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- 2021-05-13 发布
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2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷(文科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1},B={y|y=|x|},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{﹣1,0,1}
2.(5分)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P(,y),则sin(+α)=( )
A.1 B. C.﹣ D.﹣
3.(5分)设函数,则的定义域为( )
A. B.[2,4] C.[1,+∞) D.[,2]
4.(5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
5.(5分)在等差数列{an}中,a1=﹣6,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=6时,Sn取得最小值,则d的取值范围为( )
A. B.(0,+∞) C.(﹣∞,0) D.
6.(5分)已知变量x,y满足约束条件(k∈Z),且z=2x+y的最大值为6,则k的值为( )
A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1
7.(5分)根据如图的程序框图,当输入x为2017时,输出的y=( )
A.28 B.10 C.4 D.2
8.(5分)已知平面向量是非零向量,,,则向量在向量方向上的投影为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
9.(5分)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若,则的值是( )
A.1 B. C. D.
10.(5分)已知存在实数a,使得关于x的不等式恒成立,则a的最大值为( )
A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3
11.(5分)已知正数a,b,c满足4a﹣2b+25c=0,则lga+lgc﹣2lgb的最大值为( )
A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1
12.(5分)函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,∀x∈(0,+∞),f[f(x)﹣lnx]=e+1,函数h(x)=xf(x)﹣ex的最小值为( )
A.﹣1 B. C.0 D.e
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)若z=1﹣i,则= .
14.(5分)某楼盘按国家去库存的要求,据市场调查预测,降价销售.今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长;90平方米套房的销售将每月递增10套.已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套,据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为 套(参考数据:1.111≈2.9,1.112≈3.1,1.113≈3.5)
15.(5分)已知点A(7,1),B(1,a),若直线y=x与线段AB交于点C,且,则实数a= .
16.(5分)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),当x=﹣时函数f(x)能取得最小值,当x=时函数y=f(x)能取得最大值,且f(x)在区间(,)上单调.则当ω取最大值时φ的值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知a∈R,命题p:∀x∈[﹣2,﹣1],x2﹣a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax﹣(a﹣2)=0.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
18.(12分)已知△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,有b2+c2=a2+bc
(1)求角A的大小;
(2)求的最大值.
19.(12分)已知等差数列{an},a3=4,a2+a6=10.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求的前n项和Tn.
20.(12分)如图,在直角三角形ABC中,∠B=90°,,点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合),将△AMN沿MN翻折,△AMN变为△
A'MN,使顶点A'落在边BC上(A'点和B点不重合).设∠ANM=θ
(1)用θ表示线段AM的长度,并写出θ的取值范围;
(2)求线段A'N长度的最小值.
21.(12分)已知a,b是实数,1和﹣1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;
(3)若,当x1,x2∈(0,+∞)时,不等式恒成立,求c的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:,直线l:.
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B,求|AB|的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x+2|+|x﹣4|.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若{x|f(x)≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅.求实数t的取值范围.
2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.(5分)(2017•遂宁模拟)已知集合A={﹣1,0,1},B={y|y=|x|},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{﹣1,0,1}
【解答】解:∵集合A={﹣1,0,1},B={y|y=|x|}={0,1},
∴A∩B={0,1}.
故选:C.
2.(5分)(2017•遂宁模拟)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P(,y),则sin(+α)=( )
A.1 B. C.﹣ D.﹣
【解答】解:∵点P(,y)在单位圆上,
∴y=±
∴α=+2kπ或﹣+2kπ,k∈Z.
sin(+α)=cosα=cos(+2kπ)=.
故选:B.
3.(5分)(2017•遂宁模拟)设函数,则的定义域为( )
A. B.[2,4] C.[1,+∞) D.[,2]
【解答】解:∵函数的定义域为:[1,+∞).
∴,
解得2≤x≤4.
∴的定义域为:[2,4].
故选:B.
4.(5分)(2016•上海)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【解答】解:由a2>1得a>1或a<﹣1,
即“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件,
故选:A.
