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- 2022-03-30 发布
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高考数学考点归纳之空间角[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A. B.C.D.(2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )A.B.-C.D.-[解析] (1)如图,连接BE,因为AB∥CD,所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中,设AB=2,则BE=,则tan∠EAB==,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.(2)如图,分别取AB,AD,BC,BD的中点E,F,G,O,连接EF,EG,OG,FO,FG,则EF∥BD,EG∥AC,所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角.易知FO∥AB,因为AB⊥平面BCD,所以FO⊥平面BCD,所以FO⊥OG,设AB=2a,则EG=EF=a,FG==a,所以∠FEG=60°,所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为,故选A.[答案] (1)C (2)A
[题组训练]1.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BB1,则AB1与BC1所成角的大小为( )A.30° B.60°C.75°D.90°解析:选D 将正三棱柱ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1,连接C1D,BD,则C1D∥B1A,∠BC1D为所求角或其补角.设BB1=,则BC=CD=2,∠BCD=120°,BD=2,又因为BC1=C1D=,所以∠BC1D=90°.2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,(1)求AC与A1D所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.解:(1)如图所示,连接B1C,AB1,由ABCDA1B1C1D1是正方体,易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.∵AB1=AC=B1C,∴∠B1CA=60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1,∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD,∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面
BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A.8 B.6C.8D.8(2)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为________.[解析] (1)如图,连接AC1,BC1,AC.∵AB⊥平面BB1C1C,∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角,∴∠AC1B=30°.又AB=BC=2,在Rt△ABC1中,AC1==4.在Rt△ACC1中,CC1===2,∴V长方体=AB×BC×CC1=2×2×2=8.(2)如图所示,设O为△ABC的中心,连接PO,AO,易知PO⊥平面ABC,则∠PAO为PA与平面ABC所成的角.S△ABC=×××sin60°=,∴VABCA1B1C1=S△ABC·OP=×OP=,∴OP=.又OA=××=1,∴tan∠OAP==,∴∠OAP=60°.故PA与平面ABC所成角为60°.[答案] (1)C (2)60°[题组训练]1.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.解析:选B 如图,取AC,A1C1的中点分别为M,M1,连接MM1,BM,过点D作DN∥BM交MM1于点N,则易证DN⊥平面AA1C1C,连接AN,则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角.在Rt△DNA中,sin∠DAN===.2.(2019·青海模拟)如图,正四棱锥PABCD的体积为2,底面积为6,E为侧棱PC的中点,则直线BE与平面PAC所成的角为( )A.60° B.30°C.45°D.90°解析:选A 如图,在正四棱锥PABCD中,根据底面积为6可得,BC=.连接BD交AC于点O,连接PO,则PO为正四棱锥PABCD的高,根据体积公式可得,PO=1.因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD,又BD⊥AC,PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,连接EO,则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角.在Rt△POA中,因为PO=1,OA=,所以PA=2,OE=PA=1,在Rt△BOE中,因为BO=,所以tan∠BEO==,即∠BEO=60°.故直线BE与平面PAC所成角为60°.[典例] (1)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角的平面角为________.(2)已知△ABC中,∠C=90°,tanA=,M为AB的中点,现将△ACM沿CM折起,得到三棱锥PCBM,如图所示.则当二面角PCMB的大小为60°时,=________.
[解析] (1)如图,O为正方形ABCD的中心,M为BC的中点,连接PO,PM,OM,∠PMO即为侧面与底面所成二面角的平面角.设底面边长为a,则2a2=(2)2,∴a=2,∴OM=.又四棱锥的体积V=×(2)2×PO=12,∴PO=3,∴tan∠PMO==,∴∠PMO=60°.故所求二面角为60°.(2)如图,取BC的中点E,连接AE,EM,PE,设AE∩CM=O,连接PO,再设AC=2,由∠C=90°,tanA=,可得BC=2.在Rt△MEC中,可得tan∠CME=,在Rt△ECA中,可得tan∠AEC=,∴∠CME+∠AEM=90°,∴AE⊥CM,∴PO⊥CM,EO⊥CM,∠POE即为二面角PCMB的平面角,∴∠POE=60°.∵AE==,OE=1×sin∠CME=,∴PO=AO=.在△POE中,由余弦定理可得,PE==,∴PE2+CE2=PC2,即PE⊥BC.又∵E为BC的中点,∴PB=PC=2.在Rt△ACB中,易得AB=2,∴=.[答案] (1)60° (2)[题组训练]1.已知二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD
