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- 2021-05-13 发布
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2008年高考数学广东卷(理科)
参考公式:如果事件互斥,那么.
已知是正整数,则 .
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知,复数的实部为,虚部为1,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.记等差数列的前项和为,若,,则( )
A.16 B.24 C.36 D.48
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
3.某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表1.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( C )
A.24 B.18 C.16 D.12 表1
4.若变量满足则的最大值是( )
A.90 B.80 C.70 D.40
5.将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A.
B
E
B.
B
E
C.
B
E
D.
6.已知命题所有有理数都是实数,命题
正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
7.设,若函数,有大于零的极值点,则( B )
A. B. C. D.
8.在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则( B )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
开始
n整除a?
是
输入
结束
输出
图3
否
(一)必做题(9~12题)
9.阅读图3的程序框图,若输入,,则输出
, .
(注:框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”)
10.已知(是正整数)的展开式中,的系数小于
120,则 .
11.经过圆的圆心,且与直线垂直
的直线方程是 .
12.已知函数,,则的
最小正周期是 .
二、选做题(13—15题,考生只能从中选做两题)
13.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程分别为,,则曲线与交点的极坐标为 .
14.(不等式选讲选做题)已知,若关于的方程有实根,则
的取值范围是 .
15.(几何证明选讲选做题)已知是圆的切线,切点为,.是圆的直径,与圆交于点,,则圆的半径 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分)
已知函数,的最大值是1,其图像经过点.
(1)求的解析式;
(2)已知,且,,求的值.
17.(本小题满分13分)
随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为.
(1)求的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为,一等品率提高为.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
18.(本小题满分14分)
A
y
x
O
B
G
F
F1
图4
设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图4所示,过点作
轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
19.(本小题满分14分)
设,函数,,,试讨论函数的单调性.
20.(本小题满分14分)
F
C
P
G
E
A
B
图5
D
如图5所示,四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形,其中是圆的直径,,,垂直底面,,分别是上的点,且,过点作的平行线交于.
(1)求与平面所成角的正弦值;
(2)证明:是直角三角形;
(3)当时,求的面积.
21.(本小题满分12分)
设为实数,是方程的两个实根,数列满足,,(…).
(1)证明:,;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,,求的前项和.
参考答案
一、选择题:C D C C A D B B
1.C【解析】,而,即,
2.D【解析】,,故
3.C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人,那么三年级的学生的人数应该是,即总体中各个年级的人数比例为,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
4.C 5.A
6.D【解析】不难判断命题为真命题,命题为假命题,从而上述叙述中只有 为真命题
7.B【解析】,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,由我们马上就能得到参数的范围为。
8.B
二、填空题:
9.【解析】要结束程序的运算,就必须通过整除的条件运算,而同时也整除,那么的最小值应为和的最小公倍数12,即此时有。
10.【解析】按二项式定理展开的通项为,我们知道的系数为,即,也即,而是正整数,故只能取1。
11.【解析】易知点C为,而直线与垂直,我们设待求的直线的方程为,将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为,故待求的直线的方程为。
12.【解析】,故函数的最小正周期。
二、选做题(13—15题,考生只能从中选做两题)
13.【解析】由解得,即两曲线的交点为。
14.
15.【解析】依题意,我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.解:(1)依题意有,则,将点代入得,而,,,故;
(2)依题意有,而,
,
。
17.解:(1)的所有可能取值有6,2,1,-2;,
,
故的分布列为:
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)
(3)设技术革新后的三等品率为,则此时1件产品的平均利润为
依题意,,即,解得
A
y
x
O
B
G
F
F1
图4
所以三等品率最多为
18.解:(1)由得,
当得,G点的坐标为,
, ,
过点G的切线方程为即,
令得,点的坐标为,
由椭圆方程得点的坐标为,即,
即椭圆和抛物线的方程分别为和;
(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,
以为直角的只有一个,同理以为直角的只有一个。
若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和,
。
关于的二次方程有一大于零的解,有两解,即以为直角的有两个,
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
19.解: ,
对于,
当时,函数在上是增函数;
当时,函数在上是减函数,在上是增函数;
对于,
当时,函数在上是减函数;
当时,函数在上是减函数,在上是增函数。
F
C
P
G
E
A
B
图5
D
20.解:(1)在中,
,
而PD垂直底面ABCD,
,
在中,,即为以为直角的直角三角形。
设点到面的距离为,
由有,
即 ,
;
(2),而,
即,,,是直角三角形;
(3)时,,
即,
的面积
21.解:(1)由求根公式,不妨设,得
,
(2)设,则,由
得,,消去,得,是方程的根,
由题意可知,
①当时,此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列,
由等比数列性质可得,,
两式相减,得
,,
,
,即,
②当时,即方程有重根,,
即,得,不妨设,由①可知
,,
即,等式两边同时除以,得,即
数列是以1为公差的等差数列,
综上所述,
(3)把,代入,得,解得