高考物理复习资料相互作用 30页

第二章 相互作用 考纲要览 主 题 内 容 要求 说 明 相互作用 形变、弹性、胡克定律 Ⅰ 滑动摩擦、静摩擦、动摩擦因数 Ⅰ 矢量和标量 Ⅰ 力的合成和分解 Ⅱ 共点力作用下物体的平衡 Ⅱ 考向预测 本章为力学乃至物理学的基础，力的分析又是力学的基础．常见的三种性质的力中，弹力、摩擦力属于高考热点，其中对弹力大小和方向的判断，尤其是“弹簧模型”在不同物理情景下的综合运用在高考中出现的频率较高，应引起足够的重视．摩擦力的存在与否，静摩擦力的方向的判断也是常见考点；力的合成与分解、共点力作用下的物体的平衡，尤其是三个共点力的平衡，一直是高考的热点，要注意它们可以单独出现或与动力学、功能关系、电磁学等知识进行综合考查．纯考查本章内容的题型常以选择题为主，综合其它内容考查的试题常在解答题中出现． ‎ 第1课时 力、重力、弹力 基础知识回顾 ‎1．力的概念 ‎（1）力是物体对物体的作用 ‎①力的物质性：力不能脱离物体独立存在． ②力的相互性：力的作用是相互的．‎ ‎③力的矢量性：力是矢量，既有大小，又有方向．‎ ‎④力的独立性：一个力作用于某一物体上产生的效果，与这个物体是否同时受到其他力的作用无关．‎ ‎（2）力的作用效果：使物体发生形变或使物体的运动状态发生改变 （3）力的三要素：大小、方向、作用点．‎ ‎（4）力的图示：用一个带箭头的线段表示力的大小、方向、作用点的方法，叫做力的图示．‎ ‎（5）力的单位为牛顿（N），即使质量1㎏的物体产生‎1m/s2加速度的力为1N，力的大小可用弹簧测力计测量．‎ ‎（6）力的分类 ‎①按性质分：重力（万有引力）、弹力、摩擦力、分子力、电场力、磁场力 等（按现代物理学理论，物体间的相互作用分四种：万有引力、电磁相互作用、强相互作用、弱相互作用．宏观物体间只存在前两种相互作用．）．‎ ‎②按效果分：压力、支持力、拉力、动力、阻力、向心力、回复力等．‎ ‎③按作用方式分：场力（如万有引力、电磁力等）和接触力（如弹力、摩擦力等）．‎ ‎④按研究对象分：内力和外力． ‎ ‎2．重力 ‎（1）产生原因：重力是由于地球的吸引而产生的．地球周围的物体，无论与地球接触与否，运动状态如何，都要受到地球的吸引力，因此任何物体都要受到重力的作用．‎ 说明：重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力，在两极处重力等于万有引力．一般情况下在地球表面附近近似认为重力等于万有引力．‎ ‎（2）方向：总是竖直向下，并不严格指向地心（赤道、两极除外），不可理解为跟支持面垂直．‎ ‎（3）大小：G＝mg g为重力加速度．重力的大小可用弹簧秤测量．当物体在竖直方向静止或匀速运动时，物体对弹簧测力计 的拉力或压力，大小等于物体受到的重力．‎ ‎（4）重心：重力的等效作用点．重心的位置与物体的形状和质量的分布有关．重心不一定在物体上．质量分布均匀、形状规则的物体的重心在几何中心上．薄板类物体的重心可用悬挂法确定．‎ ‎3．弹力 ‎（1）定义：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力．‎ ‎（2）产生条件：两物体直接接触、接触处有弹性形变．‎ ‎（3）方向：弹力的方向与施力物体的形变方向相反．‎ ‎①压力、支持力的方向总是垂直于接触面或接触面的切面，总指向被压、被支持的物体．‎ ‎②绳的拉力总是沿绳指向绳收缩的方向．‎ ‎③杆的弹力不一定沿杆的方向．如果轻直杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆两端对物体的弹力的方向一定沿杆的方向．‎ ‎④轻弹簧的拉力或压力沿弹簧的轴线方向． ‎ ‎（4）弹力的大小 ‎①对弹簧，在弹性限度内弹力的大小可以由胡克定律F = kx 计算，其中k 表示弹簧的劲度系数，由弹簧本身的性质决定，x 表示弹簧的形变量（即伸长或缩小的长度）．‎ ‎②对没有明显形变的物体（如桌面、绳子等物体），弹力大小由物体的受力情况和运动情况共同决定，一般由力学规律（如平衡条件、牛顿运动定律、动能定理、动量定理等）求出．‎ ‎③一根张紧的轻绳上的拉力大小处处相等．‎ 重点难点例析 一、弹力的分析与计算 ‎1．弹力有无的判断 ‎ 对于形变明显的情况，由形变情况直接判断．对于形变不明显的情况通常用以下一些方法来判断．‎ a b 图‎2-1-1‎ ‎（1）消除法 将与研究对象接触的物体解除接触，判断研究对象的运动状态是否发生改变．若运动改变则存在弹力，否则不存在弹力．‎ 如图‎2-1-1‎所示，斜面光滑，a中的细线竖直，小球处于静止状态．假设将斜面取走，这时a中小球的运动状态不变，故a中小球与斜面间无弹力．b中的细线倾斜，小球处于静止状态，假设将斜面取走，b中小球的运动状态改变，故b中小球与斜面接触间有弹力．‎ ‎（2）假设法 ‎ 其基本思路是：假设接触处存在弹力，作出物体的受力图，再根据物理的平衡条件判断是否存在弹力．‎ 图‎2-1-2‎ G FN1‎ FN2‎ 如要判断图‎2-1-2‎中静止在光 滑水平面上的球是否受到斜面对 它的弹力作用，可先假设有弹力 FN2存在，则此球在水平方向所 受合力不为零，必加速运动，与 所给静止状态矛盾，说明此球与斜面间虽接触，但并不挤压，故不存在弹力FN2．‎ ‎（3）根据“物体的运动状态分析”分析弹力．‎ ‎ 由运动状态分析弹力，即物体的受力必须与物体的运动状态相符合，依据物体的运动状态，由二力平衡或牛顿运动定律等，求解物体间的弹力 ‎2．弹力方向的判断 ‎　　弹力的方向与物体形变方向相反，作用在迫使物体发生形变的那个物体上．弹力垂直于两物接触面，具体分析弹力时，应利用到弹力的以下特点：‎ ‎（1）弹簧两端的弹力方向，与弹簧中心轴线重合，指向弹簧恢复原状方向．‎ ‎（2）轻绳（或橡皮条）对物体的弹力方向，沿绳指向绳收缩的方向．‎ ‎（3）点与面接触时的弹力方向，过接触点垂直于接触面（或接触面切线方向）而指向受力物体．‎ ‎（4）面与面接触时弹力的方向，垂直于接触面而指向受力物体．‎ ‎（5）球与面接触时弹力的方向，在接触点与球心的连线上而指向受力物体．‎ ‎（6）球与球相接触时弹力的方向，垂直过接触点的分切面，通过两球球心而指向受力物体．‎ ‎（7）轻杆可沿杆也可不沿杆，弹力的方向应视题意而定，常利用平衡条件或动力学规律来判断．‎ 图‎2-1-2‎ O O O O ‎【例1】画出图‎2-1-2‎中小球或杆受到的弹力．除（2）中的地面外，其他各接触面均光滑，O为圆心．‎ ‎【解析】根据不同接触面上弹力的特点，作图如图‎2-1-3‎所示． ‎ 图‎2-1-3‎ F1‎ F2‎ F1‎ F2‎ F1‎ F2‎ F1‎ F2‎ ‎【答案】如图‎2-1-3‎所示．‎ ‎【点拨】准确掌握不同接触面上弹力方向的特点，是解决这类题的关键．‎ l 拓展 三个质量和直径都相等的光滑圆球a、b、c分别放在三个相同的支座上，支点P、Q在同一水平面上，a球的重心Oa位于球心，b球的重心Ob位于球心的正上方，C球的重心Oc位于球心的正下方．三个球都处于平衡状态．支点P对a球、b球、c球的弹力分别为Fa、Fb、Fc，则（ ）‎ 图2－1－4‎ A．Fa＝Fb＝Fc　 　 　 　 　 B．Fb＞Fa＞Fc C．Fb＜Fa＜Fc　　　　　　　 D．Fa＞Fb＝Fc ‎【解析】三种情况下，支点P、Q作用于球的弹力均应指向球心而不是重心，球的重力的作用线也通过球心，球所受的三个力为共点力．由于三球质量和直径都相等，所以三球受力情况完全相同，因此P点对三球的弹力相同．故选项A正确．‎ ‎【答案】A ‎3．几种典型物体模型的弹力特点比较 模型 轻绳 轻杆 弹簧 形变情况 伸长忽略不计 认为长度不变 可伸长可缩短 施力与受力情况 只能受拉力 即能受拉力又能受压力 同杆 力的方向 始终沿绳 不一定沿杆 沿弹簧轴向 力的变化 可发生突变 可发生突变 只能发生渐变 θ 图‎2-1-5‎ ‎【例 2】如图‎2-1-5‎所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（ ）‎ A．小车静止时，F=mgsinθ，方向沿杆向上 B．小车静止时，F=mgcosθ，方向垂直杆向上 C．小车向右以加速度a运动时，一定有F=ma/sinθ D．小车向左以加速度a运动时，，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为α=arctan（a/g）‎ F α a mg 图‎2-1-6‎（1）‎ 图‎2-1-16‎ ‎【解析】小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向竖直向上，且大小等于球 的重力mg．小车向右以加速度a运 动，设小球受杆的作用力方向与竖直 方向的夹角为α，如图‎2-1-6‎（1）所示．‎ 根据牛顿第二定律有Fsinα=ma，‎ ma mg F α 图‎2-1-6‎（2）‎ Fcosα=mg，两式相除得tanα=a/g．‎ 只有当球的加速度a=gtanθ时，‎ 杆对球的作用力才沿杆的方向，此时 才有F=ma/sinθ．小车向左以加速度 a运动，根据牛顿第二定律知小球所 受重力mg和杆对球的作用力F的合 力大小为ma，方向水平向左．根据力 的合成知三力构成图‎2-1-6‎（2）所示的矢量三角形，，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为α=arctan（a/g）．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【点拨】杆对物体的弹力方向与物体的运动状态有关，并不一定沿杆的方向，在本题中只有小球的加速度a=gtanθ时，杆对球的作用力才沿杆的方向，这点同学们在解题时一定要注意．‎ l 拓展 图‎2-1-7‎ 如图‎2-1-7‎所示，甲、乙球通过弹簧连接后用绳悬挂于天花板，丙、丁球通过细绳连接后也用绳悬挂天花板．若都在A处剪断细绳，在剪 断瞬间，关于球的受力情况，下 面说法中正确的是（ ）‎ A．甲球只受重力作用 B．乙球只受重力作用 C．丙球受重力和绳的拉力作用 D．丁球只受重力作用 ‎【解析】剪断A处绳的瞬间，因为弹簧的形变较大，所以在极短的时间内，形变不发生变化，弹力仍和剪断前相同，甲球受重力和向上的弹力作用，其合力为零，乙球受重力和向下的弹力作用；而由于丙、丁的细绳的形变很小，形变发生变化，弹力和剪断前不同，丙、丁只受重力作用．故选项D正确．‎ ‎【答案】D 二、探究弹力与弹簧的伸长的关系 ‎ ‎【例 3】某同学用如图‎2-1-8‎所示的装置做探究弹力和弹簧伸长关系的实验．他先测出不挂砝码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，然后在弹簧下端挂上砝码，并逐个增加砝码，测出指针所纸的标尺刻度，所得数据列表如下：（重力加速度g=‎9.8m/s2）‎ 图‎2-1-8‎ 图‎2-1-9‎ ‎（1）根据所测数据，在图‎2-1-9‎的坐标纸上作出弹簧指针所指的标尺刻度x与砝码质量m的关系曲线．‎ ‎（2）根据所测得的数据和关系曲线可以判断，在______N范围内弹力大小与弹簧伸长关系满足胡克定律．这种规格弹簧的劲度系数为______N/m．‎ 图‎2-1-10‎ ‎【解析】（1）根据表格中所测数据，在坐标系中的描点如图‎2-1-10‎所示 ‎（2）从x与钩码 质量m的关系曲 线可以看出，在 ‎0~4.9N范围内弹 力大小与弹簧伸 长是一条直线，‎ 这说明这一范 围内满足胡克定律，‎ 由曲线斜率的倒数可求得弹簧的劲度系数为 ‎【答案】（1）如图‎2-1-10‎所示 （2）0~4.9 25.0‎ ‎【点拨】根据所给坐标纸合理选取x、F两轴标度，使得所得图象尽量分布在较大空间上，以便减小误差，这是作图的基本要求．据所给实验数据描点，然后作出平滑曲线（或直线），注意所画直线不一定过所有点，原则是尽量使各点均匀分布在曲线（或直线）的两侧．‎ l 拓展 图‎2-1-11‎ 在研究弹簧的形变与外力的关系的实验中，将弹簧水平放置测出其自然长度，然后竖直悬挂让其自然下垂，在其下端竖直向下施加外力F，‎ 实验过程是在弹簧的弹性限度 内进行的．用记录的外力F与 弹簧的形变量x作出的F-x图线 如图‎2-1-11‎所示．由图求出弹 簧的劲度系数k= ；‎ 图线不过原点的原因 ．‎ ‎【解析】弹簧的劲度系数等于F-x图线，即N/cm=200N/m，因弹簧因弹簧自身有重量，水平放置测量的自然长度与弹簧自然下垂时的自然长度是不同的． ‎ ‎【答案】200N/m 弹簧自身有重量 三、弹簧弹力的分析与计算要领 ‎（1）轻质弹簧两端的弹力大小相等，方向相反．‎ ‎（2）弹簧的弹力（或弹簧测力计的示数）并非弹簧所受的合外力．‎ ‎（3）弹簧的弹力不可突变．‎ ‎（4）弹簧状态不确定时要分情形讨论（压缩和伸长）．‎ ² 易错门诊 ‎【例4】如图‎2-1-12‎所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上，②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用，③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动，④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动．若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有 （ ）‎ 图‎2-1-12‎ A．l2＞l1 B．l4＞l3 ‎ C．l1＞l3 D．l2＝l4‎ ‎【错解】选A或B或C．‎ ‎【错因】造成错误的原因是不清楚轻质弹簧两端的弹力大小相等，与物体的运动状态无关．对图②‎ ‎，易误认为弹簧受‎2F的拉力，得出形变量是图①的2倍，而错选A；对图③易错误理解为物体在光滑面上，弹力小于F，而错选C；比较③④易错误认为④中拉力大于③中拉力而错选B．‎ ‎【正解】由于弹簧质量不计，无论弹簧的运动状态如何所受合力均为零，又因弹簧右端受力相同，则四种情形下弹簧的弹力都相同，故四种情形下弹簧的形变相同，即l1=l2=l3=l4．因此只有D正确．