高考数学第二轮专题复习测试题 8页

‎2013高考数学第二轮专题复习测试题 A级　基础达标演练 ‎(时间：40分钟　满分：60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2012·烟台调研)棱长为2的正四面体的表面积是(　　)．‎ A. B．‎4 C．4 D．16‎ 解析　每个面的面积为：×2×2×＝.∴正四面体的表面积为：4.‎ 答案　C ‎2．(2012·福州质检)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ‎(　　)．‎ A．2倍 B．2倍 C.倍 D.倍 解析　由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到原来的2倍．‎ 答案　B ‎3．(2012·潍坊模拟)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝.‎ 答案　B ‎4．(2011·温州检测(二))如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为 ‎(　　)．‎ A．2π B．4π C．6π D．8π 解析　由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π.‎ 答案　C ‎5．(2012·厦门模拟)已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(　　)‎ A．24－π B．24－ C．24－π D．24－ 解析　据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－×π×12×3＝24－.‎ 答案　A 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2011·福建)三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．‎ 解析　依题意有，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝.‎ 答案　 ‎7．(2009·全国Ⅱ)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于，则球O的表面积等于________．‎ 解析　设圆C的半径为r，有πr2＝.‎ 得r2＝.又设球的半径为R，如图所示，‎ 有OB＝R，OC＝·＝R，CB＝r.在Rt△OCB中，有OB2＝OC2＋CB2，即R2＝R2＋r2⇒R2＝，∴R2＝2，∴S球＝4πR2＝8π.‎ 答案　8π ‎8．(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．‎ 解析　由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝.‎ 答案　 三、解答题(共23分)‎ ‎9．(11分)(2012·杭州模拟)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．‎ ‎(1)请画出该安全标识墩的侧视图；‎ ‎(2)求该安全标识墩的体积．‎ 解　(1)侧视图同正视图，如图所示：‎ ‎(2)该安全标识墩的体积为 V＝VPEFGH＋VABCDEFGH ‎＝×402×60＋402×20‎ ‎＝64 000(cm3)．‎ ‎10．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．‎ ‎(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；‎ ‎(2)求这个几何体的表面积及体积．‎ 解　(1)这个几何体的直观图如图所示．‎ ‎(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直 三棱柱B‎1C1Q-A1D1P的组合体．‎ 由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得 PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积 S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，‎ 体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．‎ B级　综合创新备选 ‎(时间：30分钟　满分：40分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(2011·江门一模)某型号的儿童蛋糕上半部分是半球，下半部分是圆锥，其三视图如图所示，则该型号蛋糕的表面积S＝(　　)．‎ A．115 π B．110 π C．105 π D．100 π 解析　由三视图可知，圆锥的母线长为＝13，该型号蛋糕的表面积S＝2π×52＋π×5×13＝115 π.‎ 答案　A ‎2．(2011·辽宁)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为(　　)．‎ A．3 B．‎2 C. D．1‎ 解析　由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中 ，BD＝(4－x)，所以x＝(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝S△ABD×4＝.‎ 答案　C 二、填空题(每小题4分，共8分)‎ ‎3．(2011·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．‎ 解析　由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.‎ 设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝R2.‎ 而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4π＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.‎ 答案　2πR2‎ ‎4．(2012·南京调研)如图，已知正三棱柱ABCA1B‎1C1的底面边长为‎2 cm，高为‎5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.‎ 解析　根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13 (cm)．‎ 答案　13‎ 三、解答题(共22分)‎ ‎5．(10分)(2012·阳泉月考)已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S.‎ 解　由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，‎ 其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相 对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、‎ 右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示．‎ ‎(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.‎ ‎(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝＝4.‎ 故几何体的侧面面积为：‎ S＝2×＝40＋24.‎ ‎6．(12分)四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.‎ ‎(1)求该四面体的体积的最大值；‎ ‎(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．‎ 解　(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝‎ CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，‎ BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，‎ ‎∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC ‎＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD ‎＝·S△BPC·AD ‎＝··a ·x ‎＝ ‎≤·＝a3(当且仅当x＝a时取等号)．‎ ‎∴该四面体的体积的最大值为a3.‎ ‎(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，‎ ‎∴S表＝2×a2＋2××a× ‎＝a2＋a×＝a2＋ ‎＝a2.‎