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- 2021-05-13 发布
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题
(1)设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8}那么M∪N=
(A){3,4,5,6,7,8} (B){5,8} (C){3,5,7,8} (D){4,5,6,8}
(2)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
(3)某商场买来一车苹果,从中随机抽取了10个苹果,其重量(单位:克)分别为:150,152,153,
149,148,146,151,150,152,147,由此估计这车苹果单个重量的期望值是
(A)150.2克 (B)149.8克 (C)149.4克 (D)147.8克
(4)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是
(A)BD∥平面CB1D1 (B)AC1⊥BD
(C)AC1⊥平面CB1D1 (D)异面直线AD与CB所成的角为60°
(5)如果双曲线=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是
(A) (B) (C) (D)
(6)设球O的半径是1,A、B、C是球面上三点,已知A到B、C两点的
球面距离都是,且二面角B-OA-C的大小是,则从A点沿球面经B、C
两点再回到A点的最短距离是
(A) (B) (C) (D)
(7)等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其降n项和Sn=100,则n=
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
(8)设A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若OA与OB在OC方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为
A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=12
(9)用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20 000大的五位偶数共有
A.48个 B.36个 C.24个 D.18个
(10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于
A.3 B.4 C.3 D.4
(11)某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确提财投资后,在两个项目上共可获得的最大利润为
A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元
(12)如图,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2与l3同的距离是2,
正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上,则△ABC的边长是
A.2 B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题横线上.
(13).的展开式中的第5项为常数项,那么正整数的值是 .
三、解答题:本大题共6小题。共74分,解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤
(17)(本小题满分12分)
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家对一般产品致冷商家的,商家符合规定拾取一定数量的产品做检验,以决定是否验收这些产品.
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3,从中任意取出4种进行检验,求至少要1件是合格产品的概率.
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,来进行检验,只有2件产品合格时才接收这些产品,否则拒收,分别求出该商家计算出
不合格产品为1件和2件的概率,并求该商家拒收这些产品的概率。
(18)(本小题满分12分)
已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,
(Ⅰ)求tan2α的值;
(Ⅱ)求β.
(19) (本小题满分12分)
如图,平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°,又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°
(Ⅰ)求证:AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小;
(Ⅲ)求多面体PMABC的体积.
(20)(本小题满分12分)
设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在〔-1,3〕上的最大值和最小值.
(21)(本小题满分12分)
求F1、F2分别是横线的左、右焦点.
(Ⅰ)若r是第一象限内该数轴上的一点,,求点P的作标;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于同的两点A、B,且∠ADB为锐角(其中O为作标原点),求直线的斜率的取值范围.
(22)(本小题满分14分)
已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,u)(u,N +),其中为正实数.
(Ⅰ)用xx表示xn+1;
(Ⅱ)若a1=4,记an=lg,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学(含详细解析)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1、设集合,集合,那么( )
(A) (B) (C) (D)
解析:选A.
2、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是( )
解析:选C.
3、某商场买来一车苹果,从中随机抽取了10个苹果,其重量(单位:克)分别为:150,152,153,149,148,146,151,150,152,147,由此估计这车苹果单个重量的期望值是( )
(A)150.2克 (B)149.8克 (C)149.4克 (D)147.8克
解析:选B.
4、如图,为正方体,下面结论错误的是( )
(A)平面
(B)
(C)平面
(D)异面直线与所成的角为60°
解析:选D.
5、如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2,那么点到轴的距离是( )
(A) (B) (C) (D)
解析:选A.由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上.又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是,双曲线的右准线方程是,故点到轴的距离是.
6、设球的半径是1,、、是球面上三点,已知到、两点的球面距离都是,且二面角的大小是,则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是( )
(A) (B)
(C) (D)
解析:选C..本题考查球面距离.
7、等差数列中,,,其前项和,则( )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
解析:选B.
8、设,,为坐标平面上三点,为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则与满足的关系式为( )
(A) (B) (C) (D)
解析:选A.由与在方向上的投影相同,可得:即 ,.
9、用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有( )
(A)48个 (B)36个 (C)24个 (D)18个
解析:选B.个位是2的有个,个位是4的有个,所以共有36个.
10、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、,则等于( )
(A)3 (B)4 (C) (D)
解析:选C.设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,∴,由弦长公式可求出.本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.自本题起运算量增大.
