高考数学排列组合与概率 17页

专题三： 排列、组合及二项式定理 一、排列、组合与二项式定理 ‎【基础知识】‎ ‎1.分类计数原理（加法原理）.‎ ‎2.分步计数原理（乘法原理）.‎ ‎3.排列数公式 ==.(n，m∈N*，且m≤n)．‎ ‎4.组合数公式 ===(n，m∈N*，且m≤n).‎ ‎5.组合数的两个性质：‎ ‎(1) = ;‎ ‎(2) +=‎ ‎（3）.‎ ‎6.排列数与组合数的关系是： .‎ ‎7.二项式定理： ;‎ 二项展开式的通项公式：.‎ ‎【题例分析】‎ 例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×‎100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？‎ 解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有2（－）种；（3）甲、乙二人均参加，有（－2＋）种，故共有252种．‎ 点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．‎ 例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：‎ ‎(1)有女生但人数必须少于男生．‎ ‎(2)某女生一定要担任语文科代表．‎ ‎(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．‎ ‎(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．‎ 解：(1)先取后排,有种,后排有种,共有＝5400种．‎ ‎(2)除去该女生后先取后排：种．‎ ‎(3)先取后排,但先安排该男生：种．‎ ‎(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种,再安排该男生有种,其余3人全排有种,共=360种．‎ 例3、、有6本不同的书 ‎（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？‎ ‎（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？‎ ‎（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？‎ ‎（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？‎ ‎（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？‎ ‎（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？‎ 解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有（种）。‎ ‎（2）6本书平均分成3堆，用上述方法重复了倍，故共有（种）。‎ ‎（3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有（种）‎ ‎（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有（种）。‎ ‎（5）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有（种）。‎ ‎（6）本题即为6本书放在6个位置上，共有（种）。‎ 例4、如果在 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。‎ 解：展开式中前三项的系数分别为1， ，， ‎ 由题意得：2×=1+得=8。‎ 设第r+1项为有理项，，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。‎ 有理项为。‎ ‎【巩固训练】‎ 一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.‎ ‎1、设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中xk的系数不可能是 ‎ ‎ A 10 B ‎40 ‎‎ C 50 D 80. ‎ ‎2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 ‎ ‎ A 3种 B 4种 C 5种 D 6种.‎ 二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.‎ ‎3、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）‎ ‎4、设 则― ‎ 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎5、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？‎ ‎（2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？‎ ‎6、若=，求（1）―的值。（2）的值。‎ 二、等可能事件的概率 ‎【基础知识】‎ 等可能性事件的概率.‎ ‎【题例分析】‎ 例1、 某班有学生36人，血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.‎ 解:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A型)＋P(两人血型均为B型)＋P(两人血型均为AB型)＋P(两人血型均为O型)＝.‎ 所以，P(两人血型不同)＝1－.‎ 点拨:从四种血型中抽出2种有C24＝6种，依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便.‎ 例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,如果选得同性委员的概率等于，求男、女相差几名？‎ 解：设男生有x名，则女生有36－x名，选得2名委员都是男性的概率为＝.选得两名委员都是女性的概率为＝.‎ 以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和.‎ 依题意＋＝.解得x＝15或x＝21.‎ 即该班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，总之，男女相差6名.‎ 例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n个红色，5个蓝色,10个黄色，其余为白色，求：‎ ‎(1)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球不相邻的排法有多少种？‎ ‎(2)如果从袋中取出3个都是颜色相同的彩球（不含白色）的概率是，且n≥2，计算红球有几个？‎ ‎(3)根据(2)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个红球的概率？‎ 解：(1)将5个黄球排成一排共有A55种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空位上，有A36种排法.∴所求的排法为A55·A36＝14400（种）.‎ ‎（2）取3个球的种数为C330＝4060，设“3个球全是红色”为事件A，“3个球全是蓝色”为事件B.“3个球都是黄色”为事件C，则P(B)＝，P(C)＝.‎ ‎∵A、B、C彼此互斥，∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，‎ 即＝P(A)＋.∴P(A)＝0，即取3个球，是红球的个数小于或等于2.‎ 又∵n≥2，故n＝2.‎ ‎（3）记“3个球至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红球”，则 P(D)＝1－P()＝1－＝.‎ 例4、一种电器控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试.