高考数学考点归纳之 坐标系 14页

高考数学考点归纳之坐标系一、基础知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ 圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a过点，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0<θ<π)考点一　平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例]　求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．[解]　设曲线C′上任意一点P(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1，得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．[解题技法]　伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．[提醒]　应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．[题组训练] 1．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin得3y＝3sin，整理得y＝sin，故f(x)＝sin.所以函数f(x)的最小正周期为π.2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)，求λ，μ的值．解：将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)代入上式得：＋＝1即2x2＋2y2＝1，与x2＋y2＝1，比较系数得所以[典例]　(2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．[解]　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，化成直角坐标方程为y＝(x－4)， 则直线l过A(4,0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝.如图，连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos＝2.所以直线l被曲线C截得的弦长为2.[解题技法]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．(1)当x≠0时，θ角才能由tanθ＝按上述方法确定．(2)当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.[题组训练] 1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为即为所求．2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－2ρcos＝2，所以ρ2－2ρ＝2，所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.[典例]　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2.即当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.[解题技法]1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系． (2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[提醒]　在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．[题组训练]1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(其中φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)设直线l的极坐标方程是ρsin＝2，射线OM：θ＝与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解：(1)圆C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)把θ＝代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，把θ＝代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程； (2)A，B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求＋的值．解：(1)由ρ2＝得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得到曲线C的直角坐标方程是＋y2＝1.(2)因为ρ2＝，所以＝＋sin2θ，由OA⊥OB，设A(ρ1，α)，则点B的坐标可设为，所以＋＝＋＝＋sin2α＋＋cos2α＝＋1＝.1．在极坐标系中，求直线ρcos＝1与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．解：ρcos＝1化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即(x－)2＝0，所以x＝，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.2．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－ 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径|PC|＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.3．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－)2＋(y＋1)2＝9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线OP：θ＝(ρ∈R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长．解：(1)(x－)2＋(y＋1)2＝9可化为x2＋y2－2x＋2y－5＝0，故其极坐标方程为ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－5＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1. 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝时，ρ＝，所以N.(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.所以点P的直角坐标为，则点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．解：(1)∵曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0.∵直线C2的方程为y＝x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ＝(ρ∈R)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0，得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3)2＋(y－4)2 ＝25.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．解：(1)∵曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋8sinθ.(2)设A，B.把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ1＝4＋3，∴A.把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ2＝3＋4，∴B.∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB＝(4＋3)(3＋4)sin＝12＋.7．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标； (2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0，曲线C2的方程为y2＝x，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.解：(1)依题意，将代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcosθ－4＝0.将代入y2＝x，得ρsin2θ＝cosθ.故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ.(2)将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1，x＝－4(舍去)，当x＝1时，y＝±1，所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A(1,1)，B(1，－1)，所以ρA＝＝，ρB＝＝，tanθA＝1，tanθB＝－1，因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A在第一象限，点B在第四象限， 所以θA＝，θB＝，故曲线C1与C2交点的极坐标分别为，.