分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为( )A.150° B.45°C.120°D.60°解析:选D 如图,AC⊥AB,BD⊥AB,过A在平面ABD内作AE∥BD,过D作DE∥AB,连接CE,所以DE=AB且DE⊥平面AEC,∠CAE即二面角的平面角.在Rt△DEC中,CD=2,DE=4,则CE=2,在△ACE中,由余弦定理可得cos∠CAE==,所以∠CAE=60°,即所求二面角的大小为60°.2.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在平面,C是圆周上不同于A,B两点的任意一点,且AB=2,PA=BC=,则二面角ABCP的大小为________.解析:因为AB为⊙O的直径,所以AC⊥BC,又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,因为AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以∠PCA为二面角ABCP的平面角.因为∠ACB=90°,AB=2,PA=BC=,所以AC=1,所以在Rt△PAC中,tan∠PCA==.所以∠PCA=60°.即所求二面角的大小为60°.答案:60°1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点,则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为( )A.2 B.C.1D.解析:选B A1B1与平面A1EF所成的角就是∠B1A1C,tan∠B1A1C==.2.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,PA=,那么二面角ABDP的大小为( )A.30°B.45°
C.60°D.75°解析:选A 作AO⊥BD交BD于点O,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.∵PA∩AO=A,∴BD⊥平面PAO,∴PO⊥BD,∴∠AOP即为所求二面角ABDP的大小.∵AO==,∴tan∠AOP==,故二面角ABDP的大小为30°.3.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN的长度为( )A.5B.6C.8D.10解析:选A 如图,取AD的中点P,连接PM,PN,则PM∥BD,PN∥AC,PN=AC=4,PM=BD=3,∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°,∴MN=5.故选A.4.已知AB∥平面α,AC⊥平面α于点C,BD是平面α的斜线,D是斜足,若AC=9,BD=6,则BD与平面α所成的角的大小为________.解析:如图,过B作BE⊥平面α,垂足为E,则BE=9.连接DE,则∠BDE为BD与平面α所成的角.在Rt△BED中,sin∠BDE==,所以∠BDE=60°.答案:60°
5.(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.解析:如图,∵SA与圆锥底面所成角为45°,∴△SAO为等腰直角三角形.设OA=r,则SO=r,SA=SB=r.在△SAB中,cos∠ASB=,∴sin∠ASB=,∴S△SAB=SA·SB·sin∠ASB=×(r)2×=5,解得r=2,∴SA=r=4,即母线长l=4,∴S圆锥侧=πrl=π×2×4=40π.答案:40π6.已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上,球O的体积V球=,则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为________.解析:如图,过点O作OM⊥平面ABCD,垂足为点M,则点M为正方形ABCD的中心.∵正方形ABCD的边长为2,∴AC=2,∴AM=.∵V球=πr3=,∴球O的半径OA=r=2,∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为cos∠OAM===.
答案:7.(2018·天津高考)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°.(1)求证:AD⊥BC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.解:(1)证明:因为平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,AD⊂平面ABD,所以AD⊥平面ABC.因为BC⊂平面ABC,所以AD⊥BC.(2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,所以MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt△DAM中,AD=2,AM=1,所以DM==.因为AD⊥平面ABC,所以AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,所以DN==.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN==.
所以异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,所以CM⊥AB,CM=.因为平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,CM⊂平面ABC,所以CM⊥平面ABD,所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD==4.在Rt△CMD中,sin∠CDM==.所以直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.8.(2019·湖北八校联考)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=3,点E,F分别在线段AB,AC上,且EF∥BC,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置,使得二面角PEFB的大小为60°.(1)求证:EF⊥PB;(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时,求四棱锥PEBCF的侧面积.解:(1)证明:在Rt△ABC中,∵AB=BC=3,∴BC⊥AB.∵EF∥BC,∴EF⊥AB,翻折后垂直关系没变,仍有EF⊥PE,EF⊥BE,又PE∩BE=E,∴EF⊥平面PBE,∴EF⊥PB.(2)∵EF⊥PE,EF⊥BE,
∴∠PEB是二面角PEFB的平面角,∴∠PEB=60°,又PE=2,BE=1,由余弦定理得PB=,∴PB2+BE2=PE2,∴PB⊥BE,∴PB,BC,BE两两垂直,∴△PBE,△PBC,△PEF均为直角三角形.由△AEF∽△ABC可得,EF=BC=2,S△PBC=BC·PB=,S△PBE=PB·BE=,S△PEF=EF·PE=2.在四边形BCFE中,过点F作BC的垂线,垂足为H,则FC2=FH2+HC2=BE2+(BC-EF)2=2,∴FC=.在△PFC中,FC=,PC==2,PF==2,由余弦定理可得cos∠PFC==-,则sin∠PFC=,S△PFC=PF·FCsin∠PFC=.∴四棱锥PEBCF的侧面积为S△PBC+S△PBE+S△PEF+S△PFC=2+2+.