5.(5分)(2017•遂宁模拟)在等差数列{an}中,a1=﹣6,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=6时,Sn取得最小值,则d的取值范围为( )
A. B.(0,+∞) C.(﹣∞,0) D.
【解答】解:∵在等差数列{an}中,a1=﹣6,公差为d,前n项和为Sn,
∴Sn=﹣6n+=(n﹣)2+
∵当且仅当n=6时,Sn取得最小值,
∴,
解得1<d<
∴d的取值范围为(1,).
故选:D.
6.(5分)(2017•遂宁模拟)已知变量x,y满足约束条件(k∈Z),且z=2x+y的最大值为6,则k的值为( )
A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1
【解答】解:作出的可行域,
由,得A(3,0),
将约束条件中:x+3y=﹣k经过A时,目标函数的最大值是6,可得k=﹣3.
故选:A.
7.(5分)(2017•遂宁模拟)根据如图的程序框图,当输入x为2017时,输出的y=( )
A.28 B.10 C.4 D.2
【解答】解:当输入的x为2017时,
第1次执行循环体后,x=2015,满足x≥0;
第2次执行循环体后,x=2013,满足x≥0;
第3次执行循环体后,x=2011,满足x≥0;
…
第1008次执行循环体后,x=1,满足x≥0;
第1009次执行循环体后,x=﹣1,不满足x≥0;
故y=31+1=4,
故选:C.
8.(5分)(2017•遂宁模拟)已知平面向量是非零向量,,,则向量在向量方向上的投影为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
【解答】解:∵平面向量是非零向量,,,
∴•()=0,
即+2=0,
即=﹣2,
∴向量在向量方向上的投影为==﹣1,
故选:B.
9.(5分)(2017•遂宁模拟)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若,则的值是( )
A.1 B. C. D.
【解答】解:在等差数列{bn}中,由b1+b6+b11=7π,得3b6=7π,,
∴,
在等比数列{an}中,由,得,,
∴,
则=tan=tan=.
故选:D.
10.(5分)(2017•遂宁模拟)已知存在实数a,使得关于x的不等式恒成立,则a的最大值为( )
A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3
【解答】解:关于x的不等式恒成立,
则a≤﹣,
设f(x)=﹣,
则,
解得0≤x≤,
∴f(x)在[0,]上单调递增,
∴f(x)min=f(0)=﹣3,
∴a≤﹣3,
故a的最大值为﹣3,
故选:D.
11.(5分)(2017•遂宁模拟)已知正数a,b,c满足4a﹣2b+25c=0,则lga+lgc﹣2lgb的最大值为( )
A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1
【解答】解:由题意:4a﹣2b+25c=0,变形为:4a+25c=2b,
∵4a+25c≥2,当且仅当4a=25c时,取等号.
∴2b≥2;即b2≥100ac
那么:lga+lgc﹣2lgb=lg≤lg=lg10﹣2=﹣2
故选:A.
12.(5分)(2017•遂宁模拟)函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,∀x∈(0,+∞),f[f(x)﹣lnx]=e+1,函数h(x)=xf(x)﹣ex的最小值为( )
A.﹣1 B. C.0 D.e
【解答】解:根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)﹣lnx]=e+1,
又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,
∴f(x)﹣lnx为定值,
设t=f(x)﹣lnx,
∴f(x)=lnx+t,
又由f(t)=e+1,
即lnt+t=e+1,
解得:t=e,
∴f(x)=lnx+e,
∴h(x)=xf(x)﹣ex=xlnx,
∴h′(x)=1+lnx,
令h′(x)=0,解得x=,
当h′(x)>0时,即x>,函数h(x)单调递增,
h′(x)>0时,即0<x<,函数h(x)单调递减,
∴h(x)min=h()=﹣,
故选:B.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)(2017•遂宁模拟)若z=1﹣i,则= 1+i .
【解答】解:由z=1﹣i,
得==.
故答案为:1+i.
14.(5分)(2017•遂宁模拟)某楼盘按国家去库存的要求,据市场调查预测,降价销售.今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长;90平方米套房的销售将每月递增10套.已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套,据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为 1320 套(参考数据:1.111≈2.9,1.112≈3.1,1.113≈3.5)
【解答】解:由题意可得,今年110平方米套房的销售量构成以20为首项,以1.1为公比的等比数列,
则今年年110平方米套房的销售量为≈420;
90平方米套房的销售量构成以20为首项,以10为公差的等差数列,
则90平方米套房的销售量为=900.
