全国统一高考数学真题及解析文理科新课标Ⅲ卷题解分离 12页

2016年普通高等学校招生全国统一考试文、理科数学（新课标卷Ⅲ）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【理】设集合S=，则ST=(A)[2，3](B)（-，2][3,+）(C)[3,+）(D)（0，2][3,+）【文】设集合，则=（A）（B）（C）（D）2.【理】若，则(A)1(B)-1(C)i(D)-i【文】若，则=（A）1（B）（C）（D）3.已知向量,则ABC=(A)300(B)450(C)600(D)12004.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在00C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C的月份有5个5.【理】若，则(A)(B)(C)1(D)【文】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）（B）（C）（D）6.【理】已知，，，则（A）（B）（C）（D）【文】若，则（）（A）（B）（C）（D）7.【理】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的（A）3（B）4（C）5（D）6 【文】同【理】68.【理】在中，，BC边上的高等于,则（A）（B）（C）（D）【文】同【理】79.【理】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）（B）（C）90（D）81【文】在中，，BC边上的高等于,则（A）（B）（C）（D）10．【理】在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是（A）4π（B）（C）6π（D）【文】同【理】911.【理】已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）【文】同【理】1012.【理】定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【文】同【理】11第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13.【理】若满足约束条件则的最大值为_____________.【文】若满足约束条件则的最大值为_____________.14.【理】函数的图像可由函数的图像至少向右平移________个单位长度得到．【文】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．15.【理】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________。 【文】已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_____________.16.【理】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【文】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程式_____________________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.【理】（本小题满分12分）已知数列的前n项和，其中．（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若，求．【文】已知各项都为正数的数列满足，.（I）求；（II）求的通项公式.18.（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：19.【理】（本小题满分12分）如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I）证明平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【文】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I）证明平面；[来源:学科网]（II）求四面体的体积. 20.（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.21.【理】（本小题满分12分）设函数，其中，记的最大值为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）证明．【文】设函数．（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O中的中点为，弦分别交于两点．（I）若，求的大小；（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（I）当a=2时，求不等式的解集；（II）设函数当时，，求的取值范围.2016年普通高等学校招生全国统一考试文、理科数学（新课标卷Ⅲ）参考答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【理】D 考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．【文】C试题分析：由补集的概念，得，故选C．考点：集合的补集运算．2.【理】C试题分析：，故选C．考点：1、复数的运算；2、共轭复数．【文】D试题分析：，故选D．考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模．3.A试题分析：由题意，得，所以，故选A．考点：向量夹角公式．4.D试题分析：由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以不正确．故选D．考点：1、平均数；2、统计图．易错警示：解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．5.【理】A试题分析：由，得或，所以，故选A．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【文】C试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．考点：古典概型．6.【理】A试题分析：因为，，所以，故选A．考点：幂函数的图象与性质．【文】D考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．7.【理】B考点：程序框图．【文】同【理】68.【理】C试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．考点：余弦定理．【文】同【理】79.【理】B 考点：空间几何体的三视图及表面积．【文】D试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D．[来源:学科网ZXXK]考点：正弦定理．10．【理】B试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【文】同【理】911.【理】A考点：椭圆方程与几何性质．【文】同【理】1012.【理】C试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：0000[来源:学,科,网Z,X,X,K]1[来源:Zxxk.Com]111[来源:学科网]101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用．【文】同【理】11第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13.【理】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即．考点：简单的线性规划问题．【文】 考点：简单的线性规划问题．14.【理】试题分析：因为，＝，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【文】试题分析：因为，所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．15.【理】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【文】4试题分析：由，得，代入圆的方程，并整理，得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．考点：直线与圆的位置关系．16.【理】4试题分析：因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．考点：直线与圆的位置关系．【文】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.【理】（Ⅰ）；（Ⅱ）．由，得，所以. 因此是首项为，公比为的等比数列，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，解得．考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为．【文】（Ⅰ）；（Ⅱ）．试题分析：（Ⅰ）将代入递推公式求得，将的值代入递推公式可求得；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．试题解析：（Ⅰ）由题意得..........5分方法总结：等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．18.（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．试题解析：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得，，，，．因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．19.【理】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面法向量的夹角来处理与平面所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. 设为平面的法向量，则，即，可取，于是.考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．技巧点拨：（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．【文】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.......3分又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.........6分（Ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.....9分取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故，所以四面体的体积......12分考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．技巧点拨：（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．试题解析：由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为......3分（Ⅰ）由于在线段上，故. 记的斜率为，的斜率为，则，所以.......5分（Ⅱ）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.....12分方法归纳：（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．21.【理】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析．试题解析：（Ⅰ）．（Ⅱ）当时，因此，．………4分当时，将变形为．令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．令，解得（舍去），．（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．（Ⅲ）由（Ⅰ）得. 当时，.当时，，所以.当时，，所以.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；（2）结合自变量的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解．【文】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，，故当时，，，即.………………7分（Ⅲ）由题设，设，则．令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.……………9分由（Ⅱ）知，，故．又，故当时，，所以当时，.………………12分思路点拨：求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．试题解析：（Ⅰ）连结，则.因为，所以，又，所以.又，所以，因此.（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．23.（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）． 试题解析：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.……5分（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.………………8分当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.………………10分技巧点拨：一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解．考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．24．（Ⅰ）；（Ⅱ）．试题解析：（Ⅰ）当时，.解不等式，得，因此，的解集为.………………5分（Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于.①……7分当时，①等价于，无解；当时，①等价于，解得，所以的取值范围是.………………10分考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．易错警示：对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对，当且仅当时，等号成立，对，如果，当且仅当且时左边等号成立，当且仅当时右边等号成立．