高考数学试题精编不等式 有解析 13页

‎2009年高考数学试题不等式 一、选择题 ‎1.（2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 ‎ B ‎（A） （B） （C） （D） ‎ A x D y C O y=kx+‎ ‎[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）‎ ‎∴△ABC=，设与的 交点为D，则由知，∴‎ ‎∴选A。 ‎ ‎2（2009安徽卷文）不等式组所表示的平面区域的面积等于 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【解析】由可得，故阴 =，选C。‎ ‎【答案】C ‎3（2009安徽卷文）“”是“且”的 ‎ ‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【解析】易得时必有.若时，则可能有，选A。‎ ‎【答案】A ‎4（2009四川卷文）已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的 ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】显然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，则同向不等式相加得＞‎ ‎ 即由“－＞－”“＞”‎ ‎5（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 ‎ A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 ‎【答案】D ‎（3，4）‎ ‎（0，6）‎ O ‎（，0）‎ ‎9‎ ‎13‎ ‎【解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：‎ ‎ A原料 ‎ B原料 甲产品吨 ‎ 3‎ ‎ 2‎ ‎ 乙产品吨 ‎ ‎ ‎ 3‎ ‎ 则有：‎ ‎ 目标函数 ‎ 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：‎ ‎ 当＝3，＝5时可获得最大利润为27万元，故选D ‎6.（2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 ‎ ‎（A）p:＞b+d , q:＞b且c＞d ‎ ‎（B）p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限 ‎ ‎（C）p: x=1, q: ‎ ‎（D）p:a＞1, q: 在上为增函数 ‎ ‎[解析]：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可举反例。选A ‎7.(2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ， ‎ 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，‎ 则的最小值为( ). ‎ A. B. C. D. 4‎ x ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ y ‎ O ‎ ‎-2 ‎ z=ax+by ‎ ‎3x-y-6=0 ‎ x-y+2=0 ‎ ‎【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）‎ 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,‎ 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,‎ 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.‎ 答案:A ‎【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8.（2009湖南卷文）若，则的最小值为 . ‎ 解: ，当且仅当时取等号.‎ ‎9.（2009宁夏海南卷理）设x,y满足 ‎（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 ‎（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值 解析：画出可行域可知，当过点（2，0）时，，但无最大值。选B.‎ ‎10.（2009宁夏海南卷文）设满足则 ‎（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 ‎（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B ‎11.(2009湖南卷理)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内 的弧长为 [ B]‎ A B C D ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】：B ‎【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。‎ ‎12.（2009天津卷理）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为 ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）23‎ ‎【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。‎ 解析：画出不等式表示的可行域，如右图，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎13.（2009天津卷理）设若的最小值为 ‎ A 8 B ‎4 C 1 D ‎ ‎【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。‎ ‎【解析】因为，所以，‎ ‎，当且仅当即时“=”成立，故选择C ‎14.（2009天津卷理）,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，‎ 解析：由题得不等式＞即，它的解应在两根之间，故有，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得 ‎，故，即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎15.（2009四川卷理）已知为实数，且。则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）‎ 解析：推不出；但，故选择B。‎ 解析2：令，则；由可得，因为，则，所以。故“”是“”的必要而不充分条件。‎ ‎16.（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 ‎ A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）‎ 解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即 已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。‎ ‎17.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 A. -5 B. ‎1 C. 2 D. 3 ‎ 解析解析 如图可得黄色即为满足 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.‎ ‎18.（2009重庆卷理）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为对任意x恒成立，所以 ‎19.（2009重庆卷文）已知，则的最小值是（ ）‎ A．2 B． C．4 D．5‎ ‎【答案】C 解析因为当且仅当，且，即时，取“=”号。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 二、填空题 ‎1.（2009浙江理）若实数满足不等式组则的最小值是 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：4 ‎ ‎【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，‎ ‎2.（2009浙江卷文）若实数满足不等式组则的最小值是 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 ‎【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，‎ ‎3.（2009北京文）若实数满足则的最大值为 .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的 基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 如图，当时，‎ 为最大值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故应填9.‎ ‎4.（2009北京卷理）若实数满足则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】本题主要考查线性规划方面 的基础知. 属于基础知识、基本运算 的考查.‎ ‎ 如图，当时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 为最小值.‎ 故应填.‎ ‎5.(2009山东卷理)不等式的解集为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】:原不等式等价于不等式组①或②‎ 或③不等式组①无解,由②得,由③得,综上得,所以原不等式的解集为. ‎ 答案: ‎ ‎【命题立意】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想.‎ ‎6.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: ‎ ‎ 产品 ‎ 设备 ‎ A类产品 ‎ ‎(件)(≥50) ‎ B类产品 ‎ ‎(件)(≥140) ‎ 租赁费 ‎ ‎(元) ‎ 甲设备 ‎ ‎5 ‎ ‎10 ‎ ‎200 ‎ 乙设备 ‎ ‎6 ‎ ‎20 ‎ ‎300 ‎ 则满足的关系为即:, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案:2300‎ ‎【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.. ‎ ‎7.（2009年上海卷理）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，‎ 则x满足的条件是________________________ . ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8.（2009上海卷文） 已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是___________. ‎ ‎【答案】－9‎ ‎【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：－z，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。‎ 三、解答题 ‎1.（2009江苏卷）(本小题满分16分) ‎ 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为 ‎(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=； ‎ ‎(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ ‎ ‎(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 ‎ ‎【解析】‎ ‎ 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。‎ ‎(1) ‎ 当时，,‎ ‎, = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）当时，‎ 由，‎ 故当即时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。‎ ‎（3）（方法一）由（2）知：=‎ 由得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 令则，即：。‎ 同理，由得：‎ 另一方面，‎ 当且仅当，即=时，取等号。‎ 所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎2.（2009湖北卷文）（本小题满分12分） ‎ ‎ 围建一个面积为‎360m2‎的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为‎2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x的函数： ‎ ‎（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。‎ 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(II)‎ ‎.当且仅当225x=时，等号成立.‎ 即当x=‎24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