备战2020年高考数学一轮复习 第十五单元 点、线、面的位置关系单元B卷 理 7页

第十五单元 点、线、面的位置关系 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在四面体中，，，两两垂直，是面内一点，到三个面，的距离分别是2，3，6，则到的距离是（ ）‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎2．平面平面的一个充分条件是（ ）‎ A．存在一条直线，，‎ B．存在一条直线，，‎ C．存在两条平行直线，，，，，‎ D．存在两条异面直线，，，，，‎ ‎3．“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 ‎4．下列命题中错误的是（ ）‎ A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C．如果平面平面，平面平面，，那么平面 D．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎5．已知，，为互不重合的平面，命题：若，，则；命题：若上不共线的三点到平面的距离相等，则．则下列命题正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 ‎ C．若，，则 D．若，，则 ‎ ‎7．右图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中有以下结论：‎ ‎①；‎ ‎②与是异面直线；‎ ‎③与成角；‎ ‎④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号的是（ ） ‎ A．①② B．②③ C．①④ D．③④‎ ‎8．如图所示，在正方形中，，分别是、的中点，沿、及把、和折起，使、、三点重合，设重合后的点为，则四面体中必有（ ）‎ A．平面 B．平面 ‎ C．平面 D．平面 ‎9．设，为两个不重合的平面，，，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，则 ②若，，，，则 ‎③若，，则 ④若，，且，，则 其中真命题的序号是（ ）‎ ‎ A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②④‎ ‎10．如图，正方体的棱长为1，，分别为线段，上的点，‎ 则三棱锥的体积为（ ）‎ 3‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，正方体的棱长为1，线段有两个动点，，且，‎ 则下列结论中错误的是（ ）‎ A． B．平面 ‎ C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线，所成的角为定值 ‎12．如图所示，在正方体的侧面内有一动点到直线、的距离相等，则动点所在曲线的形状为（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）‎ ‎13．已知平面平面，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为________．‎ ‎14．如图，在正四棱柱中，、、、、分别是棱、、、、的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件_____时，有平面．‎ ‎15．如图是一体积为的正四面体，连结两个面的重心、，则线段的长为_____． ‎ ‎16．已知正三棱柱的棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是 ．‎ 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，为中点．‎ ‎（1）求证：直线平面，‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ 3‎ ‎18．（12分）如图，四边形为矩形，平面，为上的点，‎ 且平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设点为线段的中点，点为线段的中点，求证：平面．‎ ‎19．（12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，为的中点；‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）在棱上是否存在点，使三棱锥的体积为？并说明理由．‎ 3‎ ‎21．（12分）已知是边长为，的菱形，点为所在平面外一点，‎ 为正三角形，其所在平面垂直于平面．‎ ‎（1）若为边的中点，求证:平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若为的中点，能否在上，找到一点使平面平面．‎ ‎22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为．，分别是，的中点，是上的一动点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）当时，证明平面．‎ 3‎ 单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）‎ 第十五单元 点、线、面的位置关系 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】由题目的条件可知，到的距离即为以2、3、6为长、宽、高的长方体的对角线，‎ ‎∴到的距离是，故选A．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】对于A，B，C选项均有可能出现平面与平面相交的情况，故选D．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】“直线与平面内无数条直线都垂直”不能推出“直线与平面垂直”；‎ 反之，能推出．故条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的必要非充分条件，选C．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】平面与平面垂直时，平面内所有与交线不垂直的直线都与平面不垂直，‎ 故D错误，答案为D．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】易知、均为假命题，从而、均为真命题，所以为真命题，故选D．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】对于A、B、D均可能出现，根据面面平行的性质可知选项C是正确的．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】‎ 展开图可以折成如图所示的正方体，由此可知①②不正确；③④正确．故选D．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】折叠前，，，，折叠后这些垂直关系都未发生变化，因此，平面，故选A．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】②是假命题，∵，不一定相交，∴，不一定平行；④是假命题，‎ ‎∵，不一定相交，∴与不一定垂直，故选C．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】，又，点到面的距离为1，‎ ‎∴．故选C．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】∵平面，平面，∴，A正确；‎ 易知平面，B正确；‎ 设点到平面的距离为，，，‎ ‎∴．所以三棱锥的体积为定值．C正确；故结论中错误的是D．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】如图，‎ 在平面内过点作垂直于于，连接，∵垂直于侧面，∴，‎ 由题意，故点在以的中点为顶点，以为焦点的抛物线上，‎ 并且该抛物线过点，故选C．‎ 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）‎ ‎13．【答案】4或20‎ ‎【解析】若在平面，的同侧，由于平面平面，故，则，‎ 可求得；若在平面，之间，同理可求得．‎ ‎14．【答案】线段 ‎【解析】∵，，∴平面平面，又平面平面，故线段上任意点与相连，有平面，故填线段．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】设正四面体的棱长为，则正四面体的高为，‎ 体积，∴，∴，∴．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】‎ 取的中点，连结，则平面，∴．‎ ‎∵正三棱柱的棱长都相等，∴是正方形．连结则易证，‎ ‎∴平面，∴，异面直线和所成的角的大小是．‎ 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）连结交于，连结，‎ 在中，为中点，为中点，‎ 所以，又平面，∴直线平面．‎ ‎（2）∵底面，∴．‎ 又，∴平面 又平面，∴平面平面．‎ ‎18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴，‎ 又平面，平面，∴．‎ 又，∴平面，‎ 又平面，∴．‎ ‎（2）取的中点，连结，，∵点为线段的中点，∴，且，‎ 又四边形是矩形，点为线段的中点，∴，且，‎ ‎∴，且，∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，而平面，平面，∴平面．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴．‎ 又∵四边形为菱形，∴．∵，‎ ‎∴平面，∵平面，∴平面平面．‎ ‎（2）∵平面，∴，，‎ ‎∵，∴，∴．‎ 在中，，‎ 又∵，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 由，解得．‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 所以该三棱锥的侧面积为．‎ ‎20．【答案】（1）见解析；（2）存在且是线段的靠近点的一个三等分点，见解析．‎ ‎【解析】（1）连接交于点，连接，‎ 在中，、分别为，的中点，∴；‎ ‎∵平面，平面，∴平面；‎ ‎（2）∵侧棱⊥底面，∴，‎ 设为上一点，过作于，则，‎ ‎∴平面．若，‎ 则，∴在棱上存在点使三棱锥的体积为．‎ 且是线段的靠近点的一个三等分点．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．‎ ‎【解析】（1）连结，则在正三角形中，，‎ 又平面平面于，所以平面．‎ ‎（2）连结，在正三角形中，，又，∴平面．‎ ‎∵平面，∴．‎ ‎（3）能在上，找到一点使平面平面，且为中点．‎ 证明如下：连结，交于点，易知为的中点，‎ 在平面内，作，交于点，则为中点，平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为．，分别是，的中点，是上的一动点．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）由三视图可知，多面体是直三棱柱，‎ 且底面是直角边为的等腰直角三角形，‎ ‎∴侧面，是边长为的正方形．‎ 连结，因为，，所以平面，‎ ‎∴，又∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴．‎ ‎（2）∵平面，∴．‎ ‎（3）连结交于，连结，‎ ‎∵，分别是，的中点，∴，且，‎ ‎∵是的中点，∴，且，‎ ‎∴，∴是平行四边形，∴，‎ ‎∵平面．平面，∴平面．‎