高考数学考点归纳之 解析几何常见突破口 15页

高考数学考点归纳之　解析几何常见突破口解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在．为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的“双管齐下”，突破思维难点．考点一利用向量转化几何条件[典例]　如图所示，已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩]　假设存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．设直线l的方程为y＝x＋b，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去y并整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，所以x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝.①因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋b，y2＝x2＋b，则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.由①知，b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1.当b＝－4或b＝1时， 均有Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＝－4b2－24b＋36＞0，即直线l与圆C有两个交点．所以存在直线l，其方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.以AB为直径的圆过原点等价于OA⊥OB，而OA⊥OB又可以“直译”为x1x2＋y1y2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．考点二角平分线条件的转化[典例]　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．[解题观摩]　(1)设动圆圆心为点P(x，y)，则由勾股定理得x2＋42＝(x－4)2＋y2，化简即得圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明：法一：由题意可设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)．联立得k2x2＋2(kb－4)x＋b2＝0.由Δ＝4(kb－4)2－4k2b2＞0，得kb＜2.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以kPB＋kQB＝0，即kPB＋kQB＝＋＝＝＝0，所以k＋b＝0，即b＝－k，所以l的方程为y＝k(x－1)． 故直线l恒过定点(1,0)．法二：设直线PB的方程为x＝my－1，它与抛物线C的另一个交点为Q′，设点P(x1，y1)，Q′(x2，y2)，由条件可得，Q与Q′关于x轴对称，故Q(x2，－y2)．联立消去x得y2－8my＋8＝0，其中Δ＝64m2－32＞0，y1＋y2＝8m，y1y2＝8.所以kPQ＝＝，因而直线PQ的方程为y－y1＝(x－x1)．又y1y2＝8，y＝8x1，将PQ的方程化简得(y1－y2)y＝8(x－1)，故直线l过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线PQ的方程为x＝my＋a.联立消去x，整理得y2－8my－8a＝0，Δ＞0.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由条件可知kPB＋kQB＝0，即kPB＋kQB＝＋＝＝＝0， 所以－8ma＋8m＝0.由m的任意性可知a＝1，所以直线l恒过定点(1,0)．法四：设P，Q，因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以kPB＋kQB＝＋＝0，整理得(y1＋y2)＝0.因为直线l不垂直于x轴，所以y1＋y2≠0，可得y1y2＝－8.因为kPQ＝＝，所以直线PQ的方程为y－y1＝，即y＝(x－1)．故直线l恒过定点(1,0)．本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y1，y2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．考点三弦长条件的转化　　　　[典例]　如图所示，已知椭圆G：＋y2＝1，与x 轴不重合的直线l经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率．(2)是否存在直线l，使得|AM|2＝|CM||DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩]　(1)由题意可知点F1(－1,0)，又直线l的斜率为1，故直线l的方程为y＝x＋1.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理得3x2＋4x＝0，则x1＋x2＝－，y1＋y2＝，因此中点M的坐标为.故直线OM的斜率为＝－.(2)假设存在直线l，使得|AM|2＝|CM||DM|成立．由题意，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x＝my－1.由消去x并整理得(m2＋2)y2－2my－1＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得|AB|＝|y1－y2|＝＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝－2＝， 所以弦AB的中点M的坐标为，故直线CD的方程为y＝－x.联立消去y并整理得2x2＋m2x2－4＝0，解得x2＝.由对称性，设C(x0，y0)，D(－x0，－y0)，则x＝，可得|CD|＝·|2x0|＝＝2.因为|AM|2＝|CM||DM|＝(|OC|－|OM|)(|OD|＋|OM|)，且|OC|＝|OD|，所以|AM|2＝|OC|2－|OM|2，故＝－|OM|2，即|AB|2＝|CD|2－4|OM|2，则＝－4，解得m2＝2，故m＝±.所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.本题(2)的核心在于转化|AM|2＝|CM|·|DM|中弦长的关系．由|CM|＝|OC|－|OM|，|DM|＝|OD|＋|OM|，又|OC|＝|OD|，得|AM|2＝|OC|2－|OM|2.又|AM|＝|AB|，|OC|＝|CD|，因此|AB|2＝|CD|2－4|OM|2，转化为弦长|AB|，|CD|和|OM|三者之间的数量关系，易计算．考点四面积条件的转化[典例]　设椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k ＞0)与椭圆交于E，F两点，求四边形AEBF的面积的最大值．