.Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，（1）求{an}的通项公式，（2）设，求数列的前n项和。【解析】 【2016新课标2】17.为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．（1）求，，；（2）求数列的前项和．【解析】⑴设的公差为，，∴，∴，∴．∴，，．⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．【2016新课标3】17.已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0，(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ。【解析】(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0…………………………2分由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0 ∴＝因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝()n－1………6分(2)由(1)得Sn＝1－()n，由S5＝得1－()5＝，即()5＝解得λ＝－1………………………………………………12分【2018新课标2】17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【解析】（1）设的公差为d，由题意得.由得d=2.所以的通项公式为.（2）由（1）得.所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.【2018新课标3】17.等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【解析】（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．