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  • 2021-05-13 发布

高考数学新增分大一轮复习不等式22一元二次不等式及其解法讲义含解析

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‎§2.2 一元二次不等式及其解法 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.‎ ‎2.会解一元二次不等式.‎ 以理解一元二次不等式的解法为主,常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法,有时也在导数的应用中用到,加强函数与方程思想,分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查,属于低档题,若在导数的应用中考查,难度较高.‎ 一元二次不等式的解集 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c ‎(a>0)的图象 方程ax2+bx+c=0‎ ‎(a>0)的根 有两相异实根x1,x2‎ ‎(x10‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x∈R}‎ ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ‎{x|x1< x0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?‎ 提示 ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x 轴上方的部分所对应的x的取值范围.‎ ‎2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么?‎ 提示 显然a≠0.ax2+bx+c>0恒成立的条件是ax2+bx+c<0恒成立的条件是 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )‎ ‎(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( √ )‎ ‎(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )‎ ‎(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( × )‎ ‎(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P80A组T4]已知集合A={x|x2-x-6>0},则∁RA等于(  )‎ A.{x|-23} D.{x|x≤-2}∪{x|x≥3}‎ 答案 B 解析 ∵x2-x-6>0,∴(x+2)(x-3)>0,∴x>3或x<-2,即A={x|x>3或x<-2}.在数轴上表示出集合A,如图所示.‎ 由图可得∁RA={x|-2≤x≤3}.‎ 故选B.‎ ‎3.[P80A组T2]y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________________________.‎ 答案 ∪ 解析 由题意,得3x2-2x-2>0,‎ 令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,‎ ‎∴3x2-2x-2>0的解集为∪.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.不等式-x2-3x+4>0的解集为________.(用区间表示)‎ 答案 (-4,1)‎ 解析 由-x2-3x+4>0可知,(x+4)(x-1)<0,‎ 得-40的解集是,则a+b=________.‎ 答案 -14‎ 解析 由题意可知,x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,‎ ‎∴解得∴a+b=-14.‎ ‎6.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2] B.(-2,2]‎ C.(-2,2) D.(-∞,2)‎ 答案 B 解析 由解得-20},‎ ‎∴A∩B={x|00).‎ 解 原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,‎ 因为a>0,所以(x-1)<0.‎ 所以当a>1时,解为1时,不等式的解集为.‎ 思维升华对含参的不等式,应对参数进行分类讨论:①根据二次项系数为正、负及零进行分类.②根据判别式Δ判断根的个数.③有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.‎ 跟踪训练1解不等式12x2-ax>a2(a∈R).‎ 解 原不等式可化为12x2-ax-a2>0,‎ 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,‎ 解得x1=-,x2=.‎ 当a>0时,不等式的解集为∪;‎ 当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);‎ 当a<0时,不等式的解集为∪.‎ 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R上的恒成立问题 例3已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解 当m=0时,f(x)=-1<0恒成立.‎ 当m≠0时,则即-40时,g(x)在[1,3]上是增函数,‎ 所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,‎ 所以m<,所以00,‎ 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.‎ 因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.‎ 所以m的取值范围是.‎ 引申探究 ‎1.若将“f(x)<5-m恒成立”改为“f(x)<5-m无解”,如何求m的取值范围?‎ 解 若f(x)<5-m无解,即f(x)≥5-m恒成立,‎ 即m≥恒成立,则m≥max,‎ 又x∈[1,3],得m≥6,即m的取值范围为[6,+∞).‎ ‎2.若将“f(x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)<5-m成立”,如何求m的取值范围.‎ 解 由题意知f(x)<5-m有解,‎ 即m<有解,则m0的解集为{x|-10的解集为(  )‎ A. B. C.{x|-21}‎ 答案 A 解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-10,解得,故选A.‎ ‎3.若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(  )‎ A.(-3,0) B.[-3,0] C.[-3,0) D.(-3,0]‎ 答案 A 解析 由题意可得 解得-3x2-2x+5,设f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x∈[2,4],当x=2时,f(x)min=5,存在x∈[2,4]使x2-2x+5-m<0成立,即m>f(x)min,∴m>5.故选B.‎ ‎5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是(  )‎ A.[-4,1] B.[-4,3]‎ C.[1,3] D.[-1,3]‎ 答案 B 解析 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解集为{x|x=1},此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1320,‎ 即x2-28x+192<0,解得120,即当x∈[1,2]时,均有x2.‎ 当a<0时,x-a>0,即当x∈[1,2]时,均有x2+2a<0,‎ 则(x2+2a)max<0,即4+2a<0,得a<-2.‎ 综上可得,a>2或a<-2.‎ ‎11.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.‎ ‎(1)解关于a的不等式f(1)>0;‎ ‎(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.‎ 解 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,‎ ‎∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,‎ 即a2-6a-3<0,解得3-2b的解集为(-1,3),‎ ‎∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,‎ ‎∴ 解得 ‎12.(2018·浙江绍兴一中模拟)已知f(x)=x2-2ax-3a2.‎ ‎(1)设a=1,解不等式f(x)>0;‎ ‎(2)若不等式f(x),且当x∈[1,4a]时,|f(x)|≤4a恒成立,试确定a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,不等式f(x)>0,即x2-2x-3>0,‎ 解得x>3或x<-1.‎ 故当a=1时,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).‎ ‎(2)f(x)-x=x2-(2a+1)x-3a2,‎ 令g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,‎ 若a=0,则f(x)1,因为|f(a)|=4a2,|f(4a)|=5a2,‎ 所以由得此不等式的解集为∅.‎ 综上,a的取值范围是.‎ ‎13.若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为__________.‎ 答案 [-8,4]‎ 解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,‎ 由一元二次不等式的性质可知,‎ Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,‎ 所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.‎ ‎14.已知b,c∈R,若关于x的不等式0≤x2+bx+c≤4的解集为[x1,x2]∪[x3,x4](x2时,f′(t)>0,f(t)单调递增.‎ 据题意可知f(t)min=f=4.‎ ‎15.(2019·杭州高级中学仿真测试)若关于x的不等式(x2-a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,则2a+b的最小值为________.‎ 答案 0‎ 解析 要使2a+b取得最小值,尽量考虑a,b取负值的情况,因此当a0,与b≤0矛盾;‎ 当a<00.‎ 综上可知,2a+b的最小值为0.‎ ‎16.(2018·浙江省海盐高级中学期中)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2-a,若集合A={x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素,求实数a的取值范围.‎ 解 ∵集合A={x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素,‎ 故方程f(x)=x2-(a+2)x+2-a=0有两个实根,‎ 即Δ=(a+2)2-4(2-a)>0,亦即a2+8a-4>0,‎ 方程x2-(a+2)x+2-a=0的根为 x1=,x2=.‎ 又∵f(0)=2-a,若f(0)=2-a<0,‎ 则a>2,此时x2=>1,‎ 则集合A={x∈N|f(x)<0}中至少有两个元素0,1,不符合题意;‎ 故f(0)=2-a≥0,a≤2,‎ 此时要使集合A={x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素,‎ 需满足即 解得