- 7.69 MB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ：403074932
2011年最新高考+最新模拟——函数、导数
1.【2010·上海文数】若是方程式 的解，则属于区间（ ）
A.（0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2）
【答案】D
【解析】，，知属于区间（1.75，2）.
2.【2010·湖南文数】函数y=ax2+ bx与y= (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
【答案】D
3.【2010·浙江理数】设函数的集合，
平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】B
【解析】
本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题.当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B.
4.【2010·全国卷2理数】若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （ ）
A.64 B.32 C.16 D.8
【答案】A
【解析】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.
5.【2010·全国卷2理数】函数的反函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化.由原函数解得，即，又；
∴在反函数中，故选D.
6.【2010·陕西文数】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A.y＝[] B.y＝[] C.y＝[] D.y＝[]
【答案】B
【解析】法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B.
法二：设，
，所以选B.
7.【2010·陕西文数】下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足
f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是（ ）
A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数
【答案】C
【解析】本题考查幂的运算性质.
8.【2010·辽宁文数】已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A.[0,) B. C. D.
【答案】D
【解析】，，即，
9.【2010·辽宁文数】设，且，则（ ）
A. B.10 C.20 D.100
【答案】A
【解析】又
10.【2010·辽宁文数】已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数的最小值是，等价于，所以命题错误.
11.【2010·辽宁理数】已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是（ ）
A.[0,) B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识.因为，即tan a≥-1,所以.
12.【2010·全国卷2文数】若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了导数的几何意思，即求曲线上一点处的切线方程.
∵ ，∴ ，在切线，∴ .
13.【2010·全国卷2文数】函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
A.y=-1(x>0) B.y=+1(x>0)
C.y=-1(x R) D.y=+1 (x R)
【答案】D
【解析】本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，
∴ .
14.【2010·江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为（ ）
【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A.
15.【2010·江西理数】给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网②若函数与的图像关于直线
对称，则函数与的图像也关于直线对称；③若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数.其中真命题是（ ）
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C.
16.【2010·安徽文数】设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a
【答案】A
【解析】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.在时是增函数，所以，在时是减函数，所以.
17.【2010·安徽文数】设,二次函数的图像可能是（ ）
【答案】D
【解析】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.当时，、同号，C，D两图中，故，选项D符合.
18.【2010·重庆文数】函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
19.【2010·浙江文数】已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若∈（1，），
∈（，+），则（ ）
A.f()＜0，f()＜0 B.f()＜0，f()＞0
C.f()＞0，f()＜0 D.f()＞0，f()＞0
【答案】B
【解析】考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题.
20.【2010·浙江文数】已知函数 若 =（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】+1=2，故=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题.
21.【2010·重庆理数】函数的图象（ ）
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
【答案】D
【解析】 是偶函数，图像关于y轴对称.
22.【2010·山东文数】函数的图像大致是（ ）
【答案】A
23.【2010·山东文数】已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
【答案】C
24.【2010·山东文数】设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】A
25.【2010·山东文数】函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
26.【2010·北京文数】给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】B
27.【2010·北京文数】若a,b是非零向量，且，，则函数是（ ）
A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数
C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数
【答案】A
28.【2010·四川理数】函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－，于是－＝1 Þ m＝－2.
29.【2010·四川理数】2log510＋log50.25＝（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】C
【解析】2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
30.【2010·四川理数】下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（ ）
A B C D
【答案】D
【解析】由图象及函数连续的性质知，D正确.
31.【2010·天津文数】设（ ）
A．a0,所以零点在区间（0，1）上，选C. 函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解.
34.【2010·天津理数】若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（ ）
A.（-1，0）∪（0，1） B.（-∞，-1）∪（1,+∞）
C.（-1，0）∪（1,+∞） D.（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题.
由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论.
分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错.
35.【2010·天津理数】命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是（ ）
A.若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
【答案】B
【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题.否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的.解题时要注意否命题与命题否定的区别.
36.【2010·天津理数】函数f(x)=的零点所在的一个区间是（ ）
A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题. 函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解.
由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上.
37.【2010·广东理数】若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ）
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
【答案】D
【解析】．
38.【2010·广东文数】若函数与的定义域均为R，则（ ）
A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数
C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数
【答案】D
【解析】由于,故是偶函数,排除B、C；
由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C.在，，故，选D.
