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- 2021-05-13 发布
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广东省各地市2010年高考数学最新联考试题(3月-6月)分类汇编第7部分:立体几何
一、选择题:
7. (广东省惠州市2010届高三第三次调研理科) 用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示的图形,则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
【解析】由正视图、侧视图可知,体积最小时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;体积最大时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个,故这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.故选A.
9.(广东省惠州市2010届高三第三次调研文科)
如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是
边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那
么这个几何体的全面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图知空间几何体为圆柱,∴全面积为,∴选A.
【考点定位】本题考查立体几何中三视图,三视图是新课标的新增内容,在以后的高考中有加大的趋势。
【备考要点】复习时,仍要立足课本,务实基础。
(3)(广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题)如图,在矩形中,是的中点,沿将折起,使二面角
为,则四棱锥的体积是( A )
A、 B、 C、 D、
2.(2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题)设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点﹐球面上有两个点,的坐标分别为,,则( C )
A. B.12 C. D.
5.(2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题)已知:直线与平面内无数条直线垂直,:直线与平面垂直.则是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由线面垂直的判定定理容易得出答案B.
【考点定位】本题考查立体几何中垂直关系的判定以及简易逻辑的有关知识.这两部分知识都是高考的重点,在高考中选择题、填空题和解答题出现,同时在知识的交汇点命题也是高考的热点.
【备考要点】立足课本,务实基础,同时要注意各部分知识的整合.
3.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)如图1,一个简单组合体的正视图和侧视图都是
由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形,
俯视图是一个半径为的圆(包括圆心).则该
组合体的表面积(各个面的面积的和)等于( C )
A. B.
C. D.
5.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则此几何体的表面积是( B )
A.
B.12
C.
D.8
2.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知,,,是空间四点,命题甲:,,,四点不共面,命题乙:直线和不相交,则甲是乙成立的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题:
11.(2010年广东省揭阳市高考一模试题理科)
某师傅用铁皮制作一封闭的工件,其直观图的三视
图如右图示(单位长度:cm,图中水平线与竖线垂直),
则制作该工件用去的铁皮的面积为 .
(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计)
【答案】
【解析】由三视图可知,该几何体的形状如图,它是底面为正方形,
各个侧面均为直角三角形[的四棱锥,用去的铁皮的面积即该棱锥的
表面积为[.
【考点定位】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图.
三视图是新课标的新增内容,在以后的高考中有加在的力度.
13.(2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题)如图4,点为正方体的中心,点为面的中心,点为的中点,则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是 (填出所有可能的序号).①②③
三、解答题
18.(2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题)(本小题满分14分)
如图6,正方形所在平面与圆所在平面相交于,线段为圆的弦,垂直于圆所在平面,垂足是圆上异于、的点,,圆的直径为9.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的平面角的正切值.
18.(本小题满分14分)
(本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明:∵垂直于圆所在平面,在圆所在平面上,
∴.
在正方形中,,
∵,∴平面.
∵平面,
∴平面平面.
(2)解法1:∵平面,平面,
∴.
∴为圆的直径,即.
设正方形的边长为,
在△中,,
在△中,,
由,解得,.
∴.
过点作于点,作交于点,连结,
G
F
由于平面,平面,
∴.
∵,
∴平面.
∵平面,
∴.
∵,,
∴平面.
∵平面,
∴.
∴是二面角的平面角.
在△中,,,,
∵,
∴.
在△中,,
∴.
故二面角的平面角的正切值为.
解法2:∵平面,平面,
∴.
∴为圆的直径,即.
设正方形的边长为,
在△中,,
在△中,,
由,解得,.
∴.
x
y
z
以为坐标原点,分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,[来源:学§科§
.
设平面的法向量为,
则即
取,则是平面的一个法向量.
设平面的法向量为,
则即
取,则是平面的一个法向量.
∵,
∴.
∴.
故二面角的平面角的正切值为.
A
B
C
D
E
图5
17.(2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题)(本小题满分14分)
如图6,正方形所在平面与三角形所在平面相交于,平面,且,.
(1)求证:平面;
(2)求凸多面体的体积.
17.(本小题满分14分)
(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明:∵平面,平面,
∴.
在正方形中,,
∵,∴平面.
∵,
∴平面.
故所求凸多面体的体积为.
解法2:在△中,,,
A
B
C
D
E
∴.
连接,则凸多面体分割为三棱锥
和三棱锥.
由(1)知,.
∴.
又,平面,平面,
∴平面.
∴点到平面的距离为的长度.
∴.
∵平面,
∴.
∴.
故所求凸多面体的体积为.
A1
A
B1
C1
D1
B
C
D
F
E
18. (广东省惠州市2010届高三第三次调研理科)(本小题满分14分) 如图所示,在正方体中,E为AB的中点
(1)若为的中点,求证: ∥面;
(2) 若为的中点,求二面角的余弦值;
(3)若在上运动时(与、不重合),
求当半平面与半平面成的角时,线段的比.