‎ ‎【点悟】轻质弹簧两端的弹力大小相等，与物体的运动状态无关.‎ ‎ 课堂自主训练 R N c a M b 图‎2-1-13‎ ‎1．图‎2-1-13‎中a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们的连接如图并处于平衡状态．下列说法正确的是（ ）‎ A．有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态 B．有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态 C．有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态 D．有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态 ‎【解析】绳R对弹簧N只能向上拉不能向下压，所以绳R受到拉力或处于不受拉力两种状态．弹簧N可能处于拉伸或原长状态．而对于弹簧M，它所处状态是由弹簧N所处的状态来决定．当弹簧N处于原长时，弹簧M一定处于压缩状态；当弹簧N处于拉伸时，对物体a进行受力分析，由平衡条件可知弹簧M可能处于拉伸、缩短、原长三种状态．故选项A、D正确． ‎ ‎【答案】AD 图‎2-1-14‎ ‎2．如图‎2-1-14‎所示，弹簧测力计和细线的重力不计，一切摩擦不计，重物的重力G=10N，则弹簧测力计A、B的示数分别是（ ）‎ A．10N，0 B．0，10N ‎ C．20N，10N D．10N，10N ‎【解析】弹簧测力计示数等于外力对弹簧测力计的拉力，不是弹簧测力计受力的合力，也不是两边拉力和．‎ ‎【答案】D 课后创新演练 ‎1．关于弹力，下列说法中正确的是 （BD）‎ A．弹力的大小总是与形变成正比 B．拉力、压力、支持力在性质上均为弹力 C．支持力一定等于重力 D．桌子上的铅笔给桌子的压力是由于铅笔发生形变而产生的 图‎2-1-15‎ ‎2．如图‎2-1-15‎所示，一容器内盛有水，容器下方有一阀门k，打开阀门让水从小孔慢慢流出，在水流出过程中，系统（水和容器）重心将（ D ）‎ 图‎2-1-16‎ S1‎ S2‎ m1‎ m2‎ A．一直下降 ‎ B．一直上升 C．先上升，后下降 ‎ D．先下降，后上升 ‎3．如图‎2-1-16‎所示，两根相同的轻弹簧S1、S2，劲度系数皆为k=4×102N/m，悬挂的重物的质量分别为m1=‎2 kg和m2=‎4 kg．若不计弹簧质量，取g=‎10 m/s2，则平衡时弹簧S1、S2的伸长量分别为（ C ）‎ A．‎5 cm，‎10 cm B．‎10 cm，‎5 cm ‎ C．‎15 cm，‎10 cm D．‎10 cm，‎‎15 cm A B C D 图‎2-2-17‎ ‎4．在图‎2-1-17‎中，a、b（a、b均处于静止状态）间一定有弹力的是（B）‎ 图‎2-1-18‎ ‎5．如图‎2-1-18‎所示，A、B是两个物块的重力分别为3N、4N，弹簧的重力不计，整个装置沿竖直向方向处于静止状态，这时弹簧的弹力F = 2N，则天花板受到的拉力F1和地板受到的压力F2有可能是（AD）‎ A．F1=1N，F2=6N B．F1=5N，F2=6N C．F1=1N，F2=2N D．F1=5N，F2=2N ‎【解析】弹簧的弹力为2N，有两种可能：一是弹簧处于拉伸状态，由A、B受力平衡可知D正确；二是弹簧处于压缩状态，同理可知A正确．‎ ‎ C A O B θ 图‎2-1-19‎ ‎【答案】AD ‎6．如图‎2-1-19‎所示，滑轮本身的质量可忽略不计，滑轮轴O安装在一根轻木杆B上，一根轻绳AC绕过滑轮，绳与滑轮间的摩擦不计，A 端固定在墙上，且绳保持水平，C端下面挂一个重物，BO与竖直方向夹角θ=45°，系统保持平衡.若保持滑轮的位置不变，改变θ的大小，则滑轮受到木杆的弹力大小变化的情况是（D）‎ A．只有角θ变小，弹力才变小 ‎ B．只有角θ变大，弹力才变大 C．不论角θ变大或变小，弹力都变大 ‎ D．不论角θ变大或变小，弹力都不变 ‎【解析】绳A与绳C的拉力大小与方向均不变，所以其合力不变，对滑轮而言，杆的作用力必与两绳拉力的合力平衡，所以杆的弹力大小与方向均不变．解决这类问题关键是区别杆、绳对物体的作用力，绳对物体的作用力一定沿绳，但杆对物体作用力不一定沿杆．‎ ‎【答案】D ‎7．如图‎2-1-20‎所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的轻度系数分别为k1和k2，上面的木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态．现缓慢地向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，求这个过程中下面木块移动的距离．‎ ‎【解析】设整个系统处于平衡时，下面弹簧压缩量为x2，则由平衡条件有(m1+m2)g = k2x2；设上面弹簧的压缩量为x1，则同理可有m‎1g= k1x1．现缓慢向上提m1至它刚离开弹簧时x1消失，对下面木块而言，又处于新的平衡，形变量为x3，则m‎2g= k2x3，则其上移的距离为= x2—x3 = ．‎ ‎【答案】 ‎ 第2课时 摩擦力 基础知识回顾 ‎1．摩擦力 ‎ 当一个物体在另一个物体的表面上相对运动或有相对运动趋势时，受到的阻碍相对运动或相对运动趋势的力，叫做摩擦力．摩擦力可分为滑动摩擦力和静摩擦力．‎ ‎2．摩擦力产生条件 ‎（1）相互接触的物体间有弹力存在．‎ ‎（2）接触面粗糙．‎ ‎（3）接触面间有相对运动或相对运动的趋势．‎ ‎3．摩擦力的大小 ‎（1）滑动摩擦力的大小跟压力成正比，即F=μFN，FN指接触面的压力，不一定等于重力G．μ是动摩擦因数，与接触面的两个物体的材料、接触面的情况（如粗糙程度）有关，与接触面积、接触面上受力情况和物体运动状态无关．‎ ‎（2）静摩擦力大小不能用动摩擦力公式F=μFN计算，要根据物体的受力情况和运动情况共同决定．静摩擦力的大小可以在0与最大静摩擦力Fm之间变化，即0＜F≤Fm．静摩擦力的大小与物体间的压力无关，只与外力有关，但物体间的最大静摩擦力与物体间的压力有关．‎ ‎4．摩擦力的方向 跟接触面相切，并跟物体相对运动或相对运动趋势方向相反．‎ 重点难点例析 一、静摩擦力是否存在及其方向的判断方法 ‎ 相对运动趋势具有很强的隐蔽性，所以静摩擦力是否存在及其方向的确定，通常采用以下方法．‎ ‎（1）假设法：‎ 假设接触面滑（即无摩擦力）时，看相对静止的物体间能否发生相对运动．若能，则有静摩擦力，方向与相对运动的方向相反；若不能，则没有静摩擦力．‎ ‎（2）由运动状态判断 A B F 图‎2-2-1‎ 当物体处于平衡状态（匀速运动或静止）时，由平衡的观点确定静摩擦力的大小和方向；当物体处于非平衡状态时，可通过牛顿运动定律和受力分析确定静摩擦力大小和方向．‎ ‎【例1】如图‎2-2-1‎所示，A、B两物体叠放在水平面上，水平力F作用在A上，使两者一起向右作匀速直线运动，下列判断正确的是（ ）‎ A．A、B间无摩擦力 B．A对B的静摩擦力大小为F，方向向右 C．B对地面的动摩擦力的大小为F，方向向右 D．B受到了向右的静摩擦力和向左的滑动摩擦力 ‎【解析】A做匀速运动，故A的合力为零．由于它受到一个向右的拉力，因此它一定还要受到一个向左的水平力与力F平衡，所以B对A一个水平向左的静摩擦力为F平衡，由牛顿第三定律可知， A一定要对B施加一个向右的静摩擦力；B做匀速直线运动，它在水平方向上一定要受到一个向左的力与A对B的静摩擦力平衡；B是在水平面上运动，显然地面对B有一个向左的滑动摩擦力，那么B对地面施加一个向右的滑动摩擦力．因此选项BCD正确．‎ ‎【点拨】判断物体物体是否受静摩擦力的作用，常采用假设法、运动状态和受力情况来分析判断，而滑动摩擦力则可以直接由其相对运动的情况来判断．‎ B A A B F F 甲 乙 ‎ 图‎2-2-2‎ l 拓展 如图‎2-2-2‎示，物体A、B在力F作用下一起以相同速率沿F方向匀速运动，关于物体A所受的摩擦力，下列说法中正确的是（ ）‎ A．甲、乙两图中A均受摩擦力，且方向均与F相同 B．甲、乙两图中A均受摩擦力，且方向均与F相反 C．甲、乙两图中A均不受摩擦力 D．甲图中A不受摩擦力，乙图中A受摩擦力，方向均与F相同 ‎【解析】用假设法分析：甲图中，假设A受摩擦力，其合力不为零，与A作匀速运动在水平方向受力为零不符，所以A不受摩擦力．乙图中，假设A不受摩擦力，A将相对B沿斜面向下运动，从而A受沿沿斜面向上方向的摩擦力．故D为正确选项．‎ ‎【答案】D 二、摩擦力大小的计算 ‎1．先分清摩擦性质：是静摩擦力还是滑动摩擦力．‎ ‎2．滑动摩擦力由公式F=μFN计算．计算中关键的是对压力FN的分析，它跟研究物在垂直于接触面方向的受力密切相关，也跟研究物体在该方向的运动状态有关，特别是后者，最容易被人忽视．注意FN变引起F 变的动态关系．‎ ‎3．对静摩擦力，区分最大值与非最大值．最大静摩擦力Fm与正压力成正比，非最大静摩擦力与正压力无关，其大小可以在0＜F≤Fm范围内变化，常通过平衡关系或牛顿运动定律来求其大小．‎ F A B 图‎2-2-3‎ ‎【例2】如图‎2-2-3‎所示，物体A、B的质量mA=mB=‎6kg，A和B、B和水平面间的动摩擦因数都等于0.3，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，水平力F=30N．那么，B对A的摩擦力和水平桌面对B的摩擦力各为多大?‎ ‎【解析】假设A相对于B、B相对于桌面均不发生滑动，则绳对A、B的拉力大小均为N=15N．‎ A、B间的最大静摩擦力FAm=μFNA=μmAg=0.3×6×9.8N ‎=17.64N＞FT ，B与桌面间的最大静摩擦力FBm=μFNB ‎=μ（mA+ mB ）g=0.3×（6+6）×9.8 N=35.28N＞F，可见以上假设成立．‎ 对A应用二力平衡条件，可得B对A的摩擦力FBA= FT=15N．‎ 对A、B和滑轮整体应用二力平衡条件，可得桌面对B的摩擦力 F桌B=F=30N．‎ ‎【点拨】本题在A、B运动状态不明确的情况下，需先加以讨论．若不假思索即采用公式F=μFN求解，必然会导致错误结果．本题求解过程中隔离法和整体法的交叉应用，对培养思维的灵活性很有帮助．‎ l 拓展 图‎2-2-4‎ 长直木板的上表面的一端放置一个铁块，木板放置在水平面上，将放置铁块的一端由水平位置缓慢地向上抬起，木板另一端相对水平面的位置保持不变，如图‎2-2-4‎所示．铁块受到摩擦力f随木板倾角α变化的图线可能正确的是（设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力大小）（ ）‎ A B C D 图‎2-2-5‎ ‎【解析】本题应分三种情况进行分析：‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）当0 ≤α＜arctanμ（μ为铁块与木板间的动摩擦因数）时，铁块相对木板处于静止状态，铁块受静摩擦力作用其大小与重力沿木板面方向分力大小相等，即f = mgsinα， f随α增大按正弦规律增大．‎ ‎（2）当α= arctanμ 时处于临界状态，此时摩擦力达到最大静摩擦，由题设条件可知其等于滑动摩擦力大小．‎ ‎（3）当arctanμ＜α≤90°时，铁块相对木板向下滑动，铁块受到滑动摩擦力的作用，根据摩擦定律可知f = μFN =μmgcosα，f随α增大按余弦规律减小，当α＝90°时，f＝0．综合上述分析可知C图可能正确地表示了f随α变化的图线．‎ ‎【答案】C 三、传送带上摩擦力的分析 ‎ 传送带上的物体与传送带的摩擦力方向，与物体与传送带之间速度有关，要根据它们的相对速度方向确定它们间的相对运动或相对运动趋势．‎ ² 易错门诊 Q O2‎ O1 P A C B 图‎2-2-6‎ v ‎【例题3】水平传送带的装置如图‎2-2-6‎所示，O1为主动轮，O2为从动轮．当主动轮顺时针匀速转动时，物体被轻轻地放在A端皮带上．开始时物体在皮带上滑动，当它到达位置C后滑动停止，之后就随皮带一起匀速运动，直至传送到目的地B端．在传送的过程中，若皮带和轮不打滑，则物体受到的摩擦力和皮带上P、Q两处（在O1O2连线上）所受摩擦力情况正确的是（ ）‎ ‎ A．在AC段物体受水平向左的滑动摩擦力，P处受向上的滑动摩擦力 ‎ B．在AC段物体受水平向右的滑动摩擦力，P处受向上的滑动摩擦力 ‎ C．在CB段物体不受静摩擦力，Q处受向下的静摩擦力 ‎ D．在CB段物体受水平向右的静摩擦力，P、Q两处始终受向下的静摩擦力 ‎【错解】选A或B或D ‎【错因】不能正确理解“相对运动”和“相对运动趋势”的含义．‎ ‎【正解】当物体被轻轻放在皮带A端时，其初速度为零，物体相对皮带向左运动，物体受到水平向右的滑动摩擦力，使物体相对地面向右加速；当物体与皮带等速时，两者无相对运动趋势，两者之间无摩擦力作用，物体在重力和皮带的支持力作用下匀速运动．假设主动轮O1与皮带间无摩擦力作用，则当O1顺时针转动时，O1与皮带间将会打滑，此时P点将相对于O1轮向上运动，因此，P点受向下的静摩擦力作用．同 理，当皮带顺时针转动时，Q点相对轮有向上运动趋势，因此Q点受向下的静摩擦力作用因此选项C正确．‎ ‎【答案】C ‎【点悟】（1）对传送带上物体的摩擦力的分析，关键抓住物体相对传送带的运动或运动趋势方向，而对传送带上的点（通常是传送带与轮子接触点），要确定哪是主动轮，还要清楚传送带与轮子是否打滑等．（2）主动轮、从动轮、皮带之间的转动关系：主动轮→皮带→从动轮，即主动轮先转，带动皮带运转，皮带又带动从动轮运转．‎ 课堂自主训练 F1‎ F2‎ 图‎2-2-7‎ ‎1．如图‎2-2-7‎所示，一木块放在水平桌面上，在水平方向上共受到三个力即F1、F2和摩擦力，木块处于静止状态，其中F1＝10 N，F2＝2 N．若撤去F1，则木块在水平方向上受到的合力为（ ）‎ A．10 N，方向向左 B．6 N，方向向右 C．2 N，方向向左 D．零 ‎【解析】由力的平衡，木块开始受到的静摩擦力大小为8 N，方向水平向左．显然物体与地面间的最大静摩擦力fmax≥8 N．撤去F1后，因为F2＜fmax，故物体仍保持静止，受到的静摩擦力大小为2 N方向向右，合外力为零．