2013高考理科数学全国卷2试题与答案word解析版 43页

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝(　　)．A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)．A．－1＋iB．－1－IC．1＋iD．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)．A．B．C．D．4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则(　　)．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)．A．－4B．－3C．－2D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝(　　)．A．B．C．D．7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c 9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)．A．B．C．1D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)．A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)．A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)．A．(0,1)B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________.14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝__________.15．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若，则sinθ＋cosθ＝__________.16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望． 20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0. 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． 24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2). 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A.2．答案：A解析：＝＝－1＋i.3．答案：C解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，∴＝q＋10，整理得q2＝9.∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.4．答案：D解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.5．答案：D解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为＋ax·＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.6．答案：B解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；当k＝2时，，；当k＝3时，，；当k＝4时，，；…；当k＝10时，，，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，所以B正确．7． 答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：则它在平面zOx上的投影即正视图为，故选A.8．答案：D解析：根据公式变形，，，，因为lg7＞lg5＞lg3，所以，即c＜b＜a.故选D.9．答案：B解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得，所以.10．答案：C解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．11．答案：C解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4. 由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则＝(1,2)，＝(－2,2)，所以.14．答案：8解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以，即，解得n＝8.15．答案：解析：由，得tanθ＝，即sinθ＝cosθ.将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得.因为θ为第二象限角，所以cosθ＝，sinθ＝，sinθ＋cosθ＝.16．答案：－49解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0，①S15＝＝15a1＋105d＝25.②联立①②，得a1＝－3，，所以Sn＝.令f(n)＝nSn，则，.令f′(n)＝0，得n＝0或.当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB，又B∈(0，π)，所以.(2)△ABC的面积.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－.又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为.18．解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝得，AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值为.19．解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000. 所以(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.20．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，，，由此可得.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为.(2)由解得或因此|AB|＝.由题意可设直线CD的方程为y＝，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.因为直线CD的斜率为1， 所以|CD|＝.由已知，四边形ACBD的面积.当n＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.21．解：(1)f′(x)＝.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝.函数f′(x)＝在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得＝，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.23．解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M点到坐标原点的距离(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．24．解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为，，，故≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1. 2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（新课标全国Ⅱ卷）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，学科网只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=()DA.｛1｝B.｛2｝C.｛0，1｝D.｛1，2｝2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）AA.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab=()AA.1B.2C.3D.54.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=()BA.5B.C.2D.15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）AA.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.B.C.D.C是否7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（）DA.4B.5C.6D.78.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）DA.0B.1C.2D.39.设x,y满足约束条件，则的最大值为（）BA.10B.8C.3D.210.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）D A.B.C.D.11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）CA.B.C.D.12.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）CA.B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，学科网每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14.函数的最大值为_________.115.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是____.(-1,3)16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是____.[-1,1]三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分18.已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：. 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.19.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：， 20.（本小题满分12分）设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.21.（本小题满分12分）已知函数=（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001） 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）ADDE=223.（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.24.