39.【2010·广东文数】函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
40.【2010·福建文数】函数的零点个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想.当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C.
41.【2010·全国卷1文数】已知函数.若且，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D.
法一：因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=,又0f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
法二：由01，选择A.
53.【2010·重庆市四月模拟试卷】 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：，解得：
54．【2010·曲靖一中冲刺卷数学（四）】函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f(x)= x+1，则函数f(x)在（1，2）上的解析式为（ ）
A．f(x)= 3－x B．f(x)= x－３ C．f(x)= １－x D．f(x)= x+1
【答案】A
【解析】∵x∈（0，1）时，f(x)= x+1，f(x)是以2为周期的偶函数，∴x∈（1，2），
（x-2）∈（-1，0）,f(x)=f(x-2)=f(2-x)=2-x+1=3-x,选择A.
55．【2010·上海市徐汇区二模】下列函数中，与函数 有相同定义域的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，函数的定义域为（0，+∞），函数的定义域也为为（0，+∞），选择A.
56．【2010·唐山市三模】函数y(06时，f（x）=f(x-1)-f(x-2)=f(x-2)-f(x-3)-f(x-2)=-f(x-3)
=-f(x-4)+f(x-5)=-f(x-5)+f(x-6)+ f(x-5)=f(x-6),所以，x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2010)=f(0) ==0.
59.【2010·拉萨中学第七次月考】函数的最小值 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 B
【解析】依题意，，当且仅当x=3时取等号，选择B.
60．【2010·青岛市二摸】已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】Ｃ
【解析】依题意，函数且在上具有单调性，因此a+a2+loga2=，解得a=2，选择C.
61．【2010·迁安一中5月考】“函数f(x)在[0, 1]上单调”是“函数f(x)在[0, 1]上有最大值”的（ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】显然“函数f(x)在[0, 1]上单调”“函数f(x)在[0, 1]上有最大值”（此时边界取得最值）；反过来，函数在x=时取得最大值1.
62．【2010·重庆高考四月模拟】已知，，，则三者的大小关系是（ ）
A． B. C． D.
【答案】A
【解析】因为，而,所以.
63．【2010·广东省高考五月调研】下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】结合函数图像知：函数B、C、D 在区间(0，1)上都是减函数，只有A是增函数，故选A.
64．【2010·云南省第一次复习统一检测】已知减函数的定义域是实数集，、都是实数.如果不等式成立，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是定义域为的减函数，所以-也是定义域为的减函数，则-是定义域为的减函数，由于，即，所以，m0且a≠1，所以2-ax在【0，1】上是减函数，因此，解得选择B.
67．【2010黄冈中学5月第一模拟考试】若函数
在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为定义域为，，由，得．据题意，
，解得
68．【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】为奇函数，但不存在；对函数，有，但为偶函数，故选D.
69．【2010·黄岗中学八月月考】 设是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，已知，且，那么一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B.
【解析】由已知得，而函数f(x)在上是增函数，因此由，则得.故选B.
70．【2010·北京宣武一模】下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】AD不是奇函数，B在上是减函数．
71．【2010·宁波市二模】已知是偶函数，而是奇函数，且对任意，都有，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，图像关于y轴成轴对称，因为是奇函数，所以
的对称中心为（0，0），所以的对称中心为（1,0），即f(x)=f(-x)=-f(2+x)=f(x+4)，因此函数的周期为4，有，，，因为对任意，都有，所以在[0,1]上为增函数，所以在[0,2]上为增函数，又，所以.
72．【2010·滦县二中三模】设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f(x)=x3。则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数；②f(x)在[1，3]上的解析式为f(x)=(2-x)3；③f(x)在处的切线方程为3x+4y-5=0；④f(x)的图像的对称轴中有x=±1.其中正确的命题是 （ ）
A．① ② ③ B．② ③ ④ C．① ③ ④ D．① ② ③ ④
【答案】D
【解析】∵f(x-2)=-f(x)对一切x∈R恒成立，∴f(x)=- f(x-2)=-[ - f(x-2-2)]= f(x-4)，∴ f(x+4)= f(x+4-4)= f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，①正确；当x∈[1，3]时，2-x∈[-1，1]，因此f(x)=- f(x-2)= f(2-x)= (2-x)3，②正确；由∈[1，3]，知f(x)=(2-x)3，，又，故切线方程为，即，③正确；由f(x-2)=-f(x)= f(-x)得f(-1-x)=f(-1+x)，所以f(x)的图像的有对称轴x=-1，由f(x+2)=-f(x+2-2)=-f(x)得，f(1-x)=f(1+x) 所以f(x)的图像的有对称轴x= 1，所以④正确，选择D.