故选项D正确．‎ ‎【答案】D ‎2．如图‎2-2-8‎所示，物体a、b和c叠放在水平桌面上，水平力Fb=5N、Fc=10N分别作用于物体b、c上，a、b和c仍保持静止．以F1、F2、F3分别表示a与b、b与c、c与桌面间的静摩擦力的大小，则（ ）‎ Fc Fb 图‎2-2-8‎ a b c A．F1=5N，F2=0，F3=5N ‎ B．F1=5N，F2=5N，F3=0‎ C．F1=0，F2=5N，F3=5N ‎ D．F1=0，F2=10N，F3=5N ‎【解析】a与b之间无相对 运动趋势，故F1=0．根据物体b的水平方向平衡条件可判断F2=5N；再分析c的平衡条件，则F3=5N．故选项C正确．‎ F 图‎2-2-9‎ ‎【答案】C ‎3．如图‎2-2-9‎所示，一质量为‎1kg 的长木板放在水平桌面上，木板与桌面间的最大静摩擦力为3.0N，动摩擦因数为0.3．如果分别用2.8N和3.2N的水平力推木板，木板受到的摩擦力分别为多大？在木板被水平力推动的过程中，当木板伸出桌边三分之一时，木板受到的摩擦力又为多大？（g取‎9.8m/s2）‎ ‎【解析】（1）当用2.8N的水平力推木板时，因推力小于最大静摩擦力，木板不能被推动而受静摩擦力作用；当用3.2N的水平力推木板时，因推力超过最大静摩擦力，木板将被推动而受滑动摩擦力作用；当木板在被推动过程中伸出桌边三分之一时，由于压力和动摩擦因数均未改变，木板所受滑动摩擦力不变．‎ 当F=2.8N时，木板受静摩擦力 F1=F=2.8N；‎ 当F=3.2N时，木板受滑动摩擦力 F2=μFN=μmg=0.3×1×‎ ‎9.8N≈2.9N；‎ 当木板在被推动过程中伸出桌边三分之一时，木板所受滑动摩擦力大小未改变，即F2'= F2≈2.9N．‎ ‎【答案】当F=2.8N时，木板受静摩擦力 F1=2.8N；当F=3.2N时，木板受滑动摩擦力  F2≈2.9N；当木板在被推动过程中伸出桌边三分之一时，木板所受滑动摩擦力大小F2'≈2.9N．‎ 课后创新演练 ‎1．关于摩擦力，下列说法正确的是（AC）‎ A．摩擦力的方向可能与物体的运动方向相同 B．摩擦力的大小一定与压力成正比 C．运动的物体可以受静摩擦力作用，静止的物体也可以受滑动摩擦力的作用 图‎2-2-10‎ A C F B D．静摩擦力可以是动力，也可以是阻力，滑动摩擦力一定是阻力 ‎2．如图‎2-2-10‎所示，C是水平地面，A、B是两个长方形物块，F是作用在物块B上沿水平方向的力，物块A和B以相同速度做匀速直线运动．由此可知，A、B间动摩擦因数μ1和B、C间动摩擦因数μ2有可能是（BD）‎ A．μ1=0，μ2=0 B．μ1=0，μ2≠0 ‎ C．μ1≠0，μ2=0 D．μ1≠0，μ2≠0‎ ‎1 2 3 4 ‎ F F 图‎2-2-11‎ ‎3．如图‎2-2-11‎所示，两块 相同的竖直木板之间有质 量均为m的四块相同的砖，‎ 用两个大小均为F的水平 压力压木板，使砖静止不动，设所有接触面均粗糙，则第三块砖对第二块砖的摩擦力大小为（A）‎ A．0 B．mg ‎ C．μF D．2mg 图‎2-2-12‎ ‎4．如图‎2-2-12‎所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上受到向右的水平拉力F的作用向右滑行，长木板处于静止状态．已知木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是（AD）‎ A．木板受到地面的摩擦力的大小一定是μ1mg B．木板受到地面的摩擦力的大小一定是μ2（m+M）g C．当F＞μ2（m+M）g时，木板便会开始运动 D．无论怎样改变F的大小，木板都不可能运动 ‎【解析】木块受到木板对它的动摩擦力为μ1mg，方向向左，由作用力与反作用力可知：木板受到块对它的摩擦力为μ1mg，方向向右，而木板静止，故地面给木板的静摩擦力为μ1mg，方向向左；在木块滑动中木板与木块间的动摩擦力不变，因此无论怎样改变F的大小，木板都不可能运动．故选项A、D正确．‎ ‎【答案】AD ‎4．把一重为G的物体，用一水平推力F=kt （k为恒量，t为时间）压在竖直的足够高的平整墙上。那么，在图‎2-2-13‎中，能正确反映从t=0开始物体所受摩擦力Ff随t变化关系的图象是（B）‎ Ff t B O G Ff t C O G Ff t A O G Ff t D O G 图‎2-2-13‎ ‎【解析】设物体与墙壁间的动摩擦因数为μ，则开始时物体受滑动摩擦力Ff=μFN=μF=μkt∝t，所以图象开始部分为过原点的倾斜直线．开始阶段物体所受滑动摩擦力小于重力，物体沿墙壁向下加速滑动；当物体所受滑动摩擦力等于重力，由于惯性，物体继续运动，这时重力小于摩擦力，物体沿墙壁向下减速滑动，直至静止．此后物体受静摩擦力F '=G．故选项B正确． ‎ ‎【答案】B ‎5．一个物块位于斜面上，受到平行于斜面的水平力．F的作用处于静止状态，如图‎2-2-14‎甲所示，如果将外力F撤去，则物块（BD）‎ 图‎2-2-14‎ 甲 乙 丙 A．会沿斜面下滑 B．摩擦力方向一定变化 C．摩擦力的值变大 D．摩擦力的值变小 ‎【解析】物块静止于斜面上时，在斜面所在平面上的受力情况，如图‎2-2-14‎乙所示，它受三个力作用：水平力F、静摩擦力Ff和物块的重力沿抖面向下的分力Gsinθ．物块处于平衡状态，三个力的合力为零．由图可知，静摩擦力Ff大于Gsinθ．而最大静摩擦力不会小于静摩擦力，所以斜面对物块的最大静摩擦力大于Gsinθ． 如果将外力F撤去，因为斜面对物块的最大静摩擦力大于Gsinθ，则物块仍然静止于斜面上．这时在斜面所在平面上，它受两个力的作用：物块的重力沿斜面向下的分力Gsinθ和斜面对物块沿斜面向上的静摩擦力（大小为Gsinθ) ．其中在撤去外力F的时刻，静摩擦力发生了突变：方向由原来沿斜面的右上方变为沿斜面向上，如图‎2-2-14‎丙所示，大小由大于Gsinθ变为等于Gsinθ.故选项BD正确．‎ ‎【答案】BD ‎6．如图‎2-2-15‎所示，传送带向右上方匀速转动，石块从漏斗里竖直掉到传送带上，然后随传送带向上运动，下列说法可能正确的是（AB）‎ A．石块落到传送带上可能先做加速运动后做匀速运动 图‎2-2-15‎ B．石块在传送带上一直受到向沿皮带向上的摩擦力作用 C．石块在传送带上一直受到沿皮带向下的摩擦力作用 D．开始时石块受向到沿皮带向上的摩擦力，后来不受摩擦力 ‎【解析】石块刚落到传送带上时两者速度不同，必发生相对运动，由相对运动可知石块受到向上的滑动摩擦力，使石块加速向上运动，若达到与皮带共速，所经位移大于两轮间距，一直加速；若达共速，所经位移小于两轮间距，共速后与皮带相对静止，此后受静摩擦力作用，方向仍沿皮带向上．故选项A、B正确．‎ ‎【答案】AB 甲 乙 图‎2-2-16‎ ‎7．测量物体间的动摩擦因数的方法很多，现给出长木板，滑块、弹簧测力计等器材测定滑块与木板间的动摩擦因数，供选用的装置如图‎2-2-16‎所示．‎ ‎（1）请分析说明最好选取哪个图示装置进行实验？ ‎ ‎（2）根据选用的图示装置写出简单的实验步骤及动摩擦因数的表达式．‎ ‎【解析】（1）选乙图所示装置做实验较好．理由是：甲图中要找到滑块A受到的动摩擦力Ff，必须使A保持匀速直线运动，才有弹簧测力计示数F=Ff ，而乙图中拉木板时，无论木板匀速与否，弹簧测力计的示数总等于A受到的动摩擦力Ff ．因此采用乙图做实验便于操作，从而减少实验误差．‎ ‎（2）主要步骤为：①用弹簧测力计测出A的重力；②弹簧测力计按乙图连接，一端固定在竖直墙上，挂钩挂在滑块上A，滑块放在水平放置的木板B上；③沿水平方向拉动B，待A稳定后读出弹簧测力计的示数；④计算动摩擦因数．计算公式：．‎ ‎【答案】见【解析】 ．‎ ‎7．建筑工地上的黄沙堆成圆锥形，而不管如何堆，其锥面的倾角则是一定的．试分析这一现象的原因．‎ ‎【解析】黄沙堆圆锥面上的黄沙处于即将下滑的状态．下滑黄沙受重力作用，其余黄沙施于下滑黄沙的弹力和最大静摩擦力的作用使其静止．将黄沙的重力沿锥面方向和垂直于斜面方向分解，其沿锥面向下的分力与最大静摩擦力平衡，可以认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，有mg sin θ=F=μmg cos θ．从而，θ=arctanμ，式中θ为锥面的倾角，μ为黄沙面的动摩擦因数．可见，不管如何堆，黄沙堆圆锥面的倾角总是一定的．‎ ‎【答案】见【解析】‎ 图‎2-2-16‎ ‎8．如图‎2-2-16‎所示，重物A质量为mA=‎5kg，重物B质量为mB=‎2kg，A与桌面间的最大静摩擦力为Fm=10N．为使系统处于静止状态，试求拉力F大小范围．（g取‎10m/s2）‎ ‎【解析】以A为研究对象，A除了受到向左的拉力F、绳子施与的向右的弹力FT外，还受到桌面施与的摩擦力作用．‎ 当拉力F取最小值Fmin时，重物A即将向右滑动，所受摩擦力为最大静摩擦力Fm，且方向向左．‎ 对A受力分析有 Fmin+Fm=FT ①‎ 对B受力分析有 FT=mBg ②‎ 由①②得Fmin= mBg－Fm=2×10N－10N =10N．‎ 当拉力F取最大值Fmax时，重物A即将向左滑动，所受摩擦力为最大静摩擦力Fm，且方向向右．‎ 对A受力分析有Fmin =FT+Fm ③‎ 对B受力分析有FT=mBg ④‎ 由③④得Fmin= mBg+Fm=2×10N+10N =30N 为使系统处于静止状态，拉力F的大小范围是 ‎10N≤F≤30N．‎ ‎【答案】10N≤F≤30 N 第3课时 力的合成与分解 基础知识回顾 ‎1．合力与分力 一个力，如果它产生的效果与几个力的共同作用效果相同，则这个力叫做那几个力的合力，那几个力叫这一个力的分力．合力与分力之间是等效替代关系．‎ ‎2．力的合成与分解 图‎2-3-1‎ ‎（1）求几个力的合力的过程叫做力的合成，反之，求一个力的分力的过程叫做力的分解．‎ ‎（2）平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向（如图‎2-3-1‎所示）．‎ ‎（3）力的合成与分解都遵从平行四边形定则．‎ ‎（4）力的合成唯一，而力的分解一般不是唯一．‎ ‎3．矢量和标量 ‎ 既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则（或三角形定则）的物理量叫做矢量．只有大小没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量．‎ 重点难点例析 一．力的合成 ‎1．合成法则：平行四边形定则或三角形定则．‎ ‎2．同一直线上的力合成，选定一个正方向，与正方向相同的力为正，与正方向相反的力为负．即可将矢量运算转化为代数运算求合力．‎ ‎3．互成角度的两力F1、F2的合成 ‎①作图法：选定合适的标度，以F1、F2为两邻边作平行四边形，两邻边之间的对角线即为所求．根据标度，用刻度尺量出合力的大小，用量角器量出合力与任意分力的夹角φ．‎ F1‎ F2‎ F O θ φ A D C 图‎2-3-2‎ ‎②计算法：若以F1、F2为邻边作平行四边形后，F1、F2夹角为θ，如图‎2-3-2‎所示，利用余弦定理得合力大小 合力F方向与分力F1的夹角φ ‎【讨论】 a．若θ=0°，则F = F1+F2 ；若θ=90°，则，若θ=180°，则F = |F1-F2|；若θ=120°，且F1=F2，则F = F1=F2．‎ ‎ b．共点的两个力合力的大小范围是 |F1－F2| ≤ F合≤ F1＋F2，当两力夹角θ在0～1800范围内变化时，两分力大小一定时，F合随两力间夹角的增大而减小．‎ c．合力可能比分力大，也可能比分力小，也可能等于分力．‎ ‎（4）多个共点力的合成方法 ‎2F ‎4F ‎3F O F ‎5F ‎6F 图‎2-3-3‎ ‎ 依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力，再求该合力与第三个力的合力，依次类推，求完为止．也可以先正交分解后合成的方法．‎ ‎3F ‎3F ‎3F 图‎2-3-4‎ O ‎【例1】六个共点力的大小分别为F、‎2F、‎3F、‎4F、‎5F、‎6F，相邻两力间的夹角均为60°，如图‎2-3-3‎所示．试确定它们的合力的大小和方向．‎ ‎【解析】本题若将六个共点力依次逐步合成，无论是计算法还是作图法，都相当繁琐．然而，仔细研究这六个共点力的特点，则不难发现其中的奥秘——同一直线上的两个力的合力均为‎3F，利用这一点将可大大简化求解过程．先将六个共点力中在同一直线上的力两两合成，可得图‎2-3-4‎．再根据平行四边形定则，将两侧的两个‎3F合成，它们的合力应与中间的‎3F重合．从而，最终可求得这六个力的合力为‎6F，方向与大小为‎5F的那个力同向．‎ ‎【点拨】求多个力的合力时，适当选取力的合成顺序，往往能简化求解过程．通常，可将同一直线上的力先行合成，而对称规律的应用（如大小相等、两两相隔120°的三个力的合力为0）也是很有必要的．‎ 图‎2-3-5‎ l 拓展 如图‎2-3-5‎所示，有五个力作用于 同一点O，表示这五个力的有向线 段恰分别构成一个正六边形的两条 邻边和三条对角线．已知F1＝10N，‎ 则这五个力的合力大小为 N．‎ ‎【解析】方法一：利用平行四边形定则求解 ‎　　将F5与F2、F4与F3合成，作出平行四边形如图‎2-3-6‎（1）所示，它们的对角线对应的力的大小均等于F1，这五个力的合力大小为‎3F1=30N．故这五个力的合力大小为‎3F1=30N．‎ 方法二：利用三角形法求解 ‎　　将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的末端之间，如图‎2-3-6‎（2）所示．F3、F4的合力等于F1，F5、F2的合力等于F1，这五个力的合力大小为‎3F1=30 N．‎ 方法三：利用正交分解法求解 ‎　将力F2、F3、F4、F5沿F1方向和垂直F1的方向分解，如图‎2-3-6‎（3）所示.根据对称性知Fy=0， 合力F=Fx， F=‎2F2cos60°+‎2F4cos30°+F1=30 N．