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数=（Ⅰ）证明：2；（Ⅱ）若，求的取值范围. 2016年全国高考理科数学试题全国卷2第Ⅰ卷一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（A）（B）（C）（D）（2）已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（3）已知向量，且，则m=（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8（4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）（A）（B）（C）（D）2（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24（B）18（C）12（D）9（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）（B）（C）（D）（7）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（） （A）（B）（C）（D）（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（）（A）7（B）12（C）17（D）34（9）若，则（）（A）（B）（C）（D）（10）从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A）（B）（C）（D）（11）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E的离心率为（）（A）（B）（C）（D）2（12）已知函数满足，若函数与图像的交点为则（） （A）0（B）（C）（D）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)的内角的对边分别为，若，，，则．(14)是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.[]（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有．.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和．18.（本题满分12分）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]一年内出险次数012[]345概率0.300.150.200.200.100.05 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19.（本小题满分12分）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．（Ⅰ）当时，求的面积；（Ⅱ）当时，求的取值范围． （21）（本小题满分12分）(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．(Ⅰ)证明：四点共圆；(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的面积．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，．2016年全国高考理科数学试题全国卷2参考答案（1）【解析】A∴，，∴，故选A．（2）【解析】C， ∴，∴，故选C．（3）【解析】D，∵，∴解得，故选D．（4）【解析】A圆化为标准方程为：，故圆心为，，解得，故选A．（5）【解析】B有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法故选B．【解析二】：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条，故选B.（6）【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：，，故选C．（7）【解析】B由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.（8）【解析】C第一次运算：，第二次运算：，第三次运算：， 故选C．（9）【解析】D∵，，故选D．解法二：对展开后直接平方解法三：换元法（10）【解析】C由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．（11）【解析】A离心率，由正弦定理得．故选A．（12）【解析】B由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，∴，故选B．13．【解析】∵，， ，，，由正弦定理得：解得．（14）【解析】②③④对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.（15）【解析】由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），（16）【解析】的切线为：（设切点横坐标为）的切线为：∴解得∴．17．【解析】⑴设的公差为，，∴，∴，∴．∴，，．⑵记的前项和为，则．当时，；当时，； 当时，；当时，．∴．18．⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，．⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，．⑶解：设本年度所交保费为随机变量．平均保费，∴平均保费与基本保费比值为．19.【解析】⑴证明：∵，∴，∴．∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，，∴，∴，∴， ∴，∴．又∵，∴面．⑵建立如图坐标系．，，，，，，，设面法向量，由得，取，∴．同理可得面的法向量，∴，∴20．【解析】⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，则直线AM的方程为．联立并整理得， 解得或，则因为，所以因为，，所以，整理得，无实根，所以．所以的面积为．⑵直线AM的方程为，联立并整理得，解得或，所以所以因为所以，整理得，．因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得解得．（21）【解析】⑴证明： ∵当时，∴在上单调递增∴时，∴⑵由(1)知，当时，的值域为，只有一解．使得，当时，单调减；当时，单调增记，在时，，∴单调递增∴．（22）【解析】（Ⅰ）证明：∵∴∴∵，∴∴∴ ∴∴．∴B，C，G，F四点共圆．（Ⅱ）∵E为AD中点，，∴，∴在中，，连接，，∴．（23）解：⑴整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为．⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得，则．（24）【解析】解：⑴当时，，若；当时，恒成立；当时，，若，．综上可得，．⑵当时，有，即，则，则，即，证毕． 2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A．B．C．D．2．设集合，，若,则A．B.．C．D．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．B．C．D．5．设满足约束条件则的最小值是A．B．C．D．6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种B．18种C．24种D．36种理科数学试题第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的A．2B．3C．4D．59．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为A．B．C．D．10．已知直三棱柱中，,,,则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．11．若是函数的极值点，则的极小值为 A．B．C．D．12．已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到二等品件数，则.14．函数的最大值是.15．等差数列的前项和为，，，则.16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则.理科数学试题第2页（共4页）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，的面积为，求.18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.附：.理科数学试题第3页（共4页）19.（12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于地面，，,是的中点.(1)证明：直线；(2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值.20.（12分）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.(1)求点的轨迹方程；(2)设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点. 21.（12分）已知函数，且.(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。22.[选修：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.23.[选修：不等式选讲]（10分）已知.证明：(1)；(2).理科数学试题第4页（共4页）2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B二、填空题 13.1.9614.115.16.6三、解答题17.（1）由得，即，，得，则有.（2）由（1）可知，则，得，又，则.18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg的频率为，新养殖法箱产量不低于50kg的频率为，而两种箱产量相互独立，则.（2）由频率分布直方图可得列联表箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466则，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）新养殖法箱产量低于50kg的面积为，产量低于55kg的面积为，所以新养殖法箱产量的中位数估计值为（kg）.19.（1）取中点，连结.因为为中点，则.而由题可知，则，即四边形为平行四边形，所以.又，故 .（2）因为，则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.取，设则得，，则，，可得点，所以.取底面的法向量为，则，解得,则.因为,设面的法向量为，由得，取得，则.故二面角的余弦值为.20.（1）设，则，将点代入中得，所以点的轨迹方程为.（2）由题可知，设，则，.由得，由（1）有，则有，所以，即过点且垂直于的直线过的左焦点.21.（1）的定义域为，则等价于.设，则.由题可知，则由解得，所以为上的增函数，为上的减函数.则有，解得.（2）由（1）可知，则. 设，则.由解得，所以为上的增函数，为上的减函数.又因为，则在上存在唯一零点使得，即,且为，上的增函数，为上的减函数，则极大值为.而，所以.综上，.22.（1）设极坐标为，极坐标为.则，.由得的极坐标方程为.所以的直角坐标方程为.（2）设极标为，由题可知，则有.即当时，面积的最大值为.23.（1）（2）因为，所以，解得.