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- 2021-05-13 发布
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2017年高考数学试题分类汇编:不等式
1(2017北京文)已知,,且x+y=1,则的取值范围是__________.
【考点】3W:二次函数的性质.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用.
【分析】利用已知条件转化所求表达式,通过二次函数的性质求解即可.
【解答】解:x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2=x2+(1﹣x)2=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],
则令f(x)=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],函数的对称轴为:x=,开口向上,
所以函数的最小值为:f()==.
最大值为:f(1)=2﹣2+1=1.
则x2+y2的取值范围是:[,1].
故答案为:[,1].
【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.
2(2017浙江)已知aR,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则的取值范围是___________.
【考点】3H:函数的最值及其几何意义.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用.
【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5,进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5,进而计算可得结论.
【解答】解:由题可知|x+﹣a|+a≤5,即|x+﹣a|≤5﹣a,所以a≤5,
又因为|x+﹣a|≤5﹣a,
所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a,
所以2a﹣5≤x+≤5,
又因为1≤x≤4,4≤x+≤5,
所以2a﹣5≤4,解得a≤,
故答案为:(﹣∞,].
【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
3(2017新课标Ⅲ文数)[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式≥1的解集;
(2)若不等式≥x2–x +m的解集非空,求实数m的取值范围.
【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有
【专题】32 :分类讨论;33 :函数思想;4C :分类法;4R:转化法;51 :函数的性质及应用;5T :不等式.
【分析】(1)由于f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,解不等式f(x)≥1可分﹣1≤x≤2与x>2两类讨论即可解得不等式f(x)≥1的解集;
(2)依题意可得m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x,分x≤1、﹣1<x<2、x≥2三类讨论,可求得g(x)max=,从而可得m的取值范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,
即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.
由(1)知,g(x)=,
当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1,
∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=∈(﹣1,2),
∴g(x)≤g()=﹣+﹣1=;
当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2,
∴g(x)≤g(2)=﹣4+2+3=1;
综上,g(x)max=,
∴m的取值范围为(﹣∞,].
【点评】本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.
4(2017新课标Ⅲ理数).[选修45:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空,求m的取值范围.
解:(1)当时 无解
当时∴
当时综上所述的解集为 .
(2)原式等价于存在,使 成立,即
设
由(1)知 当时,
5(2017新课标Ⅱ文)[选修4−5:不等式选讲](10分)
已知.证明:
(1);
(2).
【解析】(1)
(2)因为
所以,因此a+b≤2.
6(2017新课标Ⅱ理)[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知.证明:
(1);
(2).
【解析】(1)
(2)因为
所以,因此a+b≤2.
7(2017新课标Ⅰ文数)[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
解:(1)当时,不等式等价于.①
当时,①式化为,无解;
当时,①式化为,从而;
当时,①式化为,从而.
所以的解集为.
(2)当时,.
所以的解集包含,等价于当时.
又在的最小值必为与之一,所以且,得.
所以的取值范围为.
8(2017新课标Ⅰ理数)设x、y、z为正数,且,则
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
【考点】72:不等式比较大小.菁优网版权所有
【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;59 :不等式的解法及应用.
【分析】x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.可得3y=,2x=,5z=.根据==,>=.即可得出大小关系.
另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.==>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.
【解答】解:x、y、z为正数,
令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
则x=,y=,z=.
∴3y=,2x=,5z=.
∵==,>=.
∴>lg>>0.
∴3y<2x<5z.
另解:x、y、z为正数,
令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
则x=,y=,z=.
∴==>1,可得2x>3y,
==>1.可得5z>2x.
综上可得:5z>2x>3y.
解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.
故选:D.
【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
9(2017新课标Ⅰ理数).[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
【解析】(1)当时,不等式等价于.①
10(2017天津文)若a,,,则的最小值为 .
【考点】7F:基本不等式.菁优网版权所有
【专题】34 :方程思想;4R:转化法;5T :不等式.
【分析】【方法一】两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.
【方法二】将拆成+,利用柯西不等式求出最小值.
【解答】解:【解法一】a,b∈R,ab>0,
∴≥
=
=4ab+≥2=4,
当且仅当,
即,
即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;
∴上式的最小值为4.
【解法二】a,b∈R,ab>0,
∴=+++≥4=4,
当且仅当,
即,
即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;
∴上式的最小值为4.
故答案为:4.
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题.
11(2017天津理)若,,则的最小值为___________.
【答案】
【解析】 ,当且仅当时取等号
12(2017山东文)若直线 过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
【答案】
(7)(2017山东理)若,且,则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】
,所以选B.
13(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是 ▲ .
【解析】总费用,当且仅当,即时等号成立.
14(2017年江苏卷)[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知为实数,且证明:
【解析】由柯西不等式可得,
即,故.
15(2017北京理)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________.
【考点】FC:反证法.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.
【分析】设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题,则若a>b>c,则a+b≤c”是真命题,举例即可,本题答案不唯一
【解答】解:设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题,
则若a>b>c,则a+b≤c”是真命题,
可设a,b,c的值依次﹣1,﹣2,﹣3,(答案不唯一),
故答案为:﹣1,﹣2,﹣3
【点评】本题考查了命题的真假,举例说明即可,属于基础题.
16.(2017•新课标Ⅲ文数)设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是( )
A.[﹣3,0] B.[﹣3,2] C.[0,2] D.[0,3]
【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;31 :数形结合;35 :转化思想;5T :不等式.
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可.
【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:
目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,
由解得A(0,3),
由解得B(2,0),
目标函数的最大值为:2,最小值为:﹣3,
目标函数的取值范围:[﹣3,2].
故选:B.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键.