‎ ‎ 方法四：利用公式法求解 ‎　　因F1=10N，由几何关系不难求出，F5=F4=　　N、F2=F3=5N，将F5与F4、F2与F3组合求它们的合力，它们的夹角分别为60°和120°，由于两个相等力的合力可由公式F合=2Fcos，故它们的合力的大小为5N与15N，方向沿F1的方向，所以这五个力的合力为30N．‎ ‎【答案】30N 二．力的分解 ‎（1）力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则或三角形定则．‎ ‎（2）两个力的合力唯一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解．‎ ‎（3）力分解时有解、无解的讨论 ‎①已知合力F的大小与方向，两个分力的方向，则两个分力的大小有唯一确定解．‎ ‎②已知合力F的大小与方向，一个分力的大小和方向，另一分力的大小与方向有唯一确定解．‎ ‎③已知合力和一个分力F1的大小与另一个分力F2的方向，求分力F1的方向和分力F2的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一．‎ 图‎2-3-7‎ 如图所示，已知F、α（F1与F的夹角）和F2的大小．这时有四种情况，下面采用图示法和三角形知识进行分析．从力F的端点O作出力F1的方向，以F的矢端为圆心，用分力F2的大小为半径作圆．‎ ‎ ‎ a．当F 2＜F sinα 时，圆与F1无交点，说明此时无解，如上图a 所示．‎ 图‎2-3-6‎ ‎（1） （2） （3）‎ b．当F 2=F sinα 时，圆与F1相切，说明此时有一解，如上图b所示．‎ c．当F sinα＜F 2＜F时，圆与F1有两个交点，说明此时有两解，如上图c所示．‎ 图3—122‎ ‎2l b F A B C D α α d．当F 2≥F时，圆与F1有一个交点，说明此时有一解，如上图d所示．‎ ‎【例2】图‎2-3-8‎是压榨机的原理示 意图，B为固定铰链，A为活动铰链，‎ 在A处作用一水平力F，滑块C就以 比F大得多的压力压物体D．已知图 中l=‎0.5m，b=‎0.05m，F=200N，C与 左壁接触面光滑，D受到的压力多 大？（滑块和杆的重力不计）‎ 图‎2-3-9‎ ‎（a ） （ b）‎ ‎【解析】力F的作用效果是对AB、AC两杆沿杆向产生挤压作用，因此可将F沿AC、AB方向分解为F1、F2，如图‎2-3-9‎（a）所示，则．‎ 力F2的作用效果是使 滑块C对左壁有水平向左 的挤压作用，对物体D有 竖直向下的挤压作用．因 此可将F2沿水平方向和 竖直方向分解为F3、F4，如图‎2-3-9‎（b）所示，则物体所受的压力为．由图可知，且F=200N，故FN =1000 N．‎ ‎【答案】1000 N ‎【点拨】（1）在有些问题中，需要将力多次分解．根据力的作用效果，确定分力方向，是求解此类问题的关键．本题也可运用共点力的平衡知识求解，分别对活动铰链A和滑块C进行受力分析，运用平衡条件列式求得物体D对滑块C的弹力，然后根据牛顿第三定律得物体D所受的压力．（2）当合力和分力组成的平行四边形为菱形时，常将菱形转化为直角三角形，从而确定合力和分力的关系．‎ 图‎2-3-10‎ F α β D E C B A l 拓展 如图‎2-3-10‎是拔桩架示意 图．绳CE水平，CA竖直，‎ 已右绳DE与水平方向成α 角；绳BC与竖直方向成β 角．若在E点施加竖直向下的大小为F的拉力作用，求CA绳向上拔桩的力的大小．‎ ‎【解析】将F分解为沿DE方向的分力F1和沿CE方向的分力F2，如图‎2-3-11‎（a）所示．再将CE的拉力F2分解为沿BC、AC 图‎2-3-11‎ 方向的分力F4、F3，‎ 如图‎2-3-11‎（b）所 示．由几何关系得 到：F2 = Fcotα，F3 = ‎ F2cotβ，所以F3 = ‎ Fcotαcotβ．这就是CA拔桩的拉力大小．‎ ‎【答案】F3 = Fcotαcotβ 三．正交分解 图‎2-3-12‎ 把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法．如图‎2-3-12‎所示，将力F沿x和y两个方向分解，则 Fx＝Fcosθ，Fy＝Fsinθ ‎ F2‎ F1‎ F3‎ F4‎ ‎37°‎ ‎106°‎ 图‎2-3-13‎ tanθ=（θ为F与x轴的夹角）‎ ‎【例3】在同一平面内共点的 四个力F1、F2、F3、F4的大 小依次为19N、40N、30N和 ‎15N，方向如图‎2-3-13‎所示，‎ 求它们的合力．‎ x F2‎ F1‎ F3‎ F4‎ ‎37°‎ 图‎2-3-14‎ x y O ‎37°‎ ‎（a）‎ O y Fy Fx F ‎（b）‎ ‎【解析】本题若连续运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，一次又一次确定部分合力的大小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力的正交分解法求解此题．‎ 如图‎2-3-14‎（a）建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，x轴和y轴上的合力Fx和Fy ，有 Fx=F1+F2cos37°－F3cos37°=27N ‎ Fy= F2sin37°+F3sin37°－F4=27N 因此，如图‎2-3-14‎（b）所示，合力大小为 ‎  N 合力方向 ‎ 即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°．‎ ‎【点拨】用正交分解法求多个力的合力的基本思路是：先将所有的力沿两个互相垂直的方向分解，求出这两个方向上的合力，再合成所得合力就是所有力的合力．‎ l 拓展 图‎2-3-15‎ F1‎ F2‎ ‎60°‎ ‎30°‎ 如图‎2-3-15‎所示，两个大人和一个小孩沿河岸拉一条船前进，两个大人的拉力分别是F1=400N和F2=320N，F1、F2的方向分别与河岸成60°和30°角，要使船在河流中间行驶，求小孩对船施加的最小拉力的大小和方向．‎ ‎【解析】将F1、F2分别沿平行于河岸和垂直于河岸方向分解，则要使船在河流中间行驶，小孩对船施加的最小拉力N N≈186N，方向与河岸垂直且偏向F2一侧．‎ ‎【答案】186N，方向与河岸垂直且偏向F2一侧．‎ 四．注意“死杆”和“活杆”问题 O C m A B 图‎2-3-16‎ ‎【例4】如图‎2-3-16‎所示，质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点，轻杆OB可绕B点转动，当物体静止时细绳OA与轻杆OB间的夹角为θ．求此时细绳OA中张力F1的大小和轻杆OB受力F2的大小．‎ ‎【解析】 由于悬挂物体质量为m，绳OC拉力大小是mg，将重力沿杆和OA方向分解，根据几何关系，可求F1=mg/sinθ；F2=mgcotθ．‎ ‎【答案】F1=mg/sinθ；F2=mgcotθ A C B m 图‎2-3-17‎ ‎【点拨】在处理支架类力的分解问题时，关键是搞清楚支架的相关部位受拉还是受压，以便决定分力的方向。一般说来，绳子总是受拉不可能受压，而轻杆则可能受拉也可能受压．判断轻杆的受力情况，可将轻杆换成绳子——在原有外力作用下，若绳子仍能张紧，则轻杆受拉；若绳子不能伸直，则轻杆受压．如本题中若将轻杆换成绳子，则此绳在重物的作用下必将被压缩，所以轻杆肯定受压．‎ l 拓展 ‎ 如图‎2-3-17‎所示，水平横梁一端A 插在墙壁内，另一端装有小的轻质滑轮B，一轻绳一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=‎10kg的重物，∠CBA=30°，则滑轮受到绳子作用力为（ ）‎ A．50N B． ‎ C．100N D．‎ ‎【解析】对于本题若依照例4中方法，则绳子对滑轮F2=mgcotθ=，应选择D项，实际不然．由于杆AB不可转动，是死杆，杆所受弹力的方向不沿杆AB方向．由于B点处是滑轮，它只是改变绳中力的方向，并未改变力的大小，滑轮两侧绳上拉力大小均是100N，夹角为，故滑轮受绳子作用力即是其合力，大小为100N，正确答案是C而不是D．‎ ‎【答案】C 五．用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律 ‎（a） （b）‎ ‎ 图‎2-3-18‎ ‎1．当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2最小的条件是：两个分力垂直，如图‎2-3-18‎（a）甲所示．最小的F2＝Fsinα. ‎ ‎（2）当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2最小的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图‎2-3-16‎（b）所示．最小的F2＝F1sinα.‎ ‎（3）当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2最小的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，最小的F2＝|F-F1|．‎ 图‎2-3-19‎ ² 易错门诊 ‎【例5】如图‎2-3-19‎所示，物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体O点，现要使物体沿着OO '方向做加速运动（F 和OO'都在水平面内）．那么，必须同时再加一个力F '，这个力的最小值是（ ）‎ A．Fcosθ B．Fsinθ ‎ C．F tanθ D．Fcotθ ‎【错解】当F '与F 垂直时，F '最小，且F '= Fcotθ，所以选项D正确．‎ ‎【错因】上述错误的原因是机械的套用两力垂直时力最小，而实际上本题中合力大小不定，方向确定．‎ 图‎2-3-20‎ ‎【正解】根据题意可知，F和F '的合力沿OO '方向，做出其矢量三角形，如图‎2-3-20‎所示．由图可知，由F矢端向OO '做垂线，此垂线段即为F '的最小值，故F '的最小值为Fsinθ． ‎ ‎【点悟】做出矢量三角形是解决此类问题的关键，同时要注意哪些力方向不变，哪些力大小、方向都不变．这类问题解决的方法是：大小和方向的力向方向不变的力做垂线，该垂线长即为所求最小力．实际上也可以以F的矢端为圆心，用分力F '的大小为半径作圆，当圆与另一方向不变的力相切时，该半径即为所求力的最小值．‎ 课堂自主训练 ‎1．用两根绳子吊起一重物，使重物保持静止，逐渐增大两绳之间的夹角，则两绳对重物的拉力的合力变化情况是（ ）‎ A．保持不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．以上说法都有可能 ‎【解析】 因为重物保持静止，且重物的重力保持不变，则两绳的合力一定与重力大小相等、方向相反，故选项A正确．‎ ‎【答案】A ‎（a）‎ ‎（b）‎ 图‎2-3-21‎ θ θ ‎2．如图‎2-3-21‎所示，两个完全相同的小球在挡板作用下静止在倾角为θ的光滑斜面上，求（a）、（b）两种情况下小球对斜面的压力之比．‎ ‎（a）‎ ‎（b）‎ 图‎2-3-22‎ θ θ G F‎2a F2b G F‎1a F1b ‎【解析】（a）、（b）两种情况中，由于挡板放置方式不同，重力产生的作用效果就不同，因此重力的分解方向就不同．重力的分解如图‎2-3-22‎所示，可知球对斜面的压力分别为F‎1a=，F2b=Gcosθ，所以F‎1a ：F2b=1：cos2θ．‎ ‎【答案】1：cos2θ 课后创新演练 ‎1．两个共点力F1与F2的合力为F，则（BD）‎ A．合力一定大于任一分力 ‎ B．合力有可能等于某一分力 ‎ C．分力F1增大，而F2不变，且它们的夹角不变时，合力F一定增大 ‎ D．当两个分力大小不变时，增大两分力的夹角，则合力一定减小 ‎ ‎2．有三个力，F1=3N，F2=5N，F3=9N，则（CD）‎ A．F1可能等于F2和F3的合力 ‎ B．F2可能等于F1和F3的合力 C．三个力合力最小值是1N ‎ D．三个力合力最大值是17N ‎ ‎3．两个大小恒定的共点力，合力的最大值为a，合力的最小值为b，当这两个共点力互相垂直时，其合力的大小为（ D）‎ A．a+b B． ‎ C． D．‎ 图‎2-3-23‎ ‎4．AB、AC两绳相交于A点，绳与绳、绳与天花板间夹角大小如图‎2-3-23‎，现用一力F作用于交点A，与右绳夹角为α，保持力F大小不变，改变α角大小，忽略绳本身重力，则在下述哪种情况下，两绳所受张力大小相等（B）‎ A．α=150° B．α=135° ‎ C．α=120° D．α=90°‎ ‎【解析】两绳所受张力大小相等时，其合力方向一定沿两绳所夹角的角平分线，且与F等值反向，因此α=180°-（180°-60°-30°）/2=135°．故选项B正确．‎ ‎【答案】B α F G 图‎2-3-24‎ G F F1‎ F2‎ Ff FN α 图‎2-3-25‎ ‎5．如图‎2-3-24‎所示，用跟水平方向成α角的推力F推重量为G的木块沿天花板向右运动，木块和天花板间的动摩擦因数为μ，求木块所受的摩擦力大小． ‎ ‎【解析】如图‎2-3-25‎所示，先 将推力F沿水平方向和竖直方 向分解，则其竖直方向的分力 为F2=Fsinα，从而天花板对木 块的压力为FN= F2－G =Fsinα－G，因此木块所受的摩擦力为 Ff =μFN=μ（Fsinα－G）‎ ‎【答案】μ（Fsinα－G）‎ ‎6．将一个20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成30°，试求 ‎（1）另一个分力的大小不会小于多少？‎ ‎（2）若另一个分力大小为20/N，则已知方向的分力的大小是多少？‎ 图‎2-3-26‎ ‎【解析】（1）根据已知条件，可作出如图‎2-3-26‎（a），合力F与它的两个分力要构成一个三角形，F的末端到直线OA的最短距离表示那个分力的最小值，即过F末端做OA的垂线，构成一个直角三角形，如图2-3-26（b），由几何关系可知F2=Fsin30°=10N．‎ ‎ ‎ ‎（2）当另一分力F2=20/N＞10N，可以组成两个不同的三角形，如图‎2-3-26‎（c）．