73．【2010·黄岗中学八月月考】已知函数，若，则等于（ ）
A．b B．-b C． D．
【答案】B
【解析】，则为奇函数，故.
74．【2010·海港高中三模】若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，解得0≤x＜1，选择B.
75．【2010·福建省宁德三县市一中第二次联考】若是偶函数，且当x∈[0+∞）时，f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是（ ）
A．（－1，0） B．（－∞，0）∪（1，2） C．（1，2） D．（0，2）
【答案】D
【解析】依题意，因为是偶函数，所以f(x-1)<0化为f(|x-1|)<0，又x∈[0+∞）时，f(x)=x-1,所以|x-1|<1，解得00得函数在（2，3）上也为增函数且>0，而直线x=2为函数的对称轴，则函数在（1，2）上是减函数，且>0，故选D.
77．【2010·武汉市四月调研】若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，函数y=存在大于0的最小值，则a>1且a2-2>0，解得a∈，选择C.
78．【2010·滦南一中四月考】已知定义在R上的函数满足：对任意x∈R，都有成立，且当时，(其中为的导数).设，则a，b，c三者的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，函数的图象关于直线对称，所以
．又当时，，即，则在上单调递增．所以．即，故选B.
79．【2010·重庆八中第一次月考】已知是上的偶函数，且满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，是上的偶函数，的周期为4，f(7)=f(-1)=f(1)=2，选择B.
80．【2010·兰州市四月模拟】若函数的图像与函数的图像关于对称，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知与关于对称,所以，，所以选C．
81．【2010·河北隆尧一中二月考】函数f(x)定义在N上，且对，都有f(x)=f(x-1)+f(x+1)，若f(1)=2009, f(3)=0 , 则f(x)值有（ ）个
A.2 B. 3 C.6 D.不确定
【答案】B
【解析】依题意，∵f(x)=f(x-1)+f(x+1) ，∴f(x+1)=f(x)+f(x+2)，∴f(x-1)= - f(x+2)，f(x)=f(x+6)，即函数f（x）为周期为6的周期函数.由f(1)=2009, f(3)=0,f(2)=f(1)+f(3)
=2009，f(3)=f(2)+f(4)，f(4)=-2009，f(4)=f(3)+f(5),f(5)=-2009,f(5)=f(4)+f(6),f(6)=0,因此f(x)值有3个，选择B.
82．【2010·邯郸市二模】如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x，都有f(1+x)=f(-x)，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，函数f(x)=x2+bx+c对称轴为x=,且在[，+∞）上为增函数，因为f(0)=f(1),f(-2)=f(3)，1<2<3，所以f(1) f(1)=，选择A.
110．【2010·北京丰台区一模】奇函数在上单调递增，若则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，根据所具有的性质可以画出
的草图，因此或．
111．【2010·玉田一中四月月考】已知，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意的，，故
.
112．【2010·重庆四月模拟试卷】函数是定义在实数集上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据数形结合，可求得的范围是。
113．【2010·北京东城一模】定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若，满足不等式．则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由的图象关于中心对称知的图象关于中心对称，故为奇函数得，从而，化简得，又，故，从而，等号可以取到，而，故．
114．【2010·成都石室中学 “三诊”】已知=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】依题意，f/(x)=2x+3f/(1),则f/(1)=-1，所以，选择A；
115．【2010·北京石景山一模】已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）
【答案】A
【解析】由的图象知和是的极值点，且时，单调递减，故选A．
116．【2010·拉萨中学第七次月考】函数在定义域（）内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，当时，函数是减函数，由图像知，x∈，选择A.
117．【2010·湖北省黄冈中学5月第一模拟考试】对于函数的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程一定有三个不等的实数根。 这四种说法中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】中，故该函数必有2个极值点，且，不妨设，易知在处取得极大值，在处取得极小值，而，故极大值必大于1，极小值小于1。而方程不一定有三个不等的实数根。甲、乙、丙三人的说法正确.