∴这两种套房的销售总量约为:420+900=1320.
故答案为:1320.
15.(5分)(2017•遂宁模拟)已知点A(7,1),B(1,a),若直线y=x与线段AB交于点C,且,则实数a= 4 .
【解答】解:根据题意,设C(x,x),
由A(7,1),B(1,a),得
=(x﹣7,x﹣1),
=(1﹣x,a﹣x),
又=2,
∴(x﹣7,x﹣1)=2(1﹣x,a﹣x),
∴,
解得x=3,a=4;
∴实数a的值为4.
故答案为:4.
16.(5分)(2017•遂宁模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),当x=﹣时函数f(x)能取得最小值,当x=时函数y=f(x)能取得最大值,且f(x)在区间(,)上单调.则当ω取最大值时φ的值为 ﹣ .
【解答】解:当x=﹣时f(x)能取得最小值,x=时f(x)能取得最大值,
∴(n+)•T=﹣(﹣),
即T=,(n∈N)
解得ω=4n+2,(n∈N)
即ω为正偶数;
∵f(x)在(,)上单调,
∴﹣=≤,
即T=≥,
解得ω≤12;
当ω=12时,f(x)=cos(12x+φ),
且x=﹣,12×(﹣)+φ=﹣π+2kπ,k∈Z,
由|φ|≤,得φ=0,
此时f(x)=cos12x在(,)不单调,不满足题意;
当ω=10时,f(x)=cos(10x+φ),
且x=﹣,10×(﹣)+φ=﹣π+2kπ,k∈Z,
由|φ|≤,得φ=﹣,
此时f(x)=cos(10x﹣)在(,)单调,满足题意;
故ω的最大值为10,此时φ的值为﹣.
故答案为:﹣.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2017•遂宁模拟)已知a∈R,命题p:∀x∈[﹣2,﹣1],x2﹣a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax﹣(a﹣2)=0.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
【解答】(本小题满分12分)
解:(1)因为命题p:∀x∈[﹣2,﹣1],x2﹣a≥0.
令f(x)=x2﹣a,
根据题意,只要x∈[﹣2,﹣1]时,f(x)min≥0即可,
也就是1﹣a≥0,即a≤1;…(4分)
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a≤1,
命题q为真命题时,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a≤﹣2或a≥1 …(6分)
因为命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,所以命题p与q一真一假,
…(7分)
当命题p为真,命题q为假时,﹣2<a<1,…(9分)
当命题p为假,命题q为真时,a>1.…(11分)
综上:a>1或﹣2<a<1.…(12分)
18.(12分)(2017•遂宁模拟)已知△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,有b2+c2=a2+bc
(1)求角A的大小;
(2)求的最大值.
【解答】(本小题满分12分)
解析:(1)∵b2+c2=a2+bc,
∴cosA==,
又∵A∈(0,π),
∴A=; …(6分)
(2)f(x)=sin(x﹣)+cosx
=sinx﹣cosx+cosx
=sinx+cosx
=sin(x+),…(10分)
∴f(x)max=1. …(12分)
19.(12分)(2017•遂宁模拟)已知等差数列{an},a3=4,a2+a6=10.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求的前n项和Tn.
【解答】解:(1)由a2+a6=10.
,可知2a4=10.a4=5,d=a4﹣a3=1,
所以{an}其通项公式为 an=a3+(n﹣3)×1=n+1(n∈N*)
(2)Tn=
,
,
,
.
∴.
20.(12分)(2017•遂宁模拟)如图,在直角三角形ABC中,∠B=90°,,点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合),将△AMN沿MN翻折,△AMN变为△A'MN,使顶点A'落在边BC上(A'点和B点不重合).设∠ANM=θ
(1)用θ表示线段AM的长度,并写出θ的取值范围;
(2)求线段A'N长度的最小值.