根据正弦定理有F2/sinO=F/sinA=F1/sinB，其中F2=20/N，F=20N，O=30°，而A+B=150°．可求得F1=20/N，F'1=40/N．‎ ‎【答案】（1）10N （2）20/N 40/N ‎7．电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图‎2-3-27‎所示，将相距为 L 的两根固定支柱 A、B（图中小圆框表示支柱的横截面）垂直于金属绳水平放置，在 A、B 的中点用一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于 A、B 的方向竖直向上发生一个偏移量 d（d<m2如图‎2-4-1‎所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块（ ） ‎ A．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右 B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左 C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出 D．没有摩擦力作用 ‎【解析】 解法一（隔离法）：把三角形木块隔离出来，它的两个斜面上分别受到两木块对它的压力FN1、FN2，摩擦力F1、F2．由两木块平衡条件知，斜面对木块的支持力和摩擦力的合力竖直向上，大小等于其重力大小．因此在每一个斜面上，木块对斜面的压力和摩擦力的合力竖直向下，而没有水平分量，所以木块在水平方向无滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用．‎ 图‎2-4-2‎ ‎（m1+m2+M）g FN 解法二（整体法）：由于三角形木块和斜面上的两物体都静止，可以把它们看成一个整体，如图‎2-4-2‎所示，竖直方向受到重力（m1+m2+M）g 和支持力FN作用处于平衡状态，‎ 水平方向无任何滑动趋势，因此不 受地面的摩擦力作用．‎ ‎【答案】D P M N 图‎2-4-3‎ ‎【点拨】分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体间相互作用时，用隔离法．实际解题时，往往整体法和隔离法交替使用．整体法常用于各物体的加速度相同的情形，从上例中可以看出恰当用整体法解题可使问题大为简化．‎ l 拓展 ‎ 如图‎2-4-3‎所示，竖直放置的轻弹簧一 端固定在地面上，另一端与斜面体P相 连，P与斜放在其上的固定档板MN接 触且处于静止状态，则斜面体P此时受 到的外力的个数有可能是（ ）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【解析】以斜面体P为研究对象，很显然斜面体P受到重力mg和弹簧弹力F1作用，二力共线．‎ mg F1‎ mg F1‎ F2‎ F3‎ 图‎2-4-4‎ ‎（a）‎ ‎（b）‎ 若F1=mg，P受力如图‎2-4-4‎（a）所示．‎ ‎ 若F1＞mg，挡板MN必对P施加垂直斜面的力F2，‎ F2有水平向左的分量，要P处于平衡状态，MN必对P施加平行接触面斜向下的摩擦力F2，P受力如图‎2-4-4‎（b）所示．故选项A、C正确．‎ ‎【答案】AC 二．求解平衡问题的常用方法 ‎1．力的分解法 物体受三力作用平衡时，根据其中某一个力产生的效果，将其分解从而可求出另外两个力．‎ ‎2．力的合成法 物体受三力作用平衡时，其中任意两个力的合力必与第三个力大小相等、方向相反，可以由两个力合成求解．‎ ‎3．力的三角形法 ‎ 物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形，因此可利用三角形法，求得未知力．‎ 以上三种方法的解题思路不同，但求解过程相似，都是要将这三个力构成矢量三角形，然后利用三角函数知识和几何知识解此三角形，从而求出未知力．灵活利用三角形的边角关系（如正弦定理、余弦定理、相似三角形等）是解决三力平衡的关键．‎ ‎4．正交分解法 图‎2-4-5‎ ‎ 先确定研究对象，进行受力分析，然后建立直角坐标系，将各力分解到x轴和y轴上，再根据、，列方程求解．该法多用于三个力以上共点力作用下的物体的平衡．‎ ‎【例2】如图‎2-4-5‎所示，重力为 G的物体在水平向右和跟竖直方 向成θ角的斜向上绳子的拉力作 用下，保持静止状态，试求两绳的拉力．‎ ‎【解析】取物体为研究对象，它受三个力的作用．即物体的重力，AO绳的拉力，BO绳的拉力，且这三个力相交于O点，故此题为共点力的平衡问题．‎ ‎（a）‎ ‎（b）‎ ‎（c）‎ 图‎2-4-6‎ θ 解法一（合成法）：物体受力情况如图‎2-4-6‎（a）所示，G为重力，F1为绳AO的拉力，F2为绳BO的拉力．设F为F1和F2的合力，则F＝G，方向竖直向上．由几何关系有．F2＝Ftanθ＝Gtanθ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法二（三角形法）：将物体所受三个力依次相连接，因合力为零，三力依次连接得到如图‎2-4-6‎（b）所示的三角形．显然，，F2＝Gtanθ．‎ 解法三（正交分解法）：将F1正交分解，如图‎2-4-6‎（c）所示，由力的平衡条件得F2-F1sinθ=0， F1cosθ-G=0‎ 所以，F2=F1sinθ= Gtanθ．‎ ‎【点拨】在对实际问题的求解中，可以用合成法，也可以用分解法，用三角形法，还可以用正交分解法．要善于根据题目要求，灵活选择解题方法．一般说来，在研究多个共点力作用的力学问题时，选用正交分解法比较方便．‎ l 拓展 图‎2-4-7‎ 如图‎2-4-7‎所示，重量为G的均匀链条，两端用等长的轻绳连接，挂在等高的地方，绳与水平线成θ角．试求：‎ ‎（1）绳子的张力大小；‎ ‎（2）链条最低点的张力大小．‎ ‎【解析】（1）以链条为研究时象，它受绳 图‎2-4-8‎（a）‎ 子拉力FT1、FT2及重力G的作用，‎ 由于链条处于平衡状态，由三力 汇交原理知其受力情况如图‎2-4-8‎ ‎（a）所示．对整个链条，由正交 分解与力的平衡条件得：‎ 图‎2-4-8‎（b）‎ FT1cosθ＝FT2cosθ ①‎ FT1sinθ＋FT2sinθ＝G ②‎ 由①②式得FT1＝FT2＝．‎ ‎（2）由于链条关于最低点是对称的，‎ 因此链条最低点处的张力是水平的，‎ 链条左侧半段的受力情况如图‎2-4-8‎（b）所示．对左半段链条FT1 cosθ＝FT，所以FT＝（也可以对其竖直方向列式得到FT1）．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ 三．动态平衡问题的分析 动态平衡问题是指通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在此过程中，物体始终处于一系列的动态平衡状态．这类问题的特征是“缓慢移动”（即物体速度极小，计算时可认为为零）．解决动态平衡问题的关键是抓住不变量，依据不变量来确定变化量的规律．常用的分析方法有解析法和图解法．‎ ‎1．解析法 ‎ 对研究对象的任一状态进行受力分析，列平衡方程，写出函数关系式，再根据自变量的变化进行分析，得出结论．‎ ‎2．图解法 图‎2-4-9‎ 对研究对象进行受力分析，用平行四边形（或三角形）定则画出不同状态下的力的矢量图，然后根据有向线段长度的变化判断各力的变化情况．物体在三力平衡时常用此法．‎ x y G FN2‎ FN1‎ ‎90°-α-β α ‎2-4-10‎ ‎【例3】如图‎2-4-9‎ 所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α．在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角β缓慢增大至水平，‎ 在这个过程中，球对挡板和球对 斜面的压力大小如何变化？ ‎ ‎【解析】解法一（解析法）：选球 为研究对象，球受重力G、斜面支 持力FN1、挡板支持力FN2，受力 如图‎2-4-10‎所示，由平衡条件可得 x方向：FN2cos（90°-α-β）- FN1sinα=0 ①‎ y方向：FN1cosα-- FN2sin（90°-α-β）-G=0 ②‎ 联立①②式求解得 讨论：（1）对FN1：①当（α+β）＜90°时，β↑→↓→FN1↓；②当（α+β）＞90°时，β↑→↑→FN1↓．‎ ‎（2）对FN2：①当β＜90°时，β↑→sinβ↑→FN2↓；‎ ‎②当β＞90°时，β↑→sinβ↓→FN2↑．‎ 图‎2-4-11‎ 由牛顿第三定律可知：球对斜面的压力FN1'=FN1，球对挡板的压力FN2'=FN2．因此球对斜面的压力FN1'随β增大而减小．球对挡板的压力FN2'在β＜90°时，随β增大而减小；在β＞90°随β增大而增大；β=90°时，球对挡板的压力最小．‎ 解法二（图解法）：取球为研究对象，球所受三个力构成封闭的三角形，当挡板逆时针转动时，FN2的方向也逆时针转动，作出如图‎2-4-11‎所示的动态矢量三角形．由图可见，FN1随β增大而始终减小，FN2随β增大先减小后增大．即球对斜面的压力FN1'随β增大而减小．球对挡板的压力FN2'在β＜90°时，随β增大而减小；在β＞90°随β增大而增大；β=90°时球对挡板的压力最小．‎ ‎【答案】球对斜面的压力随β增大而减小．球对挡板的压力在β＜90°时，随β增大而减小；在β＞90°随β增大而增大；β=90°时，球对挡板的压力最小．‎ ‎【点拨】（1）从上例的分析可以看出，解析法严谨，但演算较繁，解析法多用于定量分析．图解法直观、简便，多用于定性分析．但在使用中有两点需要注意：①本方法所适用的基本上都是“三力平衡”问题，且物体所受的三力中，有一个恒力（如G），还有一个是方向不变仅大小变的力（如FN1），另一个则是大小和方向都变的力（如FN2）．②作图时要规范，也可仅讨论其中的一个三角形，要特别注意方向变化的那个力，要切实搞清其方向变化的范围．‎ ‎（2）解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键．‎ l 拓展 图‎2-4-12‎ 一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图 ‎2-4-12‎所示．现将细绳缓慢往左拉，‎ 使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减 少，则在此过程中，拉力F及杆BO 所受压力FN的大小变化情况是（ ）‎ A．FN先减小，后增大 B．FN始终不变 C．F先减小，后增大 D．F始终不变，‎ 图‎2-4-13‎ ‎【解析】取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力（大小为F），BO杆的支持力FN和 悬挂重物的绳子的拉力（大小为G）‎ 的作用，将FN与G合成，其合力与 F等值反向，如图‎2-4-13‎所示，得到 一个力三角形（如图中画斜线部分），‎ 此力三角形与几何三角形OBA相似．‎ 设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小．故B正确．‎ ‎【答案】B 四．物体平衡中的临界和极值问题 ‎1．临界问题 ‎ 物理系统由于某些原因而发生突变（从一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一种物理过程转入到另一物理过程的状态）时所处的状态，叫临界状态．临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态．平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解．解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”．‎ ‎2．极值问题 极值是指平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值．求解极值问题有两种方法：‎ ‎（1）解析法 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值．通常用到数学知识有二次函数极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值等．‎ ‎（2）图解法 A B C F θ θ 图‎2-4-15‎ 根据物体平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值．‎ ‎【例4】如图‎2-4-15‎所示，物体 的质量为‎2kg，两根轻绳AB和 AC的一端连接于竖直墙上，另 一端系于物体上，在物体上另施 加一个方向与水平线成θ=60°的 拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．‎ G F2‎ F1‎ F x y θ θ 图‎2-4-16‎ ‎【解析】A受力如图‎2-4-16‎所示，由平衡条件有： ‎ Fsinθ+F1sinθ-mg=0 ①‎ ‎ Fcosθ-F2-F1cosθ=0 ② ‎ 由①②式得 ③ ‎ ‎ ④‎ 要使两绳都能绷直，则有 F1≥0 ⑤ F2≥0 ⑥‎ 由式③⑤得F的最大值 Fmax=mg/sinθ=40/3N 由式④⑥得F的最小值 Fminxmg/2sinθ=20/3N 综合得F的取值范围为 20/3N≤F≤40/3N ‎【答案】20/3N≤F≤40/3N 图‎2-4-17‎ ‎【点拨】抓住题中“若要使两绳都能伸直”这个隐含条件，它是指绳子伸直但拉力恰好为零的临界状态．当AC恰好伸直但未张紧时，F有最小值；当AB恰好伸直但未张紧时，F有最大值．‎ l 拓展 图‎2-4-18‎ 在机械设计中常用到下面的力学原理，如图‎2-4-17‎所示，只要使连杆AB与滑块m所在平面间的夹角θ大于某个值，那么，无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称之为“自锁”现象．