118．【2010·河北隆尧一中三月月考】设函数，若对于任意∈[－1，2]都有成立，则实数的取值范围为为( )
A. B. C. D. .
【答案】A
【解析】恒成立,即为的最大值0且a≠1，对于A，D图，由对数及指数函数图像知，a>1，此时直线y=x+a在y轴上的截距大于1，因此A错，D对，选择D.
120．【2010·全国大联考第五次联考四川卷】设函数的图象关于直线对称，则的值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】依题意，由于函数的图象关于直线对称，所以a-1=1-(-2),解得a=4，选择D.
121．【2010·河北隆尧一中三月月考】函数的图象大致是 （ ）
【答案】D
【解析】取特殊值,可得，故选D.
122．【2010重庆八中第二次月考】函数的图象与函数的反函数的图象关于轴对称，则函数 的图象是（ ）
【答案】B
【解析】依题意,函数的反函数为y=2x-1，故函数= -2x-1的图像是B.
123.【2010黄冈中学5月一模】下列四个函数图象，只有一个是符合（其中为正实数，为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，之间一定成立的关系是（ ）
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
①
②
③
④
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当足够小时；当足够大时.可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有③符合条件。此时.
124．【2010·黄岗中学八月月考】设函数，区间，集合，则使成立的实数对有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个
【答案】C
【解析】∵则对于集合N中的函数的定义域为【a, b】, 对应的f(x)的值域为又∵，故当时，函数f(x)是增函数.故N=，由得.
125．【2010·宁波市二模】某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体结果如下表：
单价（元）
供给量（）
表1 市场供给表
单价（元）
需求量（）
表2 市场需求表
根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）大约为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】比较表1市场供给表与表2市场需求表易知，市场供需平衡点大约为元，故选择C.
126．【2010·河北隆尧一中三月月考】已知，则＝ （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意的，，
故.
127．
【2010·河北隆尧一中三月月考】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若某函数的图象恰好经过n个格点，则称该函数为阶格点函数.给出下列函数：①； ②；③；④； ⑤.
则其中所有为一阶格点函数的是（ ）
A.② B.④ ⑤ C.③⑤ D.②⑤
【答案】D
【解析】只经过整点，只经过整点，均为一阶格点函数.
128．【2010·河北隆尧一中五月模拟】对于函数,若将满足的实数叫做函数的零点,则函数的零点有 ( )
A .0 个 B. 1个 C .2个 D. 3个
【答案】C
【解析】设，由图象得2交点，即2个零点，选C.
129．【2010·广东茂名二模】下列命题不正确的是（ ）
A．如果 f (x) = ，则 f (x) = 0
B．如果 f (x) = 2 x－1，则 f (x) = 0
C．如果 f (n) = ，则 f (n) 不存在
D．如果 f (x) = ，则 f (x) = 0
【答案】D
【解析】考察函数的极限、数列的极限的概念和运算，选项D中，因此函数在处极限不存在．
130．【2010·辽宁锦州市二模】已知正数a、b满足a +b =2，nN+，则 =（ ）
A．a B．b C．0 D．不存在
【答案】C
【解析】a >0，b >0，a +b =2，知00 C.<0 D.不能确定
【答案】B
【解析】因为<0（a 0.
133．【2010·重庆高考数学模拟试卷文】在曲线上的点 处的切线倾斜角为45°，则该点坐标是( )
A．（0，0） B．（2，4） C． D．
【答案】D
【解析】，设该点坐标，则，解得：，所以该点坐标为.
134．【2010·内蒙古赤峰二模】曲线在点处的切线平行与直线，则点的坐标为 ( )
A B C或 D
【答案】C
【解析】因为，所以．直线的斜率为4，
令= 4，得，．．
所以曲线在点、处的切线与直线平行． 故选 C．
135．【2010·兰州市二模】极限的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵=． 故选 C．
136．【2010·第五次大联考四川卷】y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于( )
A.0 B.1 C.－1 D.2
【答案】选B．
【解析】y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1．
137.【2010·上海文数】将直线，,（，）围成的三角形面积记为，则 .
【答案】
【解析】B ，所以BO⊥AC，=，所以.
138.【2010·上海文数】函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 .
【答案】(0,-2)
【解析】考查反函数相关概念、性质.
法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2.
法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为(0，-2）.
139.【2010·湖南文数】已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g.
