高考数学考点归纳之 椭 圆 18页

高考数学考点归纳之椭圆一、基础知识1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标　(a,0)，(－a,0)，　(0，b)，(0，－b)　(b,0)，(－b,0)，　(0，a)，(0，－a)焦点坐标(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b❶ 离心率e＝❷a，b，c的关系a2＝b2＋c2❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．❷离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁．二、常用结论(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．第一课时　椭圆及其性质 [典例]　(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1　　　　　　　B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1(2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________．[解析]　(1)由长、短半轴长之和为10，焦距为4，可得a＋b＝10,2c＝4，∴c＝2.又a2＝b2＋c2，∴a2＝36，b2＝16.∵焦点在x轴上，∴所求椭圆方程为＋＝1.故选C.(2)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，所以c＝，b＝2，所以椭圆方程是＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＋＝1.[答案]　(1)C　(2)＋＝1或＋＝1[题组训练]1．(2018·济南一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选B　椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋＝1.故选B.2．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为______________．解析：由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中b＝2.因为e＝＝，所以a＝2c，又a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.答案：＋＝13．已知椭圆中心在原点，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点，则椭圆的标准方程为________．解析：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．依题意有解得∴所求椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝1 [典例]　(1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为(　　)A.＋y2＝1　　　　　　　B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1(2)已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为________．[解析]　(1)由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－8)，F2(0,8)，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162，两式相减得2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144.又S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，所以1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，解得cos∠F1PF2＝.[答案]　(1)D　(2) [变透练清]1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　)A．2B．3C．5D．7解析：选D　因为a2＝25，所以2a＝10，由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.2.若本例(2)条件不变，则△PF1F2的内切圆的面积为________．解析：由椭圆的定义可知△PF1F2的周长的一半为a＋c＝18，所以由三角形的面积公式S＝pr(其中p，r分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得r＝1，所以△PF1F2的内切圆的面积为π.答案：π考法(一)　求椭圆离心率的值(或范围)[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)A．1－　　　　　　　　　B．2－C.D.－1(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)A.B. C.D.[解析]　(1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝，由椭圆的定义可知，在方程＋＝1中，2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1，所以离心率e＝＝＝－1.(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因为1≤b＜2，所以0＜e≤.[答案]　(1)D　(2)A[解题技法]　求椭圆离心率的方法(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．考法(二)　与椭圆性质有关的最值问题[典例]　已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　) A．4　　　　　　　　B．6C．8D．10[解析]　设M(x0，y0)，F1(－3,0)，F2(3,0)．则＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，|＋|＝＝＝，因为点M在椭圆上，所以0≤y≤16，所以当y＝16时，|＋|取最小值为8.[答案]　C[解题技法]　椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．[题组训练]1．(2018·贵阳摸底)P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为(　　)A.B.C.D. 解析：选D　不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选D.2．已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为(　　)A.B.C．5D．2解析：选C　设P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，故x＝4(1－y)，所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－32＋，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|最大值为5.故选C.3．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D. 解析：选C　如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c.∴a－c≤2c＜a＋c.∴e＝∈.A级1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为(　　)A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋y2＝1或＋＝1D.＋y2＝1或＋x2＝1解析：选C　由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为＋＝1，故选C. 2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　)A.　　　　　　B．(1,2)C．(－∞，0)∪(1,2)D．(－∞，－1)∪解析：选D　依题意得不等式组解得m＜－1或1＜m＜，故选D.3．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：选B　由题意得椭圆的标准方程为＋＝1，所以a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝，e2＝＝，e＝.4．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)A.B.C.D.解析：选B　由椭圆方程知c＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)．因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)， 代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，所以·＝y1y0.因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，故·的最大值为.5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)A．1B.C．2D．2解析：选D　设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.6．(2019·惠州调研)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)A.B.C.D.解析：选D　如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，故＝，故选D.7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．答案：(－5,0)8．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________．解析：法一：设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2－b2＝c2＝5，且＋＝1，解方程组得a2＝15，b2＝10，故所求椭圆方程为＋＝1.法二：椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)，设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，代入点A(3，－2)得＋＝1(λ＞0)，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝19．已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.解析：由椭圆＋＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点．在△ABC中，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c＝|AB|＝6，a＋b＝|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理可得＝＝＝3.答案：310．点P是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2 的最大值是60°，则椭圆的离心率e＝________.解析：如图所示，当点P与点B重合时，∠F1PF2取得最大值60°，此时|OF1|＝c，|PF1|＝|PF2|＝2c.由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4c＝2a，所以椭圆的离心率e＝＝.答案：11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意得因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12.12．已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．解：设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.∴－2≤x0≤2. 又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.当x0＝2时，·取得最小值0，当x0＝－2时，·取得最大值4.B级1．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)A.B.C.D.解析：选A　由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整理得解得＜e＜.2．(2018·南昌摸底考试)P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过P点作PH⊥F1F2于点H，若PF1⊥PF2，则|PH|＝(　　)A.B.C．8D.解析：选D　由椭圆＋＝1得a2＝25，b2＝9， 则c＝＝＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝64.∴2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝100－64＝36，∴|PF1|·|PF2|＝18.又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|PH|，∴|PH|＝＝.故选D.3．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－.所以直线DE的方程为y＝－(x－m)． 直线BN的方程为y＝(x－2)．联立解得点E的纵坐标yE＝－.由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，S△BDN＝|BD|·|n|.所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.