高考江苏数学试题详细解析word版含理科附加题201069 12页

绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。‎ ‎2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。‎ ‎5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ ‎6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。‎ 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.‎ ‎[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.‎ ‎2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.‎ ‎[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。‎ ‎3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.‎ ‎[解析]考查古典概型知识。‎ ‎4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。‎ ‎[解析]考查频率分布直方图的知识。‎ ‎100×（0.001+0.001+0.004）×5=30‎ ‎5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_______▲_________‎ ‎[解析]考查函数的奇偶性的知识。‎ g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。‎ ‎6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______‎ ‎[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。‎ ‎7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______‎ ‎[解析]考查流程图理解。输出。‎ ‎8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____‎ ‎[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 ‎ 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，‎ 所以。‎ ‎9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____[来源 ‎[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，‎ 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。‎ ‎10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。‎ ‎[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，‎ 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为 ‎11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。‎ ‎[解析] 考查分段函数的单调性。‎ ‎12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。。来源 ‎[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。‎ ‎，，，的最大值是27。‎ ‎13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=____▲_____。‎ ‎[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。‎ ‎（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。‎ 当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，‎ ‎，= 4。‎ ‎（方法二），‎ 由正弦定理，得：上式=‎ ‎14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ‎,则S的最小值是____▲____。‎ ‎[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。‎ 设剪成的小正三角形的边长为，则：‎ ‎（方法一）利用导数求函数最小值。‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，递减；当时，递增；‎ 故当时，S的最小值是。‎ ‎（方法二）利用函数的方法求最小值。‎ 令，则：‎ 故当时，S的最小值是。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15、（本题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎[解析] 本题考查中点坐标公式、两点间距离公式、向量的数量积等。‎ ‎（1）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ 两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎（2）由题意知：，‎ ‎16、（本题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900。‎ (1) 求证：PC⊥BC；‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。‎ ‎[解析] 本题主要考查直线与平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。‎ ‎（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC，‎ 又∠BCD=900，CD⊥BC，‎ 所以BC⊥平面PCD，故PC⊥BC。‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎（方法二）体积法：，，‎ ‎，‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎17、（本题满分14分）‎ 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。‎ (1) 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值；‎ (1) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大。‎ ‎[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎（1），同理：，。‎ ‎ AD—AB=DB，，解得：。‎ ‎（2），‎ ‎，（当且仅当时，取等号）‎ 故当时，最大，α-β最大。‎ ‎18、（本题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A、B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,‎ ‎①设动点P满足,求点P的轨迹；‎ ‎②设，求点T的坐标；‎ ‎③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点。（其坐标与m无关）。‎ ‎[解析] 本题主要考查求曲线的方程方法、直线方程、解方程组等。考查运算能力。‎ ‎①设P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。‎ ‎。点P的轨迹为直线。‎ ‎②将分别代入椭圆方程，得：M（2，）、N（，）‎ 直线MTA方程为：，直线NTB 方程为：。‎ 联立，解得：，所以点T的坐标为。‎ ‎③点T的坐标为 直线MTA方程为：，直线NTB 方程为：。‎ 分别与椭圆联立方程组，‎ 解得：、‎ 直线MN方程为：‎ 令，解得：。直线MN必过x轴上的一定点（1，0）。‎ ‎19、（本题满分16分）‎ 设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。‎ ‎①求数列的通项公式（用表示）；‎ ‎②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。‎ ‎[解析] 本题主要考查等差数列的有关知识、恒成立问题。‎ ‎①由题意知：， ‎ ‎，‎ 化简，得：‎ ‎，‎ 当时，，适合情形。‎ 故所求 ‎②， 恒成立。‎ 又，，的最大值为。‎ ‎20、（本题满分16分）‎ 设使定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。‎ ‎(1)设函数，其中为实数。‎ ‎①求证：函数具有性质；‎ ‎②求函数的单调区间。‎ ‎(2)已知函数具有性质，给定设为实数。‎ ‎，，且，‎ 若||<||，求的取值范围。‎ ‎[解析] 本题主要考查新定义函数的概念、函数的单调性。分类讨论思想。‎ ‎①‎ ‎∵时，恒成立，‎ ‎∴函数具有性质；‎ ‎②设，与的符号相同。‎ 当时，，，故此时在区间上递增；‎ 当时，对于，有，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，而，‎ 对于，总有，，故此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。‎ ‎(2)由题意，得：‎ 又对任意的都有>0，‎ 所以对任意的都有，在上递增。‎ 又。‎ 当时，，且，‎ ‎ ‎ 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。‎ ‎ ‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ (1) 几何证明选讲 AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC。‎ ‎ ‎ ‎[解析] 本题主要考查平面几何的推理证明。‎ 证明：连OD，则：OD⊥DC， ‎ 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，‎ 所以∠DCO=300，∠DOC=600，‎ 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。‎ (2) 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查矩阵的乘法运算及变换。‎ (1) 参数方程与极坐标 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。‎ 解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，‎ 又圆与直线相切，所以解得：，或。‎ (2) 不等式证明选讲 已知实数a、b≥0，求证：。‎ ‎[解析] 本题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。‎ 证明：‎ 因为实数a、b≥0，所以上式≥0。即有。‎ 22、 ‎（本题满分10分）‎ 某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立。‎ （1） 记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列；‎ （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ ‎[解析] 本题主要考查概率的基本知识，考查探究能力。满分10分。‎ 解：（1）x的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，依题意，至少需要生产3件一等品。‎ 所求概率为 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。‎ 23、 ‎（本题满分10分）‎ 已知△ABC的三边长为有理数。‎ （1） 求证cosA是有理数；‎ （2） 对任意正整数n，求证cosnA也是有理数。‎ ‎[解析] 本题主要考查推理证明能力。满分10分。‎ （1） 证明：设三边长分别为，，∵是有理数，‎ 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，∴cosA是有理数。‎ ‎（2）①当时，显然cosA是有理数；‎ 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；‎ ‎②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA也是有理数。‎