【答案】171.8或148.2
【解析】本题考察优选法的0.618法，属容易题.根据0.618法，第一次试点加入量为110＋（210－110）0.618＝171.8或210－（210－110）0.618＝148.2.
140.【2010·陕西文数】已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝ .
【答案】2
【解析】f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2.
141.【2010·重庆文数】已知，则函数的最小值为____________.
【答案】-2
【解析】，当且仅当时，.
142.【2010·浙江文数】某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 .
【答案】20
143.【2010·重庆理数】已知函数满足：，，则=_____________.
【答案】
【解析】取x=1 y=0得.
法一：通过计算，寻得周期为6
法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)=
144.【2010·天津文数】设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解,属于难题.已知f（x）为增函数且m≠0,若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意.m<0时,有,因为
在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1.
145.【2010·天津理数】设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解,属于难题.
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立.当时函数取得最小值，所以，即，解得或.
146.【2010·广东理数】函数=lg(-2)的定义域是 .
【答案】(1,+∞)
【解析】∵，∴．
147.【2010·全国卷1理数】直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .
148.【2010·湖南理数】过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．
149.【2010·福建理数】已知定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：
①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得
”.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【解析】对①，因为，所以，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。
【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键.
150.【2010·江苏卷】设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=________________.
【答案】-1
【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1.
151.【2010·江苏卷】已知函数,则满足不等式的x的范围是__ ___.
【答案】
【解析】考查分段函数的单调性。
152.【2010·江苏卷】将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________.
【答案】
【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想，一题多解.
设剪成的小正三角形的边长为，则：
方法一:利用导数求函数最小值.
，
，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是。
方法二:利用函数的方法求最小值.
令，则：
故当时，S的最小值是.
153．【2010·上海市普陀区二模】函数的定义域是 .
【答案】
【解析】依题意，，，解得x∈.
154．【2010·北京石景山一模】函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】且解得-1≤x<2.
155．【2010·石家庄市年教学质量检测（二）】设函数，则
f(8)= ．
【答案】2
【解析】依题意，因为8>-1，f(8)==2.
156．【2010·武汉市四月调研】函数上的值域为 。
【答案】[2-2ln2,+∞）
【解析】依题意，，∵，∴ ，，所以函数上为减函数，因此其值域为[2-2ln2,+∞）.
157．【2010·滦县一中第三次模拟】函数单调递减区间为 .【答案】
【解析】易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果为.
158．【2010·重庆八中第一次月考】已知函数的图象与函数g（x）的图象关于直线对称，令则关于函数有下列命题: ①的图象关于原点对称；②为偶函数；③的最小值为0；④在（0，1）上为减函数．其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上）.
【答案】②③
【解析】依题意，g(x)=,h(x)= ,易知，
为偶函数，②正确；∵|x|≥0，所以∴的最小值为0，③正确。
159．【2010·河北隆尧一中四月模拟】若f(x)＝在(-1,+∞)上满足对任意x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2) , 则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，中心为，由题知在上是减函数，故，得 .
160.【2010·上海市徐汇区4月第二次模拟】函数的反函数为________________.
【答案】
【解析】依题意，由(x≥4)得x=,因此函数(x≥4)的反函数为.
161．【2010·上海市长宁区二模】若函数的反函数的图像过点（2，-1），则.
【答案】
【解析】因为函数的反函数的图像过点（2，-1），所以的图像过点（-1，2），所以a=.
162．【2010·黄岗中学八月月考】设函数，给出如下四个命题：①若c=0，则为奇函数；②若b=0,则函数在R上是增函数；③函数的图象关于点成中心对称图形；④关于x的方程最多有两个实根.其中正确的命题 .
【答案】①②③
【解析】①显然正确；对于②，有
，显然此方程有唯一的实数根，②正确；对于③，由知的图象关于点对称，③正确；对于④，当时，方程有三个根，故①②③是正确的.
163．【2010·黄岗中学八月月考】将函数的图象沿向量平移后，得到函数的图象，则函数= .
【答案】
【解析】将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位得.
164．【2010·上海市奉贤区4月质量调研】函数的图像恒过一定点是____ _.
【答案】（2，2）
【解析】依题意，当x=2时，函数值为2，所以其图像恒过顶点（2,2）.