[解题观摩]　法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．设点E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.①根据点到直线的距离公式和①，得点E，F到直线AB的距离分别为h1＝＝，h2＝＝.又|AB|＝＝，所以四边形AEBF的面积为S＝|AB|·(h1＋h2)＝··＝＝2＝2＝2≤2，当且仅当＝4k，即k＝时取等号．因此四边形AEBF的面积的最大值为2.法二：依题意得椭圆的方程为＋y2＝1.直线EF的方程为y＝kx(k＞0)．设点E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2.联立消去y，得(1＋4k2)x2＝4.故x1＝，x2＝， |EF|＝·|x1－x2|＝.根据点到直线的距离公式，得点A，B到直线EF的距离分别为d1＝＝，d2＝.因此四边形AEBF的面积为S＝|EF|·(d1＋d2)＝··＝＝2＝2＝2≤2，当且仅当＝4k，即k＝时取等号．因此四边形AEBF的面积的最大值为2.如果利用常规方法理解为S四边形AEBF＝S△AEF＋S△BEF＝|EF|·(d1＋d2)(其中d1，d2分别表示点A，B到直线EF的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出EF的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF的面积拆成两个小三角形——△ABE和△ABF的面积之和，则更为简单．因为直线AB的方程及其长度易求出，故只需表示出点E与点F到直线AB的距离即可．　　　　[总结规律·快速转化]做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考1．平行四边形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等 (3)对角线互相平分中点重合2．直角三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边垂直斜率乘积为－1，或向量数量积为0(2)勾股定理两点的距离公式(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)两点的距离公式3．等腰三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边相等两点的距离公式(2)两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反(3)三线合一(垂直且平分)垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式4．菱形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相垂直平分垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式、中点重合5．圆条件的转化几何性质代数实现(1)点在圆上点与直径端点向量数量积为零 (2)点在圆外点与直径端点向量数量积为正数(3)点在圆内点与直径端点向量数量积为负数6．角条件的转化几何性质代数实现(1)锐角，直角，钝角角的余弦(向量数量积)的符号(2)倍角，半角，平分角角平分线性质，定理(夹角、到角公式)(3)等角(相等或相似)比例线段或斜率1．已知椭圆C经过点，且与椭圆E：＋y2＝1有相同的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4交于点Q，问：以线段PQ为直径的圆是否经过一定点M？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)椭圆E的焦点为(±1,0)，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2.设P(xP，yP)，则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝－＋m＝，即P.假设存在定点M(s，t)满足题意，因为Q(4,4k＋m)，则MP＝，MQ＝(4－s,4k＋m－t)，所以MP·MQ＝(4－s)＋(4k＋m－t)＝－(1－s)－t＋(s2－4s＋3＋t2)＝0恒成立，故解得所以存在点M(1,0)符合题意．2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，点A(3,0)，P是C上的动点，F为C的左焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值．解：(1)依题意得解得∴椭圆C的方程是＋＝1.(2)设P(x0，y0)(－＜y0＜，y0≠0，x0＞0)，线段AP的中点为M，则AP的中点M，直线AP的斜率为， 由△ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BM⊥AP，∴直线AP的垂直平分线方程为y－＝－，令x＝0得B，∵＋＝1，∴B，∵F(－2,0)，∴四边形FPAB的面积S＝＝≥5，当且仅当2|y0|＝，即y0＝±时等号成立，四边形FPAB面积的最小值为5.3．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围．解：(1)将x＝－c代入椭圆的方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，故a＝2b2.又e＝＝，则＝，即a＝2b，所以a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由PM是∠F1PF2的角平分线， 可得＝，即＝.设点P(x0，y0)(－2＜x0＜2)，又点F1(－，0)，F2(，0)，M(m,0)，则|PF1|＝＝2＋x0，|PF2|＝＝2－x0.又|F1M|＝|m＋|，|F2M|＝|m－|，且－＜m＜，所以|F1M|＝m＋，|F2M|＝－m.所以＝，化简得m＝x0，而－2＜x0＜2，因此－＜m＜.故实数m的取值范围为.4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．解：(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由得x2－a2b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2＝0，x1x2＝，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，所以有＝－8，结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，所以离心率e＝.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，由题可知A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝，又＝＝－，即k2＝－，由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.即直线PB的斜率k2∈.