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- 2021-05-13 发布
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2014年天津高考文科数学试题逐题详解 (纯word解析版)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
【2014年天津卷(文01)】是虚数单位,复数
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【2014年天津卷(文02)】设变量、满足约束条件,则目标函数的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画出可行域,如图所示.解方程组得即点A(1,1).
当目标函数线过可行域内A点时,目标函数有最小值,即zmin=1×1+2×1=3.
【2014年天津卷(文03)】已知命题p:∀x>0,总有(x+1)ex>1,则¬p为( )
A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.∃x0>0,使得(x0+1)ex0≤1
C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1 D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1
【答案】B
【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知,¬p为∃x0>0,使得(x0+1)e≤1,
【2014年天津卷(文04)】设a=log2π,b=logπ,c=π﹣2,则( )
A.
a>b>c
B.
b>a>c
C.
a>c>b
D.
c>b>a
【答案】C
【解析】log2π>1,logπ<0,0<π﹣2<1,即a>1,b<0,0<c<1,∴a>c>b
9
【2014年天津卷(文05)】设{an}的首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( )
A.
2
B.
﹣2
C.
D.
﹣
【答案】D
【解析】∵{an}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,∴S1=a1,S2=2a1﹣1,S4=4a1﹣6,
由S1,S2,S4成等比数列,得:,即,解得:
【2014年天津卷(文06)】已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
A.
﹣=1
B.
﹣=1
C.
﹣=1
D.
﹣=1
【答案】A
【解析】令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,
∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,
∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为﹣=1
【2014年天津卷(文07)】如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:
①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.
所有正确结论的序号是( )
A.
①②
B.
③④
C.
①②③
D.
①②④
9
【答案】D
【解析】∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,∴∠DBC=∠DAC.
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,∴∠FBD=∠BAF.
∵BD是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.
又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.
由,FB2=FD•FA.即结论②成立.由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立
【2014年天津卷(文08)】已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为( )
A.
B.
C.
π
D.
2π
【答案】C
【解析】 ∵已知函数f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+)(ω>0),x∈R,
在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,正好等于f(x)的周期的倍,
设函数f(x)的最小正周期为T,则=,∴T=π
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
【2014年天津卷(文09)】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为,则应从一年级本科生中抽取____名学生.
【答案】60
【解析】由分层抽样的方法可得,从一年级本科生中抽取学生人数为300×=60
【2014年天津卷(文10)】一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为_________.
9
【答案】
【解析】 由三视图可得,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V=π×12×4+π×22×2=.
【2014年天津卷(文11)】阅读如图的框图,运行相应的程序,输出S的值为 .
【答案】-4
【解析】依题由框图知,第一次循环得到:S=﹣8,n=2;第二次循环得到:S=﹣4,n=1;退出循环,输出﹣4
【2014年天津卷(文12)】函数f(x)=lgx2的单调递减区间是 .
【答案】(﹣∞,0)
【解析】 方法一:y=lgx2=2lg|x|,∴当x>0时,f(x)=2lgx在(0,+∞)上是增函数;
当x<0时,f(x)=2lg(﹣x)在(﹣∞,0)上是减函数.
∴函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0).
方法二:原函数是由复合而成,∵t=x2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数;
又y=lgt在其定义域上为增函数,∴f(x)=lgx2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增 函数,∴函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0)
【2014年天津卷(文13)】已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF、若•=1,则λ的值为 .
【答案】2
【解析】∵BC=3BE,DC=λDF,∴=,=,
=+=+=+,=+=+=+,
9
∵菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,∴||=||=2,•=2×2×cos120°=﹣2,
∵•=1,∴(+)•(+)=++(1+)•=1,
即×4+×4﹣2(1+)=1,整理得,解得λ=2
【2014年天津卷(文14)】已知函数f(x)=,若函数y=f(x)﹣a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为 .
【答案】(1,2)
【解析】由y=f(x)﹣a|x|=0得f(x)=a|x|,作出函数y=f(x),y=a|x|的图象,
当a≤0,不满足条件,∴a>0,
当a=2时,此时y=a|x|与f(x)有三个 交点,
当a=1时,此时y=a|x|与f(x)有五个 交点,
∴要使函数y=f(x)﹣a|x|恰有4个零点,则1<a<2
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
【2014年天津卷(文15)】(本小题满分13分)
某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;
(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
解:(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果有:(A,B)、(A,C)、(A,X)、(A,Y)、(A,Z)、
(B,C)、(B,X)、(B,Y)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)、(C,Z)、(X,Y)、(X,Z )、(Y,Z)
共计15个结果.