为使滑块能“自锁”，θ应满足什么条件？（设滑块与所在平面间的动摩擦因数均为μ)‎ ‎30°‎ ‎60°‎ 图‎2-4-19‎ ‎【解析】滑块m的受力分析如图‎2-4-18‎所示，将力F分别在水平和竖直方向分解，则竖直方向：FN＝mg＋Fsinθ ① 水平方向：Fcosθ＝Ff ≤μFN ② 由①②式得 F（cosθ-μFsinθ）≤μmg，因为力F可以很大，所以cosθ-μFsinθ≤0 故θ应满足的条件为θ≥arccotμ．‎ ‎【答案】θ≥arccotμ ² 易错门诊 ‎【例5】如图‎2-4-19‎所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，AC绳能承受的最大拉力为150N，而而BC绳能承受的最大的拉力为100N，求物体最大重力不能超过多少？‎ ‎【错解】以重物为研究对象，其受力如图‎2-4-20‎所示．由重物静止有TACcos30°+TBCcos60°=G，将TAC=150N，TBC=100N代入式解得G=200N．‎ TAC x y TBC ‎60°‎ ‎30°‎ T=G 图‎2-4-20‎ ‎【错因】以上错解的原因是学生 错误地认为当TAC=150N时，TBC ‎=100N，而没有认真分析力之间 的关系．实际上当TBC=100N时，‎ 已经超过150N．‎ ‎【正解】重物受力如图‎2-4-20‎，‎ 由重物静止有 TBCsin60°－TACsin30°= 0 ① TACcos30°+‎ TBCcos60°－G = 0 ② 由式①可知TAC=TBC，当TBC=100N时，TAC=173.2N，AC将断．而当TAC=150N时，TBC=86.6 N＜100N．将TAC=150N，TBC=86.6N代入式②解得G=173.2N．所以重物的最大重力不能超过173.2N．‎ ‎【点悟】认真分析两段绳力之间的关系，找到一根绳断时另一根绳受力大小，是解决这类有条件限制的问题的关键．‎ 课堂自主训练 O A B P Q 图‎2-4-21‎ ‎1．有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某 一位置平衡（如图‎2-4-21‎所示）．‎ 现将P环向左移一小段距离，两环 再次达到平衡，那么将移动后的平 衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是 A．FN不变，f变大 B．FN不变，f变小 ‎ C．FN变大，f变大 D．FN变大，f变小 mg F N α 图‎2-4-22‎所示 ‎【解析】以两环和细绳整体为对象，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；‎ 以Q环为对象，如图‎2-4-22‎所 示，在重力、细绳拉力F和OB 弹力N作用下平衡，设细绳与竖 直方向的夹角为α，则N=mgtanα，‎ 当P环向左移的过程中α将减小，‎ B A O ‎4m 图‎2-4-23‎ N也将减小．再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的弹力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小．答案B正确．‎ ‎【答案】B ‎2．如图‎2-4-23‎所示，长为‎5m的细绳两端分别系于竖立在地面上相距为‎4m的两杆的顶端A、B．绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时求绳中张力的大小？‎ F F mg θ θ 图‎2-4-24‎ ‎【解析】由于物体是被光滑轻质挂钩挂在绳子上，且同一根绳子中张F处处相等．又因绳的长度和A、B间的水平距离不变，故两段绳子与水平方向的夹角θ必然相等，且cosθ=4/5．对挂钩与绳子的接点进行受力分析，作出受力如图‎2-4-24‎所示．由图可知：2Fsinθ=mg，则F=mg/2sinθ=12/（2×3/5）N=10N ‎【答案】10N 课后创新演练 ‎1．以下四种情况下，物体受力平衡的是（A）‎ A．水平弹簧振子通过平衡位置时 ‎ B．单摆摆球通过平衡位置时 C．竖直上抛的物体在最高点时 ‎ D．做匀速圆周运动的物体 ‎2．受斜向上的恒定拉力作用，物体在粗糙水平面上做匀速直线运动，则下列说法正确的是（D）‎ A．拉力在竖直方向的分量一定大于重力 B．拉力在竖直方向的分量一定等于重力 C．拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力 D．拉力在水平方向的分量一定等于摩擦力 ‎3．用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图‎2-4-25‎（甲）所示．今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力，最后达到平衡．表示平衡状态的图可能是图2-4-25（乙）中的（A）‎ ‎2-4-25‎‎（乙）‎ ‎2-4-25‎‎（甲）‎ B A Q θ P θ 图‎2-4-26‎ ‎4．如图‎2-4-26‎所示，A、‎ B两物体的质量分别是 mA和mB，而且mA＞mB，‎ 整个系统处于静止，滑 轮的质量和一切摩擦不计，‎ 如果绳的一端由P点缓慢向右水平移动到Q点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ如何变化？（B）‎ A．物体A的高度升高，θ角变小 B．物体A的高度升高，θ角不变 C．物体A的高度不变，θ角变大 D．物体A的高度降低，θ角变小 图‎2-4-27‎ ‎5．半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖向挡板MN，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态，如图‎2-4-27‎所示是这个装置的截面图，若用外力使MN保持竖直且缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是（B）‎ A．MN对Q的弹力逐渐减小 B．地面对P的摩擦力逐渐增大 C．P、Q间的弹力先减小后增大 D．Q所受的合力逐渐增大 ‎【解析】本题是动态平衡问题，外力使MN保持竖直缓慢向右移动，所以Q在落地之前的每一个状态可看作平衡状态，对Q受力分析，用图解法，作动态图，可判定PQ间的弹力逐渐增大，MN对Q的弹力也逐渐增大，对P受力分析可得地面对P的摩擦力逐渐增大，故B正确．‎ ‎6．当物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的终极速度．已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即阻力f=krv，k是比例系数，对于常温下的空气，比例系数k=3.4×10-4 N·s/m2．已知水的密度ρ=1.0×‎103 kg/m3，取重力加速度g=‎10 m/s2，则半径r=‎0.10 mm的球形雨滴在无风情况下的终极速度vT是多大？（结果取两位有效数字）‎ α 图‎2-4-27‎ θ ‎【解析】雨滴以终极速度下落时，受力平衡，有mg=krvT ① m=ρ·4πr3/3 ② 由①②并代入数据得vT=‎1.2 m/s．‎ ‎【答案】‎1.2 m/s ‎ ‎7．如图‎2-4-27‎所示，小球质量为m，置于质量为M的倾角为θ 的光滑斜面上，悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于静止状态．求 ‎（1）斜面对小球的支持力和悬线对小球的拉力大小．‎ ‎（2）地面对斜面体的水平和竖直方向的作用力大小．‎ mg F FN α θ 图‎2-4-28‎（a）‎ ‎【解析】（1）选小球为研究对象，‎ 小球所受力的矢量三角形如图 ‎2-4-28‎‎（a）所示．mg F FN α θ 由正弦定理有 F/sinθ=FN/sinα=mg /sin(180 º -α-θ) ‎ ‎(M+m)g T Q f α 即 F/sinθ=FN/sinα=mg/sin(α+θ)‎ 所以 F=mgsinθ/sin(α+θ) ① ‎ FN=mgsinα/sin(α+θ)‎ ‎(M+m)g F N f α 图‎2-4-28‎（b）‎ ‎（2）由于小球对M的压力斜向右下方，而系统又处于静止状态，所以地面对斜面的作用力有向左的静摩擦力f和竖直向上的的支持力N．对小球和斜面整体受力分析如图‎2-4-28‎（b）所示，由平衡条件有f-Fsinα =0 ② N+Fcosα=(M+m)g ③‎ 由①②③得 f= mgsinθsinα/sin(α+θ) ‎ ‎ N=(M+m)g- mgsinθcosα/sin(α+θ) ‎ ‎【答案】（1）F=mgsinθ/sin(α+θ) ；FN=mgsinα/sin(α+θ)‎ ‎（2）f= mgsinθsinα/sin(α+θ)；‎ N=(M+m)g- mgsinθcosα/sin(α+θ)‎ ‎8．直角劈形木块（截面如图‎2-4-29‎所示，∠ACB=37°）质量M =‎2kg，用外力顶靠在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩擦力和木块对墙的压力成正比，即fm=kFN，比例系数k=0.5，则垂直作用于BC边的外力F应取何值木块保持静止．（g=‎10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）‎ 图‎2-4-29‎ ‎【解析】若木块刚好不下滑，竖直方向上有Fsin37°+kFcos37°=Mg 解得F=20N 若木块刚好不上滑，竖直方向上有 Fsin37°=Mg+kFcos37°‎ 解得F=100N 所以取值为20N≤F≤100N ‎【答案】20N≤F≤100N ‎ 第5课时 实验: 验证力的平行四边行定则 基础知识回顾 ‎1．实验目的 验证互成角度的两共点力合成的平行四边形定则．‎ ‎2．实验原理 根据合力与分力等效，先测出发生某形变时的两拉力F1、F2的大小和方向，根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F的图示；再测出用一个拉力F '作用时发生同样形变时的大小和方向，作出F '的图示．比较F与F '的大小和方向是否在实验允许误差内相同，以验证互成角度两个力合成时的平行四边形定则．‎ ‎3．实验器材 方木板、白纸、弹簧测力计（两只）、橡皮条、细绳套（两个）、三角板、刻度尺、图钉（几枚）、铅笔．‎ A O 图‎2-5-1‎ ‎4．实验装置 实验装置如图‎2-5-1‎所示．‎ ‎5．实验步骤 ‎（1）用图钉把白纸固定在水平桌面的方木板上．‎ ‎（2）用图钉把橡皮条的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套．‎ ‎（3）用两只弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，将结点接到某一位置O，如图‎2-5-1‎所示，记下两弹簧测力计的读数，用铅笔描下O点的位置及此时两条细绳套的方向．‎ ‎（4）用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的读数F1、F2的图示，并以F1和F2为邻边用作平行四边形，过O点画出平行四边形的对角线，即为合力F的图示．‎ ‎（5）只用一只弹簧测力计钩住细绳套，把橡皮条的结点拉到同样的位置O，记下弹簧测力计读数F '和细绳的方向，用刻度尺从O点按同样标度沿记录的方向作出这只弹簧测力计的拉力F '的图示．‎ ‎（6）比较力F '与用平行四边形定则求出的合力 F的大小和方向，在实验误差允许范围内是否相同，得出结论．‎ ‎（7）改变两个力F1、F2的大小和夹角，再重复实验两次．‎ ‎6．注意事项 ‎（1）正确使用弹簧测力计 ‎①本实验中弹簧测力计在使用前将其水平放置，然后检查、校正零点；将两只弹簧测力计钩好后水平对拉，选择在拉伸过程中读数相同的两只弹簧测力计．‎ ‎②使用时应使弹簧测力计与板面平行，被测力的方向与弹簧测力计轴线一致，读数时应正对、平视刻度．‎ ‎③在满足合力不超过弹簧测力计量程及橡皮条形变不超过弹性限度的条件下，应使拉力适当大些．‎ ‎（2）规范实验操作 ‎①在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点O的位置一定要相同．‎ ‎②细绳套应适当长一些，便于确定力的方向．不要直接沿细绳套的方向画直线，应在细绳套末端用铅笔画一个点，取掉细绳套后，再将所标点与O点连一直线确定力的方向． ‎ ‎③在同一次实验中，作力的图示时，应该选定相同的标度，并且要选取恰当的标度，尽量使图画得大一些，但也不要太大面画出纸外，要严格按力的图示要求和几何作图法作出合力．‎ ‎④由作图法得到的F和实际测量得到F '的不可能完全符合，但在实验误差允许范围内可认为F和F '符合即可．‎ ‎7．误差分析 ‎（1）误差来源：‎ 本实验误差的主要来源除弹簧测力计本身的误差外，还出现读数误差，作图误差等．‎ ‎（2）减小误差的方法：‎ ‎①实验过程中读数时眼睛一定要正视弹簧测力计的刻度，要按有效数字和弹簧测力计的精度正确读数和记录．‎ ‎②作图时用刻度尺借助三角板，使表示两力的对边一定要平行．两个分力F1、F2之间夹角θ越大，用平行四边形作图得出的合力F的误差△F也越大，所以实验中不要把θ取得太大，但也不要太小，以60°~100°为宜．做图时选取恰当的标度尽量使图画得大一些．‎ 重点难点例析 ‎1．实验原理的理解 ‎ 把实验中得到的两个分力利用平行四边形定则作图得到的合力，是理论上的合力；用一个力拉时该力的效果与两个力拉的效果相同，是实际的合力．本实验验证的就是按平行四边形定则求得的合力与实际的合力，在误差允许范围内是否一致．‎ ‎【例1】在做“验证力的平行四边形定则”实验时：‎ ‎（1）除已有的器材（方木板、白纸、弹簧秤、细绳套、刻度尺、图钉和铅笔）外，还必须 和 ‎ ．