‎ ‎ （1）求前两次取出都是二等品的概率；‎ ‎ （2）求第二次取出的是二等品的概率；‎ ‎ 解：（1）四件产品逐一取出方式共有A种不同方式.‎ ‎ 前两次取出都是二等品的方式共有A·A种不同方式.‎ ‎ 所以前两次取出都是二等品的概率为： （2）第二次取出是二等品共有：，‎ ‎ 所以第二次取出是二等品的概率是： ‎ ‎【巩固训练】‎ 一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.‎ ‎1、数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎2、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) 二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.‎ ‎3、袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 . ‎ ‎4、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________‎ 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎5、8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求： (1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；‎ ‎(2)A组中至少有两支弱队的概率．‎ ‎6、有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了1000个小正方体,将这些正方体混合后，放入一个口袋内.‎ ‎(1)从该袋中任抽取一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是多少?‎ ‎(2)从袋中任取两个正方体，其中至少有一个面上有红色的概率是多少?‎ 三、互斥事件的概率 ‎【基础知识】‎ ‎1、 (1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.‎ ‎(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.‎ ‎2.重点公式 ‎(1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P（A+B）=P（A）+P（B），推广:P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.‎ ‎(2)对立事件的概率和等于1.‎ P(P)+P()=P（A+）=1.‎ ‎【题例分析】‎ 例1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人各抽一题：‎ ‎（1）求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；‎ ‎（2）求甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率.‎ 解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有C·C个，又甲、乙依次抽到一题的可能结果有CC个，所以，所求概率为：=.‎ ‎（2）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 ‎，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为:1-=1-=1-=.‎ 例2、某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29.计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.‎ 解：设这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A，命中10环、9环、8环以及不够8环的事件分别记为A1、A2、A3、A4.‎ ‎∵A2、A3、A4彼此互斥，‎ ‎∴P（A2+A3+A4）=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76.‎ 又∵A1=，∴P(A1)=1-P（A2+A3+A4）=1-0.76=0.24.‎ ‎∵A1与A2互斥，‎ ‎∴P（A）＝P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=0.24+0.28＝0.52.‎ 故这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率为0.52.‎ 例3、袋中放有3个伍分硬币，3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总值超过8分的概率.‎ 解：记“总值超过8分”为事件A，它应有四种情况：‎ ‎（1）“取到3个伍分硬币”为事件A1；‎ ‎（2）“取到2个伍分和一个贰分硬币”为事件A2；‎ ‎（3）“取到2个伍分和一个壹分硬币”为事件A3；‎ ‎（4）“取到一个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件A4.‎ 则P(A1)==.　　　　　　　P(A2)==.‎ P(A3)==.　　　　　　　 P(A4)==.‎ 依题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，‎ ‎∴P(A)=P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=‎ 例4、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：‎ 排队人数 ‎0—5‎ ‎6—10‎ ‎11—15‎ ‎16—20‎ ‎21—25‎ ‎25人以上 概 率 ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.05‎ ‎ （I）每天不超过20人排队结算的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？‎ 解：（I）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75. ‎ ‎（Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为：0.25+0.2+0.05=， ‎ 一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为；‎ 一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为；‎ 一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为；‎ 所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：‎ ‎，‎ 所以，该商场需要增加结算窗口.‎ ‎【巩固训练】‎ 一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.‎ ‎1、如果A、B两个事件互斥，那么（　　）‎ A.A+B是必然事件　　　　　　　　　 B.+是必然事件 C.与一定互斥　　　　　　　　　D.与一定不互斥 ‎2、在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站，假定这个车站只能停靠一辆汽车，有一位乘客需5分钟之内赶到厂里，他可乘3路或6路车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟内到此车站的概率分别为0.2和0.6，则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为（　　）‎ A.0.2　　　　　‎‎　 B.0.6　　　　　　C.0.8　　　　　　D.0.12‎ 二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.