165．【2010·重庆八中第一次月考】已知函数在定义域内存在反函数，且则____________．
【答案】
【解析】依题意，f（x）=(x+1)2-2(x+1),由函数在定义域内存在反函数，得(x+1)2-2(x+1)= ,解得x= 或 x= （舍）.
166．【2010·上海市普陀区二模】设函数的图像关于原点对称，且存在反函数. 若已知，则 .
【答案】-4
【解析】依题意，f(x)为奇函数，f(4)=2，所以f(-4)=-2，又因为f(x) 存在反函数，所以f-1(-2)=-4.
167．【2010·上海市松江区4月模拟】设函数，那么
.
【答案】3
【解析】依题意，x2+1=10或2x=10，解得x=3.
168．【2010·北京丰台一模】已知函数， ．
【答案】
【解析】．
169．【2010·北京宣武一模】有下列命题：①若存在导函数，则；
②若函数,则；③若函数，
则；④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是 ．
【答案】③
【解析】，①错误；
，则，②错；
，③正确；
，，只需即可，是的充分不必要条件．
170．【2010·北京丰台一模】函数图象上点P处的切线与直线围成的梯形面积等于S，则S的最大值等于 ，此时点P的坐标是 ．
【答案】
【解析】函数在点处的切线方程为
，即，它与轴的交点为，与的交点为．于是题中梯形的面积
，当时，取得最大值为，此时点坐标为即．
171．【2010·银川一中二模】已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=则f（1）+f′（1）=__________。
【答案】3
【解析】依题意，f（1）=，f/(1)=,所以 f（1）+f′(1)=3.
172．【2010·甘肃省部分普通高中高三第二次联合考试】已知函数的反函数是，的图象在点P处的切线方程是，若点的横坐标是5，则 ．
【答案】 4
【解析】依题意，的图象在点P处的切线方程是，点的横坐标是5，则点P纵坐标为3，所以（3,5）在函数的图像上，所以f/(5)= -1,f-1(3)=5，则4.
173.【2010·银川一中第三次月考】．当且时，函数的图像恒过点,若点在直线上，则的最小值为____ ____．
【答案】
【解析】依题意，A点坐标为（2,1），所以2m+n=1，，当且仅当m=,n=时等号成立.
174．【2010·上海市松江区4月模拟】汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费+年均维修费）．设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前年的总维修费满足，已知第一年的维修费为1000元，前二年总维修费为3000元．则这种汽车的最佳使用年限为 ．
【答案】10
【解析】依题意，，解得，设使用x年平均每年使用费用为t，则t=
，当且仅当x=10时，等号成立.
175．【2010·北京西城一模】设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意
，有，且，则称为上的高调函数．如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是 ．如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】的图象如下图左所示，要使得，有；时，恒有，故即可；由为奇函数及时的解析式知的图象如下图右所示，∵，由，故，从而，又时，恒有，故即可．
176．【2010·北京丰台一模】函数的图象在点处的切线方程是 ．
【答案】
【解析】，∴所求的切线方程为，即，化简为．
177．【2010·河北隆尧一中五月模拟】在区间上有反函数，则a的范围为是 .
【答案】
【解析】因为在区间上有反函数，所以在该区间 上单调，则在上恒成立，得或在上恒成立，得.
178．【2010·黄岗中学八月月考】设函数，给出如下四个命题：①若c=0，则为奇函数；②若b=0,则函数在R上是增函数；③函数的图象关于点成中心对称图形；④关于x的方程最多有两个实根.其中正确的命题 .
【答案】①②③
【解析】①显然正确；对于②，有，显然此方程有唯一
的实数根，②正确；对于③，由
知的图象关于点对称，③正确；对于④，当时，方程有三
个根，故①②③是正确的.
179．【2010·河北衡水一中4月月考】已知，求极限= ．
【答案】2
【解析】=，因为，，因此=2．
180．【2010·内江、广安联考】(，)的展开式中项的系数为，则_______．
【答案】
【解析】∵，∴，由等比数列的前项和公式，得
，
∴，故.
181．【2010·唐山市海港中学3月月考】若f(x)=处处连续，则a
的值为_________．
【答案】
【解析】，
，．
182．【2010·浙江温州市第二次适应性练习】已知函数f (x)在区间上连续，当，则f (0) = ．
【答案】
【解析】由于f (x)在x = 0处连续，所以f (0) =.
