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- 2021-05-13 发布
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哈尔滨工程大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习:推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如果有穷数列(为正整数)满足,即,我们称其为“对称数列”。例如:数列,,,,与数列,,,,,都是“对称数列”.设是项数为的“对称数列”,并使得,,,,…,依次为该数列中连续的前项,则数列的前项和可以是:⑴;⑵;(3),其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
2.下面叙述正确的是( )
A.综合法、分析法是直接证明的方法
B.综合法是直接证法、分析法是间接证法
C.综合法、分析法所用语气都是肯定的
D.综合法、分析法所用语气都是假定的
【答案】A
3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集)
①“若a,bR,则”类比推出“a,bC,则”
②“若a,b,c,dR,则复数”类比推出“若,则”;③若“a,bR,则”类比推出 “a,bC,则”,其中类比结论正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
4.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )
A.三角形 B.梯形[来源:Z#xx#k.Com]
C.平行四边形 D.矩形
【答案】C
5.已知函数,对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中,正确的判断是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】B
6.下列命题中,真命题是( )
A. B.
C.的充要条件是 D.是的充分条件
【答案】D
7.已知函数有三个不同的根,且三个根从小到大依次成等比数列,则的值可能是( )
A. B. C. D. -
【答案】C
8.下列推理是归纳推理的是( )
A.为两个定点,动点满足,,则动点的轨迹是以为焦点的双曲线;
B.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇;
C.由圆的面积,猜想出椭圆的面积;
D.由,求出猜想出数列的前项和的表达式。
【答案】D
9.已知f(x)=,在[0,2]上任取三个数a、b、c,均存在以f(a)、f(b)、f(c)为边的三角形,则m的范围为( )
A.m>2 B.m>4 C.m>6 D.m>8
【答案】C
10.已知 ,,则分别为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
11.已知直角三角形的三边、、成等差且均为整数,公差为,则下列命题不正确的是( )
A.为整数 B.为的倍
C.外接圆的半径为整数 D.内切圆半径为整数
【答案】C
12.已知数列的前项和(是不为0的实数),那么( )
A. 一定是等差数列
B. 一定是等比数列[来源:学科网ZXXK]
C. 或者是等差数列,或者是等比数列
D. 既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.设函数f(x)=(x>0),观察:
f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
……
根据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N+且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=____________.
【答案】[来源:学.科.网]
14.数列满足,,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求=____________
【答案】
15.观察下列各数对
则第60个数对是 。
【答案】(5,7)
16.观察不等式:,, ,由此猜测第个不等式为 .
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知抛物线的准线方程为,C1与直线在第一象相交于点,过作C1的切线,过作的垂线交轴正半轴于点,过作的平行线交抛物线于第一象限内的点,过作C1的切线,过作的垂线,交轴正半轴于点
,…,依此类推,在轴上形成一点列A1,A2,A3,…An,设An的坐标为
(1)求抛物线的方程; (2)试探求关于的递推关系;
(3)证明:
【答案】(Ⅰ)由题意知
为所求抛物线的方程
(Ⅱ)由题意知直线与抛物线联立得
切线的斜率为=
直线的斜率为
直线的方程为
令,
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
易知,直线的斜率为; 直线,令
18.已知,且,求证:与中至少有一个小于2.
【答案】假设与都大于或等于2,即,
,故可化为,
两式相加,得x+y≤2,
与已知矛盾.所以假设不成立,即原命题成立.
19.设 f(x)=x2+a. 记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=1,2,3,…,
M={a∈R|对所有正整数n,≤2}.证明,M=[-2,].
【答案】⑴ 如果a<-2,则=|a|>2,aM.
⑵ 如果-2≤a≤,由题意,f1(0)=a,fn(0)=(fn-1(0))2+a,n=2,3,…….则
① 当0≤a≤时,≤,("n≥1).
事实上,当n=1时,=|a|≤,设n=k-1时成立(k≥2为某整数),
则对n=k,≤+a≤()2+=.
② 当-2≤a<0时,≤|a|,("n≥1).
事实上,当n=1时,≤|a|,设n=k-1时成立(k≥2为某整数),则对n=k,有
-|a|=a≤+a≤a2+a
注意到当-2≤a<0时,总有a2≤-2a,即a2+a≤-a=|a|.从而有≤|a|.由归纳法,推出[-2,]ÍM.
⑶ 当a>时,记an=fn(0),
则对于任意n≥1,an>a>且an+1=fn+1(0)=f(fn(0))=f(an)=a+a.
对于任意n≥1,an+1-an=a-an+a=(an-)2+a-≥a-.则an+1-an≥a-.
所以,an+1-a=an+1-a1≥n(a-).当n>时,an+1>n(a-)+a>2-a+a=2,
即fn+1(0)>2.因此aM.综合⑴,⑵,⑶,我们有M=[-2,]
20.观察等式,,请写出与以上等式规律相同的一个一般化的正确等式,并给予证明.
【答案】一般化的正确等式为.
证明:
分[来源:Zxxk.Com]
21.汉诺塔问题是根据一个传说形成的一个问题:有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的穿孔圆盘,按下列规则,把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上.
①每次只能移动1个碟片;②大盘不能叠在小盘上面.
如图所示,将A杆上所有碟片移到C杆上,B杆可以作为过渡杆使用,称将碟片从一个杆子移动到另一个标子为移动一次,记将A杆子上的n个碟片移动到C杆上最少需要移动an次.
(Ⅰ)写出a1,a2,a3,a4的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设,求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)推测数列的通项公式为
下面用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,从A杆移到C杆上只有一种方法,即a1=1,这时成立;
②假设当时,成立.
则当n=k+1时,将A杆上的k+1个碟片看做由k个碟片和最底层1张碟片组成的,由假设可知,将A杆上的k个碟片移到B杆上有种方法,再将最底层1张碟片移到C杆上有1种移法,最后将B杆上的k个碟片移到C杆上(此时底层有一张最大的碟片)又有种移动方法,故从A杆上的k+1个碟片移到C杆上共有种移动方法.
所以当n=k+1时, 成立.
由①②可知数列{an}的通项公式是.
(也可由递推式构造等比数列求解)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,,所以
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
22.(1)求证:;
(2)已知函数f(x)= +,用反证法证明方程没有负数根.
【答案】(1)要证 只需证
只需证 即证
只需证 只需证 即证
上式显然成立,命题得证。
(2)设存在x0<0(x0≠-1),使f(x0)=0,则e= —
由于0<e<1得0<—<1,解得<x0<2,与已知x0<0矛盾,因此方程f(x)=0没有负数根。