‎ ‎（2）要使每次合力与分力产生相同的效果，必须（ ）‎ A．每次橡皮条拉到相同的位置 B．每次都把橡皮条拉直 A O F2‎ F '‎ F1‎ F 图‎2-5-2‎ C．每次准确读出弹簧测力计的示数 D．每次记准细绳的方向 ‎（3）某同学在某次实验中的 实验结果如图‎2-5-2‎所示，其 中A为固定橡皮条的图钉，O 为橡皮条与细绳结点的位置．‎ 图中 是力F1与F2的 合力的理论值； 是力F1与F2的合力的实验值．通过把 和 进行比较，验证平行四边形定则．‎ ‎【解析】（1）根据实验器材的要求可知，还必须有橡皮条和三角板（用来做平行四边形）．‎ ‎（2）根据实验的原理可知，正确的答案为A．‎ ‎（3）在本实验中，按照平行四边形定则做出的合力为F1和F2的合力的理论值，即图中F，而用一个弹簧测力计拉时测出的力为F1和F2的合力的实验值，即图中F '．‎ ‎【答案】（1）橡皮条 三角板 （2）A （3）F、F '；F '、F．‎ 图‎2-5-3‎ 甲 乙 ‎【点拨】（1）要正确选好实验器材，必须理解实验原理和方法．（2）本实验中要弄清“两个合力”：用一个弹簧测力计也拉到O点时的拉力F '为实验测出的合力，而用平行四边形定则作出的力F1和F2的合力F为理论的合力，其中F '必与沿OA方向，而F不一定沿沿OA方向，通常会偏离沿OA方向．‎ l 拓展 如图‎2-5-3‎所示是两位同学在研究 ‎“共点力的合成”时得到的实验结果，若F '为一个弹簧测力计也拉到O点时的拉力，F为F1和F2的合力．根据实验要求的符号表示各个力，则可判定其中______同学表示的实验结果是尊重实验事实的．在符合实验结果中，若F '是准确的，且F '> F ，则误差较大的原因可能是哪些？‎ ‎【解析】由题意可知，F为F1和F2的合力，通过平行四边形定则得到，而F '为一个弹簧测力计也拉到O点时的拉力，显然F '的方向应在细绳的方向上，因甲同学F '的方向与细绳在同一直线上，故甲同学的实验结果是尊重实验事实的．由题意可知，F '> F，且F 的方向相对F '偏左．由几何知识，F1和F2的大小减小，方向比真实方向偏左将导致图中情况发生．‎ ‎【答案】甲；误差较大的原因可能是：①F1的图示方向比其真实方向偏左，大小比真实值小；②F2的图示方向比其真实方向偏左，大小比真实值小；③作图不规范（如作图时两虚线不分别与F1、F2平行）等．‎ ‎2．实验步骤的分析与判断 ‎ 本实验中需要记录的有：①用两个测力计拉细绳套使橡皮条伸长，绳的结点到达某位置O点时，要记录结点O的位置、两测力计的示数F1、F2和两测力计所示拉力的方向；②用一个测力计重新将结点拉到O点时，弹簧测力计的拉力大小F及方向．‎ ‎【例2】在“验证力的平行四边形定则”的实验中，其中的三个实验步骤如下：‎ ‎（1）在水平放置的木板上垫一张白纸，把橡皮条的一端固定在木板上，另一端拴两根细绳，通过细绳同时用两个测力计互成角度的拉橡皮条，使它与细绳的结点到达某一位置O点，在白纸上记下O点和两测力计的读数F1和F2．‎ ‎（2）在纸上根据F1和F2的大小，选择合适的标度，应用平行四边形定则求出合力F．‎ ‎（3）只用一只测力计通过细绳拉橡皮条，使它的伸长量与两测力计拉时相同，记下此时测力计的读数F'和细绳的方向．‎ 以上三个步骤中均有错误或疏漏，请指出来．‎ ‎（1）中是 ．‎ ‎（2）中是 ．‎ ‎（3）中是 ．‎ ‎【解析】按实验操作要求，记录力的大小和方向，同时在两次拉橡皮条的过程中，节点O要达到相同位置，这样才能保证两次效果相同．‎ ‎【答案】（1）中是未记下细绳套的方向．（2）中是除F1、F2的大小之外，还应根据F1、F2的方向才能准确作图．（3）中是应将橡皮条与细绳套的结点拉至同一位置O点．‎ ‎【点拨】实验问题的处理方法常常是根据实验原理的要求选择器材，安排合理的操作步骤，只要懂实验原理，处理问题就不难了，所以实验前后都必须弄清楚实验原理．‎ l 拓展 在验证“力的平行四边形定则”的实验中，橡皮条的一端固定在木板上，用两个弹簧测力计把橡皮条的另一端拉到某一确定的O点，以下操作中错误的是 （ ）‎ A．同一次实验过程中，O点的位置允许变动 B．实验中，弹簧测力计必须保持与木板平行，读数时视线要正对弹簧测力计刻度 C．实验中，先将其中一个弹簧测力计沿某一方向拉到最大量程，然后只需调节另一弹簧测力计的大小和方向，把橡皮条的另一端拉到O点 D．实验中，把橡皮条的另一端拉到O点时，两个弹簧测力计之间夹角应取90°，以便于算出合力大小 ‎ ‎【解析】由前面的实验原理、注意事项和误差分析可知BD正确，AC错误．注意本实验是在等效情形下，通过弹簧测力计示数获得合力而不是通过平行四边形定则计算，两个弹簧测力计之间夹角不必成90°．‎ ‎【答案】AC 课堂自主训练 ‎1．下列关于“验证力的平行四边形定则”实验的说法中，正确的是（ ）‎ A．拉橡皮条的绳套细一些且长一些，实验效果较好 B．F1和F2的夹角尽量大一些好 C．拉橡皮条时，橡皮条、细绳和弹簧秤应贴近且平行于木板 D．橡皮条弹性要好，拉到结点O时，拉力要适当大一些 ‎【解析】A项可使拉力的方向确定更准确；B项中F1和F2的夹角θ取得太大，其合力误差也越大，因此夹角θ不要太大，也不要太小；C项可使弹簧测力计的示数更准确；D项可减小误差．故本题答案为ACD．‎ ‎【答案】ACD ‎2．“验证力合成的平行四边形定则”的实验原理是等效，其等效性是指（ ）‎ A．使弹簧测力计在两种情况下发生相同的形变 B．使两分力与合力满足平行四边形 C．使两次橡皮条伸长的长度相等 D．使两次橡皮条与两绳套的节点都与O点重合 ‎【解析】“验证力合成的平行四边形定则”的实验中，两次拉伸橡皮条时，伸长长度及伸长的方向均相同，两分力与合力的作用效果才相同，也才有等效替代关系，因此C错误，D正确．实验过程，弹簧测力计的拉力的大小和方向是可以改变的，A错误；合力与分力间必须满足平行四边形定则，不是人为造成的，故B也错误．因此本题的答案为D．‎ ‎【答案】D 课后创新演练 ‎1．在“验证力的平行四边形定则”实验中，假如F1的大小及方向固定不变，那么为了使橡皮条仍伸长到O点，对F2来说，下面几种说法中正确的是（C）‎ A．F2有多个方向　　　‎ B．F2的方向和大小可以有多个值 C．F2的方向和大小有唯一值 ‎ D．F2的方向是唯一的，但大小可以有多个值 ‎【解析】由力的平行四边形定则可知，在合力一定时且其中一个分力也一定时，另一分力也是唯一的．‎ F1‎ F ′‎ F2‎ F 图‎2-5-4‎ ‎2．在“验证力的平行四边形 定则”实验中，某同学根据 实验数据画出了如图‎2-5-4‎ 所示的图，则其中由实验操 作测得的数据有（ ABD ）‎ A．F1　　　B．F‎2　‎‎　 ‎ C．F　 D．F '‎ ‎3．在“验证力的平行四边形定则”实验中，下列说法正确的是（B）‎ A．两分力的夹角越大越好 B．改用一只弹簧测力计拉时，必须将橡皮条节点拉至同一位置O C．橡皮条系的细绳应尽可能短 D．在同一次实验过程中，表示F1、F2 、F的力的图示必须采用同一标度，F '可以采用另一标度 ‎4．在“验证力的平行四边形法则”实验中，如图‎2-5-5‎所示，用A、B两弹簧拉橡皮条结点，使其位于O点处，此时（α+ β） = 900°，然后保持测力计A的读数不变，当α角由图中所示的值逐渐减小时，要使结点仍在O处，可采取的办法是（ ）‎ 图‎2-5-5‎ ‎ A．增大B的读数，同时减小β角 ‎ ‎ B．增大B的读数，同时增大β角 ‎ C．减小B的读数，同时减小β角 ‎ D．减小B的读数，同时增大β角 图‎2-5-6‎ ‎【解析】由题意可知，合力的大小和方向不变而A的拉力的大小不变，做出合力F与FA、FB的矢量三角形如图‎2-5-6‎所示．据题意，FA的方向以及FB改变后，三者仍必须构成一矢量三角形．以O点为圆心，以FA为半径做圆，可以看出，随着α角减小，FB及β角都减小．故选项C正确．‎ ‎【答案】C ‎5．在“验证力的平行四边形法则”实验中，除了必要的实验器材外，只用一个弹簧测力计能否完成本实验？如果能，应如何操作（只要求写出与提供两个弹簧测力计时不相同的部分即可）？‎ ‎【解析】“一个弹簧测力计如何起到两个弹簧测力计的作用”，是本实验创新设计需要突破的一个难点．体现在迁移能力上就是用一个弹簧测力计分次测力来代替两个弹簧测力计同时测力，但仍遵循力的合成的等效型，即每次都是将节点拉到同一位置O，这就是解决本实验创新的核心问题．‎ ‎【答案】只用一个弹簧测力计能完成本实验．与提供两个弹簧测力计时不相同的实验操作如下：（1）把两条细绳的一条细绳与弹簧测力计连接，另一条细绳用手直接抓住，然后同时拉这两条细绳，使节点至O点，记下两条细绳的方向和此时弹簧测力计的示数F1．（2）放回橡皮条后，将弹簧测力计连接到另一细绳上，用手再同时拉这两条细绳，使节点至O点，并使两条细绳拉于记录下来的方向上，记下此时弹簧测力计F2．‎ ‎34‎ O A 甲 乙 图‎2-5-8‎ ‎6．橡皮筋的一端固定在A点，另一端栓上两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为5N、最小刻度为0.1N的弹簧测力计，沿着两个不同的方向拉弹簧测力计．当橡皮筋的活动端拉到O点时，两根细绳相互垂直，如图‎2-5-8‎所示．这时弹簧测力计的读数可从图甲读出．‎ ‎（1）由图‎1-5-8‎可读得两个相互垂直的拉力的大小分别为 N和 N．（只须读到0.1N）‎ ‎012345‎ ‎（N）‎ ‎（N）‎ ‎1234‎ 图‎2-5-9‎ ‎（2）在右图的方格纸中按作图法的要求画出这两个力及它们的合力．‎ ‎【解析】（1）读弹簧测力计示数时，应注意首先清楚测力计的最小分度（本题中最小分度为0.1N），其次要找零刻度线，尤其是本题中竖直放置的那个弹簧测力计的倒置，它的读数为2.5N（而不是3.5N），水平方向的弹簧测力计的读数为4.0N．如果本题中没有“只须读到0.1N”的说明，则精确到0.1N的测力计，要估读到0.01N，那么本题的读数分别为2.50N，4.00N．‎ ‎（2）如图‎2-5-9‎所示．‎ ‎【答案】（1）2.5 4.0 （2）如图‎2-5-9‎所示 第6课时 单元综合提升 本章知识网络 ‎ 力是物体与物体之间的相互作用 力的概念 力的物质性、矢量性、物质性 ‎ 力的三要素、力的图示及示意图 ‎ 力的效果：①使物体发生形变 ②使物体的运动状态发生变化（即速度变化，有加速度）‎ ‎ 力的分类 按性质分：重力、弹力、摩擦力、分子力、电场力、磁场力等 ‎ ‎ 按效果分：压力、支持力、动力、阻力、向心力、回复力等 大小：G = mg 相互作用 重力 方向：竖直向下 常见的三种力 ‎ 作用点：在重心（物体的重心与质量的分布、物体的形状有关．均匀物体的重心在几何中心，物体的重心不一定在物体上．‎ ‎ 产生：①直接接触 ②接触处物体发生弹性形变 ‎ 弹力 方向：与形变的方向相反 ‎ 大小：与形变有关，形变越大、弹力越大．对弹簧 F = kx（胡克定律）‎ ‎ 产生：①接触且挤压；②接触面粗糙；③动摩擦力：有相对运动；静摩擦力：相对运动趋势．‎ ‎ 摩擦力 方向：①动摩擦力：与相对运动方向相反；②静摩擦力：相对运动趋势方向相反 大小：动摩擦力 Ff = μFN ； 静摩擦力0 ≤ Ff ≤ Ffmax ‎ 合成：合力范围| F1 - F2|≤ F ≤F1 + F2 ；F1、F2大小不变时，夹角越大，合力越小 力的合成与分解 分解：按效果分解、正交分解 ‎ 基本规律：力的平行四边形定则（三角形法则）‎ 物体的平衡 平衡状态：静止、匀速直线运动（a=0）‎ ‎ 共点力平衡条件：合外力为零 ΣF = 0 （Fx=0，Fy=0）‎ 本章主要方法 力是整个高中阶段最基本的概念，是一切物理问题的基础，它贯穿于整个物理学中．本章以平衡思想为主体，运用等效的思想观点而建构知识体系，因此考生应当从思想方法与思维能力角度来进行复习． ‎ 本章涉及的主要方法有：‎ ‎1．力的合成与分解法，如第3课时的例1~3．‎ ‎2．力的三角形法，如第3课时的例4，此法只适用于三力平衡情形．‎ ‎3．正交分解法，是解决力学问题最常见的方法，如高考试题赏析中的例5，第3课时的例3等．‎ ‎4．整体法和隔离法 ‎ 对于连接体的平衡问题，在不涉及物体间相互作用的内力时，应首先考虑整体法，其次再考虑隔离法．‎ 有时一道题目的求解要整体法、隔离法交叉运用．如高考试题赏析中的例1、2，高考试题选编的1、5、6、8题等．‎ 图‎2-6-1‎ ‎5．相似三角形法 ‎【例题1】绳子一端拴着一小球，另一端绕在钉子上，小球放在一光滑的大半球上静止，如图‎2-6-1‎所示．由于某种原因，小球缓慢地沿球面向下移动，在此过程中，球面的支持力和绳子的拉力如何变化？‎ ‎【解析】本题中小球缓慢移动能看成平衡状态．如图‎2-6-1‎所示，小球受到3个共点力G、FN、T作用而处于平衡状态，由G、FN、FT三力组成的力矢量三角形与三角形OAB相似．设球重为G，大半球半径为R，钉子到球面最高点之距为h，此时绳子长为L，则有 所以 其中G、R、h均不变，当L增加时，FN不变，FT增大，所以本题结论为支持力不变，拉力增大．‎ ‎【答案】支持力不变，拉力增大．‎ F1‎ F2‎ F3‎ 图‎2-6-2‎ ‎【点拨】此方法常用于三力情形，当题中只给出长度而无角度时，常用此方法求解．‎ ‎6．拉密定理法 O 图‎2-6-3‎ 三个共点力平衡时，每一个力与其所对角的正弦成正比．如图‎2-6-2‎所示，有（证明略）‎ ‎【例2】如图‎2-6-3‎所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平面的夹角为α=60°．两小球的质量比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 图‎2-6-4‎ ‎【解析】选m1小球为研究对象，分析受力如图‎2-6-4‎所示，它受重力G、碗的支持力FN、线的拉力T（大小等于m‎2g）3个共点力作用而平衡．应用拉密定理，有 ，所以．故选项A正确．‎ ‎【答案】A ‎【点拨】拉密定理也只适用于三力情形，关键要找出力与力之间的夹角．如果将各力平移到一个三角形中，还可以用正弦定理计算．此外，本题还可以用力的合成与分解、正交分解来计算，请同学们自己去做一做．‎ ‎7．