11、某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
(A)36万元 (B)31.2万元 (C)30.4万元 (D)24万元
解析:选B.对甲项目投资24万元,对乙项目投资36万元,可获最大利润31.2万元.因为对乙项目投资获利较大,故在投资规划要求内(对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍)尽可能多地安排资金投资于乙项目,即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润.这是最优解法.也可用线性规划的通法求解.注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现.
12、如图,、、是同一平面内的三条平行直线,与间的距离是1,与间的距离是2,正三角形的三顶点分别在、、上,则⊿的边长是( )
(A)2 (B)
(C) (D)
解析:选D.过点C作的垂线,以、为轴、轴建立平面直角坐标系.设、、,由知,检验A:,无解;检验B:
,无解;检验D:,正确.本题是把关题.在基础中考能力,在综合中考能力,在应用中考能力,在新型题中考能力全占全了.是一道精彩的好题.可惜区分度太小.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分;把答案填在题中的横线上.
13、的展开式中的第5项为常数项,那么正整数的值是 .
解析:.
14、在正三棱柱中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则与侧面所成的角是____________
解析:,点到平面的距离为,∴,.
15、已知的方程是,的方程是,由动点向和所引的切线长相等,则运点的轨迹方程是__________________
解析::圆心,半径;:圆心,半径.设,由切线长相等得
,.
16、下面有5个命题:
①函数的最小正周期是;
②终边在轴上的角的集合是;
③在同一坐标系中,函数的图象和函数的图象有3个公共点;
④把函数的图象向右平移得到的图象;
⑤角为第一象限角的充要条件是
其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号)
解析:①,正确;②错误;③,和在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.
三、解答题:本大题共6小题,共74分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17、(本小题满分12分)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这些产品.
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4种进行检验,求至少要1件是合格产品的概率.
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,来进行检验,只有2件产品合格时才接收这些产品,否则拒收,分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率,并求该商家拒收这些产品的概率。
解析:本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
(Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件.用对立事件来算,有
(Ⅱ)记“商家任取2件产品检验,其中不合格产品数为件” 为事件.
∴商家拒收这批产品的概率
.
故商家拒收这批产品的概率为.
18、(本小题满分12分)已知,,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求.
解析:本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力.
(Ⅰ)由,,得.
∴.
于是.
(Ⅱ)由,得.
又∵,
∴.
由,得
∴.
19、(本小题满分12分)如图,平面平面,,,直线与直线所成的角为60°,又,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求多面体的体积.
解析:本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识,考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力.
(Ⅰ)∵平面平面,,平面.
∴平面
又∵平面
∴
(Ⅱ)取的中点,则.连接、.
∵平面平面,平面平面,.
∴平面.
∵,∴,从而平面.
作于,连结,则由三垂线定理知.
从而为二面角的平面角.
∵直线与直线所成的角为60°,
∴ .
在中,由勾股定理得.
在中,.
在中,.
在中,
故二面角的大小为
(Ⅱ)如图以为原点建立空间直角坐标系.
设,
有,,.
,
由直线与直线所成的角为60°,得
即,解得.
∴,
设平面的一个法向量为,则
由,取,得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角,故二面角的大小为.
(Ⅲ)多面体就是四棱锥
.
20、(本小题满分12分)设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为.
(Ⅰ)求,,的值;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值.
解析:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力.
(Ⅰ)∵为奇函数,
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此,
∴,,.
(Ⅱ).
,列表如下:
极大
极小
所以函数的单调增区间是和
∵,,
∴在上的最大值是,最小值是.
21、(本小题满分12分)设、分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点的作标;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于同的两点、,且为锐角(其中为作标原点),求直线的斜率的取值范围.
解析:本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力.
(Ⅰ)易知,,.
∴,.设.则
,又,
联立,解得,.
(Ⅱ)显然不满足题设条件.可设的方程为,设,.
联立
∴,
由
,,得.①
又为锐角,
∴
又
∴
∴.②
综①②可知,∴的取值范围是.
22、(本小题满分14分)已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,其中为正实数.
(Ⅰ)用表示;
(Ⅱ)若,记,证明数列成等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅲ)若,,是数列的前项和,证明.
解析:本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计算及解决问题的能力.
(Ⅰ)由题可得.
所以曲线在点处的切线方程是:.
即.
令,得.
即.
显然,∴.
(Ⅱ)由,知,同理
.
故.
从而,即.所以,数列成等比数列.
故.
即.
从而
所以
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
∴
∴
当时,显然.
当时,
∴
.
综上,.