183．【2010·河北邯郸市二模】若=1，则ab的值是_________．
【答案】8
【解析】原式=
，∴a·b=8．
184．【2010·黄冈中学4月月考】已知，，如果bc≠0，那么= ．
【答案】
【解析】由已知得，，因此．
185．【2010·北京宣武区一模】已知函数=在点x = 1处连续，则a的值是
【答案】3
【解析】∵== (x＋3)= 4，∴= (ax＋1)= a＋1 = 4，解得a = 3．
186．若，则实数 ．
【答案】－10
【解析】=，因此、，．
187．【2010·河北邯郸二模】设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.
【答案】n!
【解析】设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n)，则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x)，
f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！．
188．【2010·重庆一中三月月考】的值为
【答案】
【解析】==．
189.【2010·上海文数】若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解：(1) xÎ(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；
(3) ,kÎZ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．
190.【2010·湖南文数】已知函数其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
191.【2010·浙江理数】已知是给定的实常数，设函数，，
是的一个极大值点．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
【解析】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)
令
于是，假设
（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。
（2） 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x10，为单调递增区间.最大值在右端点取到,.
196.【2010·安徽文数】设函数，，求函数的单调区间与极值.
【解析】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力. 对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.
197.【2010·重庆文数】已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.
198.【2010·浙江文数】已知函数（a-b）0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此21时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数.又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)证明：若
若
因此由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
205．【2010·福建文数】已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2.
(Ⅰ)求实数a,b的值；
(Ⅱ)设g（x）=f(x)+是[]上的增函数,
（i）求实数m的最大值；
(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
206.【2010·福建文数】某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由.
207.【2010·全国卷1理数】已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
208.【2010`湖北文数】已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房.
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）
209.【2010·山东理数】已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.
（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，
有，又已知存在，使，所以，，
即存在，使，即，即，
所以，解得，即实数取值范围是。
【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数.
210.【2010·湖南理数】已知函数对任意的，恒有.
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.
解:
211.【2010·湖北理数】
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式.
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
212.【2010·福建理数】（Ⅰ）已知函数，.
（i）求函数的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点
，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段
（Ⅱ）对于一般的三次函数（i）（ii）的正确命题，并予以证明.
【解析
】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想.
解：（Ⅰ）（i）由得=，
当和时，；当时，；
因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
213.【2010·湖北理数】
214.【2010·安徽理数】设为实数，函数。
(Ⅰ)求的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当且时，。
215.【2010·江苏卷】设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.
(1)设函数，其中为实数.
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间.
(2)已知函数具有性质.给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围.
【解析】 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.
解：（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，故此时在区间上递增；
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)方法一：由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，
综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）.
方法二：由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增.
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。
216．【2010·上海市卢湾区4月模拟考试】 如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作
轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为．（1）求关于的表达式；
（2）求的最大值及此时的值．
解：（1）由题设，得（），当时，，当时，，当时，，故
（2）易知当时，为单调递增函数，，当时，为单调递减函数，，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故的最大值为，此时．
217．【2010·北京宣武一模】已知函数
⑴若为的极值点，求的值；
⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；
⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围．
解：⑴，∵是的极值点，∴，即，解得或2．
⑵∵在上．∴，∵在上，∴，又，∴，∴，解得，∴
，由可知和是的极值点．∵，∴在区间上的最大值为8．
⑶因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点．而的两根为，，区间长为，∴在区间上不可能有2个零点．所以，即．∵，∴．又∵，∴．
218.【2010·石家庄市教学质量检测（二）】 已知函数，x∈R．（其中为m常数）（I）当m=4时，求函数的单调区间；（II）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．
解:函数的定义域为R
（Ⅰ）当m＝4时，f(x)＝ x3－x2＋10x， ＝x2－7x＋10，令 ， 解得或．令 ， 解得, 可知函数f（x）的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为（2，5）.
（Ⅱ）＝x2－（m＋3）x＋m＋6,要使函数y＝f （x）在（1，＋∞）有两个极值点,
则，解得m＞3．
219．【2010·黄岗中学八月月考】已知
（1）若函数时有相同的值域，求b的取值范围；
（2）若方程在（0，2）上有两个不同的根x1、x2，求b的取值范围，并证明
解:（1）当时，函数的图象是开口向上，且对称轴为的抛物
线，的值域为，所以的值域也为的充要条件
是，即b的取值范围为
(2)，由分析知,
不妨设因为上是单调函数，所以在上至多有一个解.若，即x1、x 2就是的解，，与题设矛盾. 因此，由，所以；由所以故当时，方程上有两个解.由消去b，得 由
220．【2010·上海市奉贤区4月质量调研】已知函数,
（1）求出函数的对称中心；
（2）证明：函数在上为减函数；
（3）是否存在负数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由.