‎ ‎3、甲、乙两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，则乙不输的概率为_______.‎ ‎4、有两个口袋，甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一只球,则两球颜色相同的概率为_______.‎ 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎5、已知袋中装有红色球3个、蓝色球2个、黄色球1个,从中任取一球确定颜色后再放回袋中，取到红色球后就结束选取，最多可以取三次，求在三次选取中恰好两次取到蓝色球的概率.‎ ‎6、掷两个骰子，出现点数之和为4点或5点或偶数点的概率是多少？‎ 四、独立事件的概率 ‎【基础知识】‎ ‎1.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).‎ ‎2.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．‎ ‎3.（不要求记忆）n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 ‎【题例分析】‎ 例1、某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次口错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率.‎ 解：有两种可能：将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中1件错误地鉴定为次品;将原1件次品错误地鉴定为正品，原3件正品中的2件错误地鉴定为次品. 概率为 P＝＝0.1998‎ 例2、已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）‎ 解. 甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7/10=0.7‎ 乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为6/10=0.6‎ ‎(1)甲运动员向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是 ‎(2)乙运动员各向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是 例3、冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.‎ ‎（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.‎ 解：（I）. ‎ ‎（II）P6(5)+P5(5)+P4(4) =C65P5(1－P)+C55P5+C44P4=‎ 例4、有一批产品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂，已知每项指标抽检是相互独立的，每项指标抽检出现不合格品的概率都是。‎ ‎（１）求这批产品不能出厂的概率（保留三位有效数学）‎ ‎（２）求直至五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品是否出厂的概率（保留三位有效数学）‎ 解答： （1）这批产品不能出厂的概率是：‎ 五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：‎ 五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：‎ 由互斥事件有一个发生的概率加法可知：五项指标全部检验完毕才能确定这批产品是否可以出厂的概率是 ‎【巩固训练】‎ 一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.‎ 1. 一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ( ) ‎ ‎（A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728‎ ‎2、种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 ( )‎ ‎(A) p+q－2p q (B) p+q－pq (C) p+q (D) pq 二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.‎ ‎3、某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：‎ ‎①他第3次击中目标的概率是0.9；‎ ‎②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；‎ ‎③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.‎ 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）‎ ‎4、某健美中心对第一期60人进行减肥训练，结果40人达到减肥标准目的，按此比率，现有5人参加第二期该训练，求：至少有4人没有达到减肥目的的概率. 。‎ 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)‎ 5、 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.‎ ‎6、设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，试求：‎ ‎（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；‎ ‎（2）若今有一飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99％的概率命中它？‎ 五、概率与期望 ‎【基础知识】‎ ‎1、离散型随机变量的分布列的两个性质：‎ ‎（1）;（2）.‎ ‎2、数学期望 ‎3、数学期望的性质：‎ ‎（1）E（aξ+b）=aE(ξ)+b；（2）若ξ～B（n，p），则Eξ=np.（二项分布）‎ ‎（3）若ξ服从几何分布，且P（ξ=k）=g(k,p), Eξ=1/p.‎ ‎4、方差:‎ ‎5、标准差:=.‎ ‎6、方差的性质:‎ ‎(1) （2）ξ～B（n，p），则Dξ=np（1-p）.‎ ‎ (3) 若ξ服从几何分布，且P（ξ=k）=g(k,p), Dξ=q/p2.‎ ‎7、 抽样方法 ‎(1)简单随机抽样：概率 其中n为样本容量， N为个体总数 ‎(2)分层抽样： 其中n为样本容量， N为个体总数 ‎ n1为分层样本容量， N1为分层个体总数 ‎【题例分析】‎ 例1：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.‎ ‎（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.‎ 解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：‎ 甲答对试题数ξ的数学期望 ‎（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则 因为事件A、B相互独立，‎ ‎∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ‎∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.‎ 例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0