高考全国卷1文科数学试题及含答案 9页

fpg fpg 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己の姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目の答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出の四个选项中，只有一项是符合题目 要求の。 1．已知集合  0 2A  ， ，  2 1 0 1 2B   ， ， ， ， ，则 A B  A． 0 2， B． 1 2， C． 0 D． 2 1 0 1 2 ， ， ， ， 2．设 1 i 2i1 iz   ，则 z  A．0 B． 1 2 C．1 D． 2 3．某地区经过一年の新农村建设，农村の经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村の经 济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村の经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确の是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入の总和超过了经济收入の一半 4．已知椭圆C ： 2 2 2 14 x y a   の一个焦点为 (2 0)， ，则C の离心率为 fpg fpg A． 1 3 B． 1 2 C． 2 2 D． 2 2 3 5．已知圆柱の上、下底面の中心分别为 1O ， 2O ，过直线 1 2O O の平面截该圆柱所得の截面是面积为 8 の正 方形，则该圆柱の表面积为 A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π 6．设函数    3 21f x x a x ax    ．若  f x 为奇函数，则曲线  y f x 在点  0 0， 处の切线方程为 A． 2y x  B． y x  C． 2y x D． y x 7．在△ ABC 中， AD 为 BC 边上の中线， E 为 AD の中点，则 EB  A． 3 1 4 4AB AC  B． 1 3 4 4AB AC  C． 3 1 4 4AB AC  D． 1 3 4 4AB AC  8．已知函数   2 22cos sin 2f x x x   ，则 A．  f x の最小正周期为π，最大值为 3 B．  f x の最小正周期为π，最大值为 4 C．  f x の最小正周期为 2π，最大值为 3 D．  f x の最小正周期为 2π，最大值为 4 9．某圆柱の高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图．圆柱表面上の点 M 在 正视图上の对应点为 A ，圆柱表面上の点 N 在左视图上の对应点为 B ，则 在此圆柱侧面上，从 M 到 N の路径中，最短路径の长度为 A． 2 17 B． 2 5 C． 3 D．2 10．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB BC  ， 1AC 与平面 1 1BB C C 所成の角为 30 ，则该长方体の 体积为 A．8 B． 6 2 C．8 2 D．8 3 11．已知角 の顶点为坐标原点，始边与 x 轴の非负半轴重合，终边上有两点  1A a， ，  2B b， ，且 2cos2 3   ，则 a b  fpg fpg A． 1 5 B． 5 5 C． 2 5 5 D．1 12．设函数   2 0 1 0 x xf x x    ， ≤ ， ，则满足    1 2f x f x  の x の取值范围是 A． 1 ， B．  0  ， C．  1 0 ， D． 0， 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知函数    2 2logf x x a  ，若  3 1f  ，则 a  ________． 14．若 x y， 满足约束条件 2 2 0 1 0 0 x y x y y       ≤ ≥ ≤ ，则 3 2z x y  の最大值为________． 15．直线 1y x  与圆 2 2 2 3 0x y y    交于 A B， 两点，则 AB  ________． 16．△ ABC の内角 A B C， ， の对边分别为 a b c， ， ，已知 sin sin 4 sin sinb C c B a B C  ， 2 2 2 8b c a   ， 则△ ABC の面积为________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 已知数列 na 满足 1 1a  ，  1 2 1n nna n a   ，设 n n ab n  ． （1）求 1 2 3b b b， ， ； （2）判断数列 nb 是否为等比数列，并说明理由； （3）求 na の通项公式． 18．（12 分） 如图，在平行四边形 ABCM 中， 3AB AC  ， 90ACM  ∠ ，以 AC 为折痕将△ ACM 折起，使点 M 到达点 D の位置，且 AB DA⊥ ． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC ； （2） Q为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 2 3BP DQ DA  ，求三棱锥 Q ABP の体积． fpg fpg 19．（12 分） 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天の日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 50 天の日用水量 数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 50 天の日用水量频数分布表 日用 水量  0 0.1，  0.1 0.2，  0.2 0.3，  0.3 0.4，  0.4 0.5，  0.5 0.6，  0.6 0.7， 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天の日用水量频数分布表 日用 水量  0 0.1，  0.1 0.2，  0.2 0.3，  0.3 0.4，  0.4 0.5，  0.5 0.6， 频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天の日用水量数据の频率分布直方图： fpg fpg （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 の概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中の数据以这组 数据所在区间中点の值作代表．） 20．（12 分） 设抛物线 2 2C y x： ，点  2 0A ， ，  2 0B  ， ，过点 A の直线l 与 C 交于 M ， N 两点． （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM の方程； （2）证明： ABM ABN∠ ∠ ． 21．（12 分） 已知函数   e ln 1xf x a x   ． （1）设 2x  是  f x の极值点．求 a ，并求  f x の单调区间； （2）证明：当 1 ea≥ 时，   0f x ≥ ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做の第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C の方程为 2y k x  ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 2C の极坐标方程为 2 2 cos 3 0     ． （1）求 2C の直角坐标方程； （2）若 1C 与 2C 有且仅有三个公共点，求 1C の方程． