高考数学考点归纳之 等差数列及其前n项和 14页

高考数学考点归纳之等差数列及其前n项和一、基础知识1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．二、常用结论已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)． (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)A．－12　　　　　　　　　　B．－10C．10D．12(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，则n＝(　　)A．3B．7C．9D．10[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.(2)因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10. [答案]　(1)B　(2)D[解题技法]　等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．[提醒]　在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．[题组训练]1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得故选B.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1>0，则S20＝(　　)A．420B．340C．－420D．－340解析：选D　设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12得d＝±2，由a1>0，a2＝0，可知d<0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋×(－2)＝－340，选D.3．在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝(　　)A．12B．18C．24D．30解析：选C　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a5＋a10＝12， 所以2a1＋13d＝12，所以3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24.[典例]　已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：是等差数列．(2)求an的表达式．[解]　(1)证明：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.因此－＝2(n≥2)．故由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，即Sn＝.由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－，又因为a1＝，不适合上式．所以an＝[题组训练]1．(2019·陕西质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)A．13　　　　　　　　　　B．49 C．35D．63解析：选B　由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，所以S7＝＝＝49.2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．证明：∵an＝2－(n≥2)，∴an＋1＝2－.∴bn＋1－bn＝－＝－＝＝1，∴{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．考法(一)　等差数列项的性质[典例]　(1)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)A．10　　　　　　　　　　B．20C．40D．2＋log25(2)(2019·福建模拟)设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5＝2b5，则＝(　　)A．2　　　　　　　　B．3C．4D．6[解析]　(1)因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.选B. (2)由a5＝2b5，得＝2，所以＝＝＝2，故选A.[答案]　(1)B　(2)A考法(二)　等差数列前n项和的性质[典例]　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)A．63　　　　　　　　　　B．45C．36D．27[解析]　由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.[答案]　B考法(三)　等差数列前n项和的最值[典例]　在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)A．S15　　　　　　　　　　B．S16C．S15或S16D．S17[解析]　∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，Sn取得最大值．[答案]　A [解题技法]1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．2．求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.[题组训练]1．在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝(　　)A．－12B．－13C．12D．13解析：选B　法一：设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　) A．6B．7C．12D．13解析：选C　因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18.答案：18A级1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2，Sn为{an}的前n项和，则S10等于(　　)A．90　　　　　　　　　　B．100C．110D．130解析：选C　由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S10＝10×2＋×2＝110.故选C.2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是(　　) A．30B．29C．28D．27解析：选C　由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C.3．(2019·山西五校联考)在数列{an}中，an＝28－5n，Sn为数列{an}的前n项和，当Sn最大时，n＝(　　)A．2B．3C．5D．6解析：选C　∵an＝28－5n，∴数列{an}为递减数列．令an＝28－5n≥0，则n≤，又n∈N*，∴n≤5.∵Sn为数列{an}的前n项和，∴当n＝5时，Sn最大．故选C.4．(2019·广东中山一中统测)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为(　　)A．－45B．－50C．－55D．－66解析：选D　∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴Sn＝＝－n2，∴＝＝－n，∴数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列的前11项和为11×(－1)＋×(－1)＝－66，故选D.5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200，则a10＋a11的值为(　　)A．20B．40C．60D．80 解析：选D　设等差数列{an}的公差为d，由已知得即解得∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选D.6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn.若a＝an＋2＋an，则S2n＋1＝(　　)A．4n＋2B．4nC．2n＋1D．2n解析：选A　因为{an}为等差数列，所以an＋2＋an＝2an＋1，又a＝an＋2＋an，所以a＝2an＋1.因为数列{an}的各项均不为零，所以an＋1＝2，所以S2n＋1＝＝＝4n＋2.故选A.7．已知等差数列5,4，3，…，则前n项和Sn＝________.解析：由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(15n－n2)．答案：(15n－n2)8．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋d＝6×6－30＝6.答案：69．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．解析：∵∴ ∴Sn的最大值为S5.答案：S510．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.解析：因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.答案：1011．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.又a1＝－7，所以d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0， ∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴∴或∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，∴Sn＝＝.B级1．设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是(　　)A．{an＋1－an}是等差数列　　B．{bn＋1－bn}是等差数列C．{an－bn}是等差数列D．{an＋bn}是等差数列解析：选D　对于A，因为an＝(n＋1)2，所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2.所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；对于B，因为bn＝n2－n(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；对于C，因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，所以{an－bn}是等差数列，故C正确； 对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，cn＋1－cn不是常数，故D错误．2．(2019·武汉调研)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得或当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．综上，anan＋1的最小值为－12.答案：－123．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1