图解法，常用于三力动态平衡，一般是缓慢问题，如第4课时的例3，常常要作出物体所受力的矢量三角形，找到不变量和变量，注意方向变化．‎ 高考试题赏析 F Q P 图‎2-6-5‎ ‎【例题3】2006全国Ⅱ，15如图‎2-6-5‎所示，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的．已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都μ，两物块的质量都是m，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计，若用一水平向右的力F拉P使它做匀速运动，则F的大小为（ ）‎ A．4μmg　　　　 B．3μmg C．2μmg　　　　 D．μmg ‎【考点】摩擦力、受力分析、整体法和隔离法、物体的平衡的条件等．‎ ‎【解析】 以Q为研究对象，Q在水平方向受绳的拉力T1和P对Q的摩擦力F1作用，由平衡条件可知T1＝F1＝μmg；以P为研究对象，P在水平方向受到水平拉力F，绳的拉力T2，Q对P的摩擦力F1'和地面对P的摩擦力F2，由平衡条件可知：F＝T2＋F1'＋F2，F2＝μFN＝2μmg，由牛顿第三定律知F1'＝F1，对绳T2=μmg，代入得：F＝4μmg．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【点拨】‎ 相互叠加的几个物体（接触面不光滑）放在水平面上相对运动或有相对运动趋势时，即有多对摩擦力存在．对每一个物体，每一个接触面上摩擦力大小，尤其摩擦力方向，要非常清晰，否则，把各物受的摩擦力混为一谈，常易出错．本题涉及了对平衡问题的处理，在涉及两个或两个以上研究对象时，往往考虑用整体和隔离法，重点在于物体的受力分析．‎ F1‎ F2‎ F3‎ F4‎ O B A 图‎2-6-6‎ ‎【例题4】2007上海，10‎ 如图‎2-6-6‎所示，用两根细线把A、B两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，然后用某个力F作用在小球A上，使三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态．则该力可能为图中的（ ）‎ A．F1 B．F2 ‎ C．F3 D．F4‎ ‎【考点】受力分析、隔离法、共点力的平衡等．‎ ‎【解析】因OB线处于竖直状态，对小球B受力分析，可知道小球AB间的细线没有弹力，故小球A受到重力、OA细线的拉力及力F三个力的作用处于平衡状态，由共点力的平衡条件推论可知，力F的方向位于重力和OA拉力的合力反方向，因此力F可能位于图中的F2或F3或竖直向上（此时F等于重力，OA线拉力为零）．故正确的选项为B、C．‎ ‎【答案】BC ‎【点拨】本题关键是通过OB线处于竖直状态确定B的受力，从而确定A的受力，然后利用共点力平衡的推论（当物体平衡时，它所受的某一个力与它所受的其余力的合力等值反向）确定F的可能方向．‎ m F2‎ F1‎ θ 图‎2-6-7‎ m F2‎ F1‎ θ 图‎1-6-3‎ ‎【例题5】2007广东，5‎ 如图‎2-6-7‎所示，在倾角 为θ的固定光滑斜面上，‎ 质量为m的物体受外力 F1和F2的作用，F1方向 水平向右，F2方向竖直向上．若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是（ ）‎ A．F1sinθ＋F2cosθ＝mg sinθ，F2≤mg B．F1cosθ＋F2sinθ＝mg sinθ，F2≤mg C．F1sinθ－F2cosθ＝mg sinθ，F2≤mg D．F1cosθ－F2sinθ＝mg sinθ，F2≤mg m F2‎ F1‎ θ 图‎2-6-8‎ mg FN x y θ θ ‎【考点】力的平衡、受力分析、正交分解法 ‎【解析】物体的受力分析樊守青如图‎2-6-8‎所示，沿斜面建立x轴，物体在沿斜面方向平衡，有方程 F1cosθ+F2sinθ=mgsinθ即F1cotθ+F2=mg，故F2≤mg 综上所述，选项B正确 ‎【答案】B ‎ ‎【点拨】樊守青当物体受多个力平衡时，要用正交分解处理，正确的受力分析是前提．本题中F2≤mg四个选项全部一样，若将此题各选项中的F2≤mg改变一下，此题就有点难度了．‎ 高考试题选编 ‎1．2008山东，16用轻弹簧竖直悬挂的质量为m物体，静止时弹簧伸长量为L．现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为‎2m的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L．斜面倾角为30°，如图‎2-6-9‎所示．则物体所受摩擦力（ A）‎ ‎2m ‎30°‎ 图‎2-6-9‎ A．等于零 B．大小为，方向沿斜面向下 C．大小为，方向沿斜面向上 D．大小为mg，方向沿斜面向上 ‎ ‎【解析】竖直挂时mg=kL，当质量为‎2m放到斜面上时，摩擦力向上f 沿斜面向上，2mgsin30°=f+ kL．解这两个方程可得f=0，故A正确．‎ m F M θ 图‎2-6-10‎ ‎2．2008海南，2如图‎2-6-10‎，质量为M的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ．斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦．用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为（ D ）‎ A．（M＋m）g ‎ B．（M＋m）g－F C．（M＋m）g＋Fsinθ ‎ D．（M＋m）g－Fsinθ ‎【解析】m匀速上滑，M静止，因此可将m、M作为系统，用整体法来解．竖直方向由平衡条件有Fsinθ＋FN=mg＋Mg，则FN= mg＋Mg－Fsinθ，即D正确．‎ 图‎2-6-10‎ ‎3．2008江苏，3一质量为M 的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力F始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为g．现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球吊篮中减少的质量为（ A ）‎ A． B． ‎ C． D．0‎ v 图‎2-6-11‎ ‎【解析】设减少的质量为△m，匀速下降时Mg=F＋kv，匀速上升时Mg－△mg＋kv = F，解得△mg = 2(M－)，A正确． ‎ ‎4．2008广东理科基础，2人站在自动扶梯的水平踏板上，随扶梯斜向上匀速运动，如图‎2-6-11‎所示．以下说法正确的是（ A ）‎ A．人受到重力和支持力的作用 B．人受到重力、支持力和摩擦力的作用 C．人受到的合外力不为零 D．人受到的合外力方向与速度方向相同 A B O m θ 图‎2-6-12‎ ‎5．2008广东理科基础，6如图‎2-6-12‎所示，质量为m的物体悬挂在轻质的支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ．设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2．以下结果正确的是（D ）‎ A B O m θ 图‎2-6-13‎ F2‎ F1‎ A．　　　‎ B．‎ C．　　　　　　‎ D．‎ ‎【解析】以O点为研究对象，受力如图‎2-6-13‎所示．‎ 由受力图可得 ‎，故选项D正确．‎ A B α 图‎2-6-14‎ ‎6．2008全国Ⅱ，16如图‎2-6-14‎，一固定斜面上两个质量相同的小物块A和B紧挨着匀速下滑，A与B的接触面光滑．已知A与斜面之间的动摩擦因数是B与斜面之间动摩擦因数的2倍，斜面倾角为α．B与斜面之间的动摩擦因数是（A ）‎ A．tanα B．cotα C．tanα D．cotα ‎【解析】A、B两物体受到斜面的支持力均为mgcosα，所受滑动摩擦力分别为：fA = μAmgcosα，fB = μBmgcosα，对整体受力分析结合平衡条件可得2mgsinα=μAmgcosα＋μBmgcosα，且μA = 2μB，解之得μB = tanα，A项正确．‎ A B F 图‎2-6-15‎ ‎7．2008天津，19在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于平衡状态．现对B加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的作用力为F3．若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图‎2-6-15‎所示，在此过程中（C）‎ A．F1保持不变，F3缓慢增大 ‎ B．F1缓慢增大，F3保持不变 C．F2缓慢增大，F3缓慢增大 ‎ D．F2缓慢增大，F3保持不变 A B F 图‎2-6-16‎ α F1‎ F’2‎ F mg ‎【解析】对B受力分析，如图‎2-6-16‎所示．设AB圆心连线与竖直方向夹角为α，且不变．由于AB始终静止，故F2sinα=F1，F2cosα=F+mg，由此可知，当F增大时，F2增大，F1也增大．‎ ‎ 将AB看成整体，设地面对A的支持力为FN ，对A的摩擦力为Ff ，则F3就是FN 与Ff的合力．由整体的平衡得mAg+mBg+F= FN和Ff=F1．由此可知，当F增大时，FN增大，所以FN 与Ff的合力增大，即F3增大，选项C正确．‎ A B F 图‎2-6-17‎ ‎8．2007山东，16如图‎2-6-17‎所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止．物体A的受力个数为（B）‎ A．2个 B．3个 ‎ C．4个 D．5个 ‎【解析】先根据整体法分析物体A不会受到墙面的支持力，从而得知它也不会受到墙面的摩擦力，这样A、B之间就一定存在支持力和摩擦力，而且这两个力的合力沿竖直方向，所以物体A的受力个数为3个．‎ P m 图‎2-6-18‎ ‎9．2007海南，2‎ 如图‎2-6-18‎，P是位于水平的粗糙桌面上的物块．用跨过定滑轮的轻绳将P与小盘相连，小盘内有硅码，小盘与硅码的总质量为m．在P运动的过程中，若不计空气阻力，则关于P在水平面方向受到的作用力与相应的施力物体，下列说法正确的是（B）‎ A．拉力和摩擦力，施力物体是地球和桌面 B．拉力和摩擦力，施力物体是绳和桌面 C．重力mg和摩擦力，施力物体是地球和桌面 D．重力mg和摩擦力，施力物体是绳和桌面 ‎10．2006北京，19木块A、B分别重50 N和60 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25．夹在A、B之间轻弹簧被压缩了‎2cm，弹簧的劲度系数为400N/m，系统置于水平地面上静止不动．现用F=1 NA B F 图‎2-6-19‎ 的水平拉力作用在木块B上．如图‎2-6-19‎所示，力F作用后（C）‎ A．木块A所受摩擦力大小是12.5 N B．木块A所受摩擦力大小是11.5 N C．木块B所受摩擦力大小是9 N D．木块B所受摩擦力大小是7 N ‎【解析】未加F时，木块A在水平面内受弹簧的弹力F1及静摩擦力FA作用，且F1＝FA＝kx＝8N，木块B在水平面内受弹簧弹力F2和静摩擦力FB作用，且F2＝FB＝kx＝8N，在木块上施加F＝1N向右拉力后，由于F2＋F＜μGB=15N，故木块B 静止不动，所受摩擦力仍为静摩擦力，所以B受到向左的静摩擦力的大小FB' ＝F2＋F ＝9N，木块A受的静摩擦力水平向左，大小仍为8N不变，所以C选项正确．‎ ‎11．2005天津高考，15如图‎2-6-20‎所示，表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮，两物块P、Q用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦），P悬于空中，Q放在斜面上，均处于静止状态。当用水平向左的恒力推Q时，P、Q仍静止不动，则 （D） ‎ P Q 图‎2-6-20‎ A．Q受到的摩擦力一定变小　　　‎ B．Q受到的摩擦力一定变大 C．轻绳上拉力一定变小　　　　 ‎ D．轻绳上拉力一定不变 ‎【解析】以Q为研究对象，由于Q与斜面体仍保持相对静止，其与斜面体间的静摩擦力是由物体Q受到的其它力在斜面上的分力大小决定的，也与Q的运动趋势情况紧密相关．若施加水平力F前，Q有沿斜面向下的运动趋势，即静摩擦力沿斜面向上，则施加水平力F后，其受的静摩擦力大小不能确定；若施加水平力F前，Q有沿斜面向上的运动趋势，即静摩擦力沿斜面向下，则施加水平力F后，其受的静摩擦力将增大，所以选项A、B不对．P与Q通过轻绳跨过光滑滑轮相连，因P、Q均静止，所以轻绳上受的拉力始终等于P的重力，所以选项D正确，选项C错误．故本题正确答案为D．‎ 水平牵引力 水面 滑板 θ 图‎2-6-21‎ ‎12．2008重庆，23滑板运动是一项非常刺激的水上运动，研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力FN垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率（水可视为静止）．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时（如图‎2-6-21‎），滑板做匀速直线运动，相应的k＝‎54 kg/m，人和滑板的总质量为‎108 kg，试求（重力加速度g取‎10 m/s2，sin 37°取，忽略空气阻力）：‎ ‎（1）水平牵引力的大小；‎ ‎（2）滑板的速率；‎ mg F FN θ 图‎2-6-22‎ ‎【解析】（1）以滑板和运动员为研究 对象，其受力如图‎2-6-22‎所示．‎ 由共点力平衡条件可得 FNcosθ＝mg ①‎ FNsinθ＝F ②‎ 由①②解得F ＝810 N ‎（2）由①得 而FN＝kv2 ‎ 解得：‎ ‎【答案】（1）810 N （2）‎5m/s