高考数学考点归纳之 双曲线 18页

高考数学考点归纳之双曲线一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝＝∈(1，＋∞)e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线y＝±xy＝±xa，b，c的关系a2＝c2－b2二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．(2)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.[典例]　(1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　)A.－＝1　　　　　　B.－＝1C．x2－＝1D.－＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[解析]　(1)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，即＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.(2)法一：如图，不妨设A在B的上方，则A，B.又双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝. 所以双曲线的方程为－＝1.法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.[答案]　(1)C　(2)C[题组训练]1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为(　　)A.－y2＝1B.－＝1C．x2－＝1D.－＝1解析：选A　由题意可得解得则该双曲线的标准方程为－y2＝1.2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1B．x2－＝1C.－＝1D．x2－＝1解析：选A　因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1. 3．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线方程为－＝1.答案：－＝1考法(一)　利用双曲线的定义求双曲线方程[典例]　已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A.－＝1(x≥)　　B.－＝1(x≤－)C.＋＝1(x≥)D.＋＝1(x≤－)[解析]　设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥)．[答案]　A[解题技法]利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程． 考法(二)　焦点三角形问题[典例]　已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)A．2B．4C．6D．8[解析]　由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.[答案]　B[解题技法]在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|sinθ，＝2a及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|来解决．[题组训练]1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)A.－＝1(y>0)　　　　B.－＝1(x>0) C.－＝1(y>0)D.－＝1(x>0)解析：选B　由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．2．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)A．48　　　　　　　　　　　　B．24C．12D．6解析：选B　由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24.考法(一)　求双曲线的离心率(或范围)[典例]　(2018·长春二测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A.　　　　　　　B.C．(1,2]D. [解析]　由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得≥c－a，解得≤，即e≤，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.[答案]　B[解题技法]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消b求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．考法(二)　求双曲线的渐近线方程[典例]　(2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(　　)A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0D．4x±5y＝0或5x±4y＝0[解析]　由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝＝，∴ 双曲线的离心率为＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.[答案]　A[解题技法]　求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为(　　)A．1B.C．2D．2解析：选C　由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.2．已知直线l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是直线l上一点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为(　　)A.B.C．2D. 解析：选C　由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，不妨设直线l的方程为y＝x，设P(x0，x0)．由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝，则双曲线E的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：选B　根据|AB|＝6可知c＝3，又|BC|＝，所以＝，b2＝a，所以c2＝a2＋a＝9，解得a＝2(舍负)，所以e＝＝.4．(2018·郴州二模)已知双曲线－＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选B　由双曲线－＝1(m＞0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0,5)，有c＝5，则m＋9＝25，得m＝16，所以双曲线的方程为－＝1，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B. A级1．(2019·襄阳联考)直线l：4x－5y＝20经过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.解析：选A　由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c＝5，b＝4，∴a＝3，双曲线C的离心率e＝＝.2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝6，则|PF2|＝(　　)A．6B．4C．8D．4或8解析：选D　由双曲线的标准方程可得a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，解得|PF2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)A.B．2C.D．2解析：选D　∵e＝＝＝，∴＝1.∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0. ∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.4．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等解析：选D　由00)的离心率为，则a＝________.解析：由e＝＝，得＝，∴a2＝16.∵a>0，∴a＝4.答案：48．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，故|AB|＝4.答案：49．(2018·海淀期末)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F 作圆(x－a)2＋y2＝的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y＝x，由题意可知该切线方程为y＝－(x－c)，即ax＋by－ac＝0.圆(x－a)2＋y2＝的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切线的距离d＝＝＝，又e＝，则e2－4e＋4＝0，解得e＝2，所以双曲线C的离心率e＝2.答案：211．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵e＝，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为－＝1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上， ∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.由(2)知m＝±.∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝×4×＝6.12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，则解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，所以cos∠F1PF2＝＝＝.B级 1．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)A．(1，)B．(1,2)C．(，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选D　由题意，知圆心(1,0)到直线kx－y＝0的距离d＝＝，∴k＝±，由题意知＞，∴1＋＞4，即＝＞4，∴e＞2.2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|＝2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选B　∵|NF1|＝2|MF1|，∴M为NF1的中点，又OM⊥F1N，∴∠F1OM＝∠NOM，又∠F1OM＝∠F2ON，∴∠F2ON＝60°，∴双曲线C的渐近线的斜率k＝±tan60°＝±，即双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选B.3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．解：(1)由题意知a＝2，∵一条渐近线为y＝x，∴bx－ay＝0.由焦点到渐近线的距离为，得＝.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.∴解得∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．