解：（1） ，函数的对称中心为（-1，-1）
(2)任取，且，
∵ ，
∴函数在上为减函数；
（3）不存在 .假设存在负数，使得成立，则 ，
即 ， ， ，与矛盾，所以不存在负数，使得成立.另:
，由得： 或但，所以不存在.
221．【2010·黄岗中学八月月考】已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有．
（1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：；
（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．
解:（1）在上是增函数，证明如下：
任取，且，则，于是有，
而，故，故在上是增函数.
（2）由在上是增函数知：
，
故不等式的解集为．
（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立．
①当时，的取值范围为；
②当时，的取值范围为；
③当时，的取值范围为R．
222．【2010·北京丰台一模】已知函数．⑴当时，求函数的单调区间；⑵若函数在上的最小值是求的值．
解:函数的定义域为，
⑴∵，∴故函数在其定义域上是单调递增的．
⑵在上，分如下情况讨论：
①当时，，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾；
②当时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾；
③当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，所以函数满足最小值为,由，得．
④当时，函数在上有，单调递减，其最小值为，还与最小值是相矛盾；
⑤当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，仍与最小值是相矛盾；综上所述，的值为．
223．【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元.设余下工程的总费用为万元.
（Ⅰ）试将表示成关于的函数；
（Ⅱ）需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少万元？
解:(I）设需要修建个增压站，则，即.
所以.
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤240.
故y与x的函数关系是.
（II）.
当且仅当 即 时取等号.此时，.
故需要修建11个增压站才能使最小，其最小值为9440万元.
224．【2010·上海市浦东新区4月预测】 2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即
；9点20分作为第二个计算人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位. 对第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系（如图1）：
10800
3600
1
，
1 24 36 72 90 n
（图1）
对第个时刻离开园区的人数和时间
（）满足以下关系（如图2）：
O
24
72
24000
12000
6000
5000
90
图2
36
（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）
时，世博园区内共有多少游客？
（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多
的时刻.
解:（1）当且时，，
当且时， ，
所以…
××；
另一方面，已经离开的游客总人数是：
×；……2分
所以（人）
故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有位游客.
（2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减.
(i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；
(ii)当时，令，得出，
即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；
当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；
(iii)当时， 令时，，
即在下午点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整.
225．【2010·北京石景山一模】已知函数．
⑴若，求曲线在点处的切线方程；
⑵若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
⑶设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
解:⑴当时，函数，．，曲线在点处的切线的斜率为．从而曲线在点处的切线方程为，即．
⑵．令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是．
⑶∵在上是减函数，∴时，；时，，即，
①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．当时，，因为
，所以，，此时，在内是减函数．故当时，在上单调递减，不合题意；
②当时，由，所以．又由⑵知当时，在上是增函数，∴，不合题意；
③当时，由⑵知在上是增函数，，又在上是减函数，故只需，，而，，即，解得，所以实数的取值范围是．
226．【2010·重庆南开中学四月月考】设
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求的最小值.
解:(1)当时，
当时，恒成立，
当时， 令得
又 故在处连续，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)当时， 故在单增
当时，令
则在单增，在单减．又在处连续.
故，当时，
当时，
当时，
227．【2010·浙江省台州市】已知函数．
（I）当时，若函数是奇函数，求实数的值；
（II）当时，函数在区间（-2，）上是否存在极值点？若存在，请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点；若不存在，请说明理由．
解:（I）当时，记=,
则,为奇函数,（1）
且 为偶函数 即 （2）
由（1）、（2）解得：，.
（II）
令,解得:,
()当时,则有
在和为正,在为负
在和上递增,在上递减
此时, 为极大值点, 为极小值点;
()当时, 有
在为负, 为正
在上递减, 在上递增
此时, 为极小值点,无极大值点.
高考资源网(www.ks5u.com)
www.ks5u.com
来源：高考资源网
版权所有：高考资源网(www.k s 5 u.com)
微信/支付宝扫码支付下载