(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,
则事件M包含的结果有:(A,Y)、(A,Z)、(B,X)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y),共计6个结果,
9
故事件M发生的概率为 =
【2014年天津卷(文16)】(本小题满分13分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.
解:(Ⅰ)将sinB=sinC,利用正弦定理化简得:b=c,代入a﹣c=b,得:a﹣c=c,即a=2c,
∴cosA===;
(Ⅱ)∵cosA=,A为三角形内角,∴sinA==,
∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣,sin2A=2sinAcosA=,
则cos(2A﹣)=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=
【2014年天津卷(文17)】(本小题满分13分)
如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点.
(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)若二面角P﹣AD﹣B为60°,
(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;
(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
解:(Ⅰ)证明:连结AC,AC∩BD=H,∵底面ABCD是平行四边形,∴H为BD中点,
∵E是棱AD的中点.∴在△ABD中,EH∥AB,
又∵AB⊂平面PAB,EH⊄平面PAD,∴EH∥平面PAB.同理可证,FH∥平面PAB.
又∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面PAB,∵EF⊂平面EFH,∴EF∥平面PAB;
(Ⅱ)(i)如图,连结PE,BE.∵BA=BD=,AD=2,PA=PD=,∴BE=1,PE=2.
又∵E为AD的中点,∴BE⊥AD,PE⊥AD,
∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角,即∠PEB=60°,∴PB=.
9
∵△PBD中,BD2+PB2=PD2,∴PB⊥BD,同理PB⊥BA,∴PB⊥平面ABD,
∵PB⊂平面PBC,∴平面PAB⊥平面ABCD;
(ii)由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA,∵BA=BD=,AD=2,∴BD⊥BA,
∴BD,BA,BP两两垂直,
以B为坐标原点,分别以BD,BA,BP为X,Y,Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP,
则有A(0,,0),B(0,0,0),C(,﹣,0),D(,0,0),P(0,0,),
∴=(,﹣,0),=(0,0,),
设平面PBC的法向量为,∵,∴,令x=1,则y=1,z=0,
故=(1,1,0),∵E,F分别是棱AD,PC的中点,∴E(,,0),F(,﹣,),
∴=(0,,),∴===﹣,
即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为
【2014年天津卷(文18)】(本小题满分13分)
设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2,求椭圆的方程.
解:(Ⅰ)依题意可知=•2c,∵b2=a2﹣c2,∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2,∴a2=2c2,∴e==.
9
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2=2c2,∴b2=a2﹣c2=c2,∴椭圆方程为+=1,B(0,c),F1(﹣c,0)
设P点坐标(csinθ,ccosθ),圆心为O∵PB为直径,∴BF1⊥PF1,
∴k•BF1kPF1=•=﹣1,求得sinθ=﹣或0(舍去),
由椭圆对称性可知,P在x轴下方和上方结果相同,只看在x轴上方时,
cosθ==∴P坐标为(﹣c,c),∴圆心坐标为(﹣c,c),
∴r=|OB|==c,|OF2|==c,
∵r2+|MF2|2=|OF2|2,∴+8=c2,∴c2=3,∴a2=6,b2=3,∴椭圆的方程为+=1
【2014年天津卷(文19)】(本小题满分14分)
已知函数f(x)=x2﹣ax3(a>0),x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)f′(x)=2x﹣2ax2=2x(1﹣ax),
∵a>0,∴当x<0或x时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0,
f(x)单调递减区间为:(﹣∞,0)和,单调递增区间为,
当x=0时,有极小值f(0)=0,当x=时,有极大值f()=;
(Ⅱ)由f(0)=f()=0及(Ⅰ)知,当x∈(0,)时,f(x)>0;当x∈(,+∞)时,f(x)<0.
设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B={|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则对于任意的x1∈(2,+ ∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,等价于A⊆B,显然A≠∅
下面分三种情况讨论:
(1)当>2,即0<a<时,由f()=0可知,0∈A,而0∈B,∴A不是B的子集;
9
(2)当1≤≤2,即时,f(2)≤0,且f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(﹣∞,f(2)),∴A
⊆(﹣∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(﹣∞,0),即(﹣∞,0)⊆B,∴A⊆B;
(3)当<1,即a>时,有f(1)<0,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=(,0),A=(﹣∞, f(2)),∴A不是B的子集.综上,a的取值范围是[]
【2014年天津卷(文20)】(本小题满分14分)
已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.
(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;
(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.
(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,xi∈M,i=1,2,3}.
可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.
(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,
∴an﹣bn≤﹣1.可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++
≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]
=<0.
∴s<t
9