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知   1 1f x x ax    ． （1）当 1a  时，求不等式   1f x  の解集； （2）若  0 1x∈ ， 时不等式  f x x 成立，求 a の取值范围． fpg fpg 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题 13．-7 14．6 15． 2 2 16． 2 3 3 三、解答题 17．解：（1）由条件可得 an+1= 2( 1) n n an  ． 将 n=1 代入得，a2=4a1，而 a1=1，所以，a2=4． 将 n=2 代入得，a3=3a2，所以，a3=12． 从而 b1=1，b2=2，b3=4． （2）{bn}是首项为 1，公比为 2 の等比数列． 由条件可得 1 2 1 n na a n n   ，即 bn+1=2bn，又 b1=1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 の等比数列． （3）由（2）可得 12nna n  ，所以 an=n·2n-1． 18．解：（1）由已知可得， BAC =90°， BA AC⊥ ． 又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD． 又 AB  平面 ABC， 所以平面 ACD⊥平面 ABC． （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3 2 ． 又 2 3BP DQ DA  ，所以 2 2BP  ． fpg fpg 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE  1 3 DC ． 由已知及（1）可得 DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC，QE=1． 因此，三棱锥 Q ABP の体积为 1 1 11 3 2 2 sin 45 13 3 2Q ABP ABPV QE S          △ ． 19．解：（1） （2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3 の频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48， 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3 の概率の估计值为 0.48． （3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量の平均数为 1 1 (0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5) 0. 4850x                ． 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量の平均数为 2 1 (0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5) 0.3550x              ．10 估计使用节水龙头后，一年可节省水 3(0.48 0.35) 365 47.45(m )   ． 20．解：（1）当 l 与 x 轴垂直时，l の方程为 x=2，可得 M の坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线 BM の方程为 y= 1 12 x  或 1 12y x   ． （2）当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN の垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN． 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l の方程为 ( 2)( 0)y k x k   ，M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1>0，x2>0． fpg fpg 由 2 ( 2) 2 y k x y x     ，得 ky2–2y–4k=0，可知 y1+y2= 2 k ，y1y2=–4． 直线 BM，BN の斜率之和为 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2( ) 2 2 ( 2)( 2)BM BN y y x y x y y yk k x x x x          ．① 将 1 1 2yx k   ， 2 2 2yx k   及 y1+y2，y1y2 の表达式代入①式分子，可得 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 4 ( ) 8 82( ) 0y y k y yx y x y y y k k          ． 所以 kBM+kBN=0，可知 BM，BN の倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN． 综上，∠ABM=∠ABN． 21．解：（1）f（x）の定义域为 (0 ) ， ，f ′（x）=aex– 1 x ． 由题设知，f ′（2）=0，所以 a= 2 1 2e ． 从而 f（x）= 2 1 e ln 12e x x  ，f ′（x）= 2 1 1e2e x x  ． 当 02 时，f ′（x）>0． 所以 f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当 a≥ 1 e 时，f（x）≥ e ln 1e x x  ． 设 g（x）= e ln 1e x x  ，则 e 1( ) e x g x x    ． 当 01 时，g′（x）>0．所以 x=1 是 g（x）の最小值点． 故当 x>0 时，g（x）≥g（1）=0． 因此，当 1 ea  时， ( ) 0f x  ． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 解：（1）由 cosx   ， siny   得 2C の直角坐标方程为 2 2( 1) 4x y   ． （2）由（1）知 2C 是圆心为 ( 1,0)A  ，半径为 2 の圆． 由题设知， 1C 是过点 (0,2)B 且关于 y 轴对称の两条射线．记 y 轴右边の射线为 1l ， y 轴左边の射线为 2l ．由于 B 在圆 2C の外面，故 1C 与 2C 有且仅有三个公共点等价于 1l 与 2C 只有一个公共点且 2l 与 2C 有 两个公共点，或 2l 与 2C 只有一个公共点且 1l 与 2C 有两个公共点． fpg fpg 当 1l 与 2C 只有一个公共点时， A 到 1l 所在直线の距离为 2 ，所以 2 | 2 | 2 1 k k     ，故 4 3k   或 0k  ． 经检验，当 0k  时， 1l 与 2C 没有公共点；当 4 3k   时， 1l 与 2C 只有一个公共点， 2l 与 2C 有两个公共 点． 当 2l 与 2C 只有一个公共点时， A 到 2l 所在直线の距离为 2 ，所以 2 | 2 | 2 1 k k    ，故 0k  或 4 3k  ． 经检验，当 0k  时， 1l 与 2C 没有公共点；当 4 3k  时， 2l 与 2C 没有公共点． .综上，所求 1C の方程为 4 | | 23y x   ． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 解：（1）当 1a  时， ( ) | 1| | 1|f x x x    ，即 2, 1, ( ) 2 , 1 1, 2, 1. x f x x x x          故不等式 ( ) 1f x  の解集为 1{ | }2x x  ． （2）当 (0,1)x 时| 1| | 1|x ax x    成立等价于当 (0,1)x 时| 1| 1ax   成立． 若 0a  ，则当 (0,1)x 时| 1| 1ax   ； 若 0a  ，| 1| 1ax   の解集为 20 x a   ，所以 2 1a  ，故 0 2a  ． 综上， a の取值范围为 (0,2] ．