为等腰梯形, ………………………5分
又 , ………………7分
∴ ∴ 二面角的余弦值为。 ………9分
(3)建立如图所示的坐标系,设正方体的棱长为2,,则
,
∵ ,
A1
A
B1
C1
D1
B
C
D
F
E
x
z
y
∴ 取 ………11分
设面的法向量为,
∵
∴ 取,则
∵ 半平面与半平面成角[
∴ ………………………13分
∴ ,即∴ 线段的比为。 …………14分
注:本题的方法多样,不同的方法请酌情给分。
18.(广东省惠州市2010届高三第三次调研文科)(本题满分14分)
证明:(1),∴ ……2分
又
P
B
C
A
D
E
…………5分
∴ ∴ …………7分
(2)连结交于点,并连结EO, 四边形
为平行四边形
∴为的中点 又为的中点 ∴在中EO为中位线,
∴ …………………………14分
18.(2010年广东省揭阳市高考一模试题理科)(本题满分14分)
右图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,平面,
,且,
(1)求证:BE//平面PDA;
(2)若N为线段的中点,求证:平面;
(3)若,求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小.
18.解:(1)证明:∵,平面,平面
∴EC//平面,
同理可得BC//平面----------------------------------------------------------------------------------2分
∵EC平面EBC,BC平面EBC且
∴平面//平面---------------------------------------------------------------------------------3分
又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA--------------------------------------------------------------4分
(2)证法1:连结AC与BD交于点F, 连结NF,
∵F为BD的中点,
∴且,--------------------------6分
又且
∴且
∴四边形NFCE为平行四边形-------------------------7分
∴
∵,平面,
面 ∴,
又
∴面 ∴面------------------------------------------------------------9分
[证法2:如图以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:设该简单组合体的底面边长为1,
则
,--------------------------------6分
∴,,
∵,
17.(2010年广东省揭阳市高考一模试题文科)(本题满分14分)
右图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,平面,
,且=2 .
(1)答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图,请在方框
内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图;
(2)求四棱锥B-CEPD的体积;
(3)求证:平面.
17.解:(1)该组合体的主视图和侧视图如右图示:-----3分
(2)∵平面,平面
∴平面平面ABCD
∵ ∴BC平面----------5分
∵--6分
∴四棱锥B-CEPD的体积
.----8分
(3) 证明:∵,平面,
平面
∴EC//平面,------------------------------------10分
同理可得BC//平面----------------------------11分
∵EC平面EBC,BC平面EBC且
∴平面//平面-----------------------------13分
又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分
D
P
A
B
C
(18)(广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题)(本题满分14分)如图,棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.
(Ⅰ)求点C到平面PBD的距离.
(Ⅱ)在线段上是否存在一点,使与平面所成的角的正弦值为,若存在,指出点的位置,若不存在,说明理由。
(18)(Ⅰ)在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2,ABCD为正方形,因此BD⊥AC. ………1分
y
z
D
P
A
B
C
x
∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD= ………2分
设C到面PBD的距离为d,由,
有,
即,…4分
得………5分
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系
因为在上,所以可设,………6分
又,
,.………8分
易求平面的法向量为,………10分(应有过程)
所以设与平面所成的角为,则有:
………12分
所以有,,, ………13分
所以存在且………14分
18.(广东省深圳高级中学2010届高三一模理科)(本题满分14分)
在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯,,
与底面成30°角.
(1)若为垂足,求证:;
(2)在(1)的条件下,求异面直线AE与CD所成
角的余弦值;
(3)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.
18.(本小题满分14分)
解法一:(1)
…………4分
(2)过点E作EM//CD交PC于M,连结AM,则AE与ME所成角即为AE与CD所成角
∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为
…………9分
(3)延长AB与DC相交于G点,连PG,则面PAB
与面PCD的交线为PG,易知CB⊥平面PAB,过B作
=
(3)易知,
则的法向量.
∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为2. …………14分
17.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)(本小题满分12分)
如图5,已知直角梯形所在的平面垂直于平面,,,.
(1)在直线上是否存在一点,使得平面?请证明你的结论;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
解:(1)线段的中点就是满足条件的点.…1分
证明如下:
取的中点连结,则
,, …………………2分
取的中点,连结,
∵且,
∴△是正三角形,∴.
∴四边形为矩形,
∴.又∵,………3分
∴且,
四边形是平行四边形.……………………4分
∴,
而平面,平面,
∴平面. ……………………6分
(2)(法1)过作的平行线,过作的垂线交于,连结,
∵,∴,
是平面与平面所成二面角的棱.……8分
∵平面平面,,∴平面,
又∵平面,∴平面,∴,
∴是所求二面角的平面角.………………10分
设,则,,
∴,
∴. ………12分
(法2)∵,平面平面,
∴以点为原点,直线为轴,直线为轴,建立空间直角坐标系
,则轴在平面内(如图).
设,由已知,得,,.
∴,, ………………………8分
设平面的法向量为,
则且,
∴
∴
解之得
取,得平面的一个法向量为
. …………………………10分
又∵平面的一个法向量为.
.………………………12分
说明:本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,二面角的概念、求法等知识,以及空间想象能力和逻辑推理能力.
18.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)(本小题满分14分)
B
E
A
D
C
如图,在长方体中,点在棱的延长线上,
且.
(Ⅰ) 求证://平面 ;
(Ⅱ) 求证:平面平面;
(Ⅲ)求四面体的体积.
解:(Ⅰ)证明:连
四边形是平行四边形 ………2分
则