高考数学新增分大一轮复习不等式22一元二次不等式及其解法讲义含解析 11页

‎§2.2　一元二次不等式及其解法 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．‎ ‎2.会解一元二次不等式.‎ 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.‎ 一元二次不等式的解集 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c ‎(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0‎ ‎(a>0)的根 有两相异实根x1，x2‎ ‎(x10‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x∈R}‎ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ‎{x|x1< x0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？‎ 提示　ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x 轴上方的部分所对应的x的取值范围．‎ ‎2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？‎ 提示　显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)‎ ‎(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)‎ ‎(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)‎ ‎(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P80A组T4]已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于(　　)‎ A．{x|－23} D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}‎ 答案　B 解析　∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．‎ 由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．‎ 故选B.‎ ‎3．[P80A组T2]y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________________．‎ 答案　∪ 解析　由题意，得3x2－2x－2>0，‎ 令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，‎ ‎∴3x2－2x－2>0的解集为∪.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)‎ 答案　(－4,1)‎ 解析　由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，‎ 得－40的解集是，则a＋b＝________.‎ 答案　－14‎ 解析　由题意可知，x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，‎ ‎∴解得∴a＋b＝－14.‎ ‎6．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2] B．(－2,2]‎ C．(－2,2) D．(－∞，2)‎ 答案　B 解析　由解得－20}，‎ ‎∴A∩B＝{x|00)．‎ 解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，‎ 因为a>0，所以(x－1)<0.‎ 所以当a>1时，解为1时，不等式的解集为.‎ 思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．‎ 跟踪训练1解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．‎ 解　原不等式可化为12x2－ax－a2>0，‎ 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，‎ 解得x1＝－，x2＝.‎ 当a>0时，不等式的解集为∪；‎ 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；‎ 当a<0时，不等式的解集为∪.‎ 题型二　一元二次不等式恒成立问题 命题点1　在R上的恒成立问题 例3已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．‎ 当m≠0时，则即－40时，g(x)在[1,3]上是增函数，‎ 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，‎ 所以m<，所以00，‎ 又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.‎ 因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．‎ 所以m的取值范围是.‎ 引申探究 ‎1．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？‎ 解　若f(x)<5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，‎ 即m≥恒成立，则m≥max，‎ 又x∈[1,3]，得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞)．‎ ‎2．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围．‎ 解　由题意知f(x)<5－m有解，‎ 即m<有解，则m0的解集为{x|－10的解集为(　　)‎ A. B. C．{x|－21}‎ 答案　A 解析　∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10，解得，故选A.‎ ‎3．若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)‎ A．(－3,0) B．[－3,0] C．[－3,0) D．(－3,0]‎ 答案　A 解析　由题意可得 解得－3x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时，f(x)min＝5，存在x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.‎ ‎5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－4,1] B．[－4,3]‎ C．[1,3] D．[－1,3]‎ 答案　B 解析　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1320，‎ 即x2－28x＋192<0，解得120，即当x∈[1,2]时，均有x2.‎ 当a<0时，x－a>0，即当x∈[1,2]时，均有x2＋2a<0，‎ 则(x2＋2a)max<0，即4＋2a<0，得a<－2.‎ 综上可得，a>2或a<－2.‎ ‎11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.‎ ‎(1)解关于a的不等式f(1)>0；‎ ‎(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．‎ 解　(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，‎ ‎∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，‎ 即a2－6a－3<0，解得3－2b的解集为(－1,3)，‎ ‎∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，‎ ‎∴ 解得 ‎12．(2018·浙江绍兴一中模拟)已知f(x)＝x2－2ax－3a2.‎ ‎(1)设a＝1，解不等式f(x)>0；‎ ‎(2)若不等式f(x)，且当x∈[1,4a]时，|f(x)|≤4a恒成立，试确定a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，不等式f(x)>0，即x2－2x－3>0，‎ 解得x>3或x<－1.‎ 故当a＝1时，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．‎ ‎(2)f(x)－x＝x2－(2a＋1)x－3a2，‎ 令g(x)＝x2－(2a＋1)x－3a2，‎ 若a＝0，则f(x)1，因为|f(a)|＝4a2，|f(4a)|＝5a2，‎ 所以由得此不等式的解集为∅.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎13．若不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为__________．‎ 答案　[－8,4]‎ 解析　因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，‎ 由一元二次不等式的性质可知，‎ Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，‎ 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.‎ ‎14．已知b，c∈R，若关于x的不等式0≤x2＋bx＋c≤4的解集为[x1，x2]∪[x3，x4](x2时，f′(t)>0，f(t)单调递增．‎ 据题意可知f(t)min＝f＝4.‎ ‎15．(2019·杭州高级中学仿真测试)若关于x的不等式(x2－a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则2a＋b的最小值为________．‎ 答案　0‎ 解析　要使2a＋b取得最小值，尽量考虑a，b取负值的情况，因此当a0，与b≤0矛盾；‎ 当a<00.‎ 综上可知，2a＋b的最小值为0.‎ ‎16．(2018·浙江省海盐高级中学期中)已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a，若集合A＝{x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．‎ 解　∵集合A＝{x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素，‎ 故方程f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a＝0有两个实根，‎ 即Δ＝(a＋2)2－4(2－a)>0，亦即a2＋8a－4>0，‎ 方程x2－(a＋2)x＋2－a＝0的根为 x1＝，x2＝.‎ 又∵f(0)＝2－a，若f(0)＝2－a<0，‎ 则a>2，此时x2＝>1，‎ 则集合A＝{x∈N|f(x)<0}中至少有两个元素0,1，不符合题意；‎ 故f(0)＝2－a≥0，a≤2，‎ 此时要使集合A＝{x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素，‎ 需满足即 解得