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- 2021-05-13 发布
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第十四节 定积分与微积分基本定理(理)
一、选择题1．(2013·江西卷)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S13>S1>S2.故选B.
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
答案 C
3．如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A.
B.(x2－1)dx
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
解析 面积S＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝|x2－1|dx，故选C.
4．(2012·湖北卷)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x
轴所围图形的面积为( )
A. B. C. D.
5．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
解析 令v(t)＝0,7－3t＋＝0
∴3t2－4t－32＝0，∴t＝4，则汽车行驶的距离为v(t)dt＝dt＝
＝7×4－×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.
6．(2014·武汉调研)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2013·湖南卷)若x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析 ∵x2dx＝＝＝9，∴T＝3.答案 3
8．(2014·厦门市质检)计算：(x2＋)dx＝______.
解析 (x2＋)dx＝x2dx＋dx＝＋π＝＋.
9．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．
解析 设直线为y＝kx＋b，代入A，B两点，得y＝10x.
代入B，C两点，则∴k＝－10，b＝10.
∴f(x)＝∴y＝xf(x)＝
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．
解 ∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由(ax＋b)dx＝5，得＝a＋b＝5.①
由xf(x)dx＝，得(ax2＋bx)dx＝.
即＝.
∴a＋b＝.②
解①②，得a＝4，b＝3.∴f(x)＝4x＋3.
于是dx＝dx＝(4＋)dx
＝(4x＋3lnx)|＝8＋3ln2－4
＝4＋3ln2.
11．(2013·日照调研)如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，
所以抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝－＝.
又可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，
所以＝∫(x－x2－kx)dx
＝
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝.
于是k＝1－ ＝1－.
12．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.
(1)求常数a，b的值；
(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．
解 (1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，
即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x.
作出曲线y＝x3－3x的草图如图，
所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－，0)，(0,0)和(，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．
所以所求图形的面积为
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