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- 2021-05-13 发布
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专题突破练16 空间中的垂直与几何体的体积
1.(2018江苏卷,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.
求证:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
2.如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
3.(2018江西南昌三模,文18)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD
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为正方形,AB=2,AE=3,DE=,EF=,cos∠CDE=,且EF∥BD.
(1)证明:平面ABCD⊥平面EDC;
(2)求三棱锥A-EFC的体积.
4.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.
(1)证明:AC⊥HD';
(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.
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5.(2018河南郑州三模,文19)如图,四棱锥E-ABCD中,AD∥BC,AD=AB=AE=BC=1,且BC⊥底面ABE,M为棱CE的中点,
(1)求证:直线DM⊥平面CBE;
(2)当四面体D-ABE的体积最大时,求四棱锥E-ABCD的体积.
6.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
7.(2018全国卷3,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
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(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.
8.如图(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于点E,把△DEC沿CE折到△D'EC的位置,使D'A=2,如图(2).若G,H分别为D'B,D'E的中点.
(1)求证:GH⊥D'A;
(2)求三棱锥C-D'BE的体积.
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参考答案
专题突破练16 空间中的垂直与
几何体的体积
1.证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.
因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.
又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,
所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,
所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1,
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
2.(1)证明 取AC的中点O,连接DO,BO.
因为AD=CD,所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形,
所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.
(2)解 连接EO.
由(1)及题设知∠ADC=90°,
所以DO=AO.
在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.
又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.
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由题设知△AEC为直角三角形,
所以EO=AC.
又△ABC是正三角形,且AB=BD,
所以EO=BD.
故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.
3.(1)证明 ∵AB=2,AE=3,DE=,由勾股定理得AD⊥DE.又正方形ABCD中AD⊥DC,且DE∩DC=D,
∴AD⊥平面EDC.
∵AD⊂面ABCD,
∴平面ABCD⊥平面EDC.
(2)解 由已知cos∠CDE=,连接AC交BD于G.
作OE⊥CD于O,
则OD=DE·cos∠CDE=1,OE=2.
又由(1)知,平面ABCD⊥平面EDC,平面ABCD∩平面EDC=CD,
OE⊂平面EDC,得OE⊥面ABCD.
由EF∥BD,EF=,知四边形DEFG为平行四边形,即DE∥FG,
而VA-EFC=VE-AFC,进而VA-EFC=VE-AFC=VD-AFC=VF-ADC.又由EF∥BD,VF-ADC=VE-ADC=×2×2×2=,所以,三棱锥A-EFC的体积为.
4.(1)证明 由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.
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(2)解 由EF∥AC得.
由AB=5,AC=6得DO=BO==4.
所以OH=1,D'H=DH=3.
于是OD'2+OH2=(2)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',
又AC⊥BD,BD∩HD'=H,
所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,
所以,OD'⊥平面ABC.
又由得EF=.
五边形ABCFE的面积S=×6×8-×3=.
所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=×2.
5.解 (1)∵AE=AB,设N为EB的中点,
∴AN⊥EB.
又BC⊥平面AEB,AN⊂平面AEB,
∴BC⊥AN.
又BC∩BE=B,∴AN⊥平面BCE.
∵MN∥BC,MN=BC,
∴AD