【解答】(本小题满分12分)
解:(1)∵在直角三角形ABC中,∠B=90°,,
∴∠C=30°,∠BAC=60°,∠AMN=120°﹣θ,…(2分)
设MA=MA′=x,则MB=1﹣x.在Rt△MBA′中,cos∠BMA′=,
即cos[180°﹣2(120°﹣θ)]=cos(2θ﹣60°)=,
∴MA=x==,…(5分)
∵点M在线段AB上,M点和B点不重合,A′点和B点不重合,
∴45°<120°﹣θ<90°,
∴30°<θ<75°. …(6分)
(2)由(1)知,在△AMN中,∠ANM=θ,∠AMN=120°﹣θ,
由正弦定理有,
∴A′N=AN== …(8分)
===
==
==,…(10分)
∵30°<θ<75°,
∴30°<2θ﹣30°<120°,当且仅当2θ﹣30°=90°,
即θ=60°时,A′N有最小值. …(12分)
21.(12分)(2017•遂宁模拟)已知a,b是实数,1和﹣1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;
(3)若,当x1,x2∈(0,+∞)时,不等式恒成立,求c的取值范围.
【解答】解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx,得f′(x)=3x2+2ax+b,
1和﹣1是函数f(x)的两个极值点,
∴,解得a=0,b=﹣3.
(2)∵由(1)得f(x)=x3﹣3x,
∴g′(x)=f(x)+2=(x﹣1)2(x+2),
令g′(x)=0,解得x=1或﹣2,
∵当x<﹣2时,g′(x)<0;当﹣2<x<1时,g′(x)>0,
∴x=﹣2是g(x)的极值点.
∵当﹣2<x<1或x>1时,g′(x)>0,
∴x=1不是g(x)的极值点.
∴g(x)的极值点是﹣2.
(3)由(1)知a=0,b=﹣3,则h(x)=﹣(cbx﹣)+2lnx=cx﹣+2lnx,
不妨设x1>x2>0,
所以x1﹣x2>0,故不等式[﹣](x1﹣x2)<0,
即﹣<0恒成立,整理得x1h(x1)<x2h(x2),
所以函数y=xh(x)在(0,+∞)上单调递减,
设ω(x)=xh(x),则ω(x)=cx2﹣c+2xlnx,ω′(x)=2cx+2+2lnx,
由题意得ω′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,
即2cx+2+2lnx≤0在(0,+∞)上恒成立,
因为x>0,所以不等式等价于c≤﹣(x>0),
记F(x)=﹣,(x>0),
则F′(x)=,
所以当x∈(0,1]时,F′(x)≤0,函数单调递减;
当x∈(1,+∞)时,F′(x)>0,函数单调递增,
故F(x)≥F(1)=﹣1,即F(x)的最小值为﹣1,
故c≤﹣1.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)(2017•遂宁模拟)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:,直线l:.
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B,求|AB|的值.
【解答】解:(1)直线l的直角坐标方程为x+y=,与y轴相交于(0,),
∴直线l的参数方程为(t为参数). …(4分)
(2)曲线C的直角坐标方程为=1,把直线l的参数方程代入椭圆方程可得:3t2+8t﹣8=0,
∴t1+t2=﹣,t1t2=﹣,
∴|AB|=|t1﹣t2|==. …(10分)
[选修4-5:不等式选讲]
23.(2017•遂宁模拟)已知函数f(x)=|x+2|+|x﹣4|.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若{x|f(x)≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅.求实数t的取值范围.
【解答】解:(1)函数f(x)=|x+2|+|x﹣4|≥|(x+2)﹣(x﹣4)|=6,
所以函数f(x)的最小值为6.…(5分)
(2)使{x|f(x)≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅,
知存在x0∈[﹣3,5]使得f(x0)≤t2﹣t成立,
即f(x)min≤t2﹣t在[﹣3,5]成立,
∵函数f(x)在[﹣3,5]的最小值为6,
∴t2﹣t≥6,解得:t≤﹣2或t≥3. …(10分)
参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;qiss;sxs123;maths;w3239003;whgcn;lcb001;742048;豫汝王世崇;陈远才;刘老师(排名不分先后)
菁优网
2017年2月23日