高考圆锥曲线的基本公式推导学长整合版 5页

圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 ‎/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/‎ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。‎ ‎【基础知识1：切线方程、极线方程】‎ ‎【1-0】公式小结：x2换成xx0，y2换成yy0，x换成(x+x0)/2,y换成(y+y0)/2.‎ ‎【1-1】 椭圆的切线方程 ：‎ ‎①椭圆 上一点处的切线方程是 。‎ ‎②过椭圆 外一点所引两条切线的切点弦方程是 。‎ ‎③椭圆与直线相切的条件是 ‎(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件)‎ ‎【1-2】双曲线的切线方程：‎ ‎①双曲线上一点处的切线方程是 。‎ ‎②过椭圆 外一点所引两条切线的切点弦方程是 。‎ ‎③椭圆与直线相切的条件是 ‎【1-3】抛物线的切线方程：‎ 物线 上一点处的切线方程是 ‎ ‎②过抛物线 外一点 处所引两条切线是 ‎③抛物线 与直线相切的条件是 ‎【1-4】 基础知识的证明：‎ ‎【公式一：曲线C上切点公式证明】‎ ‎1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C上某一点处 的 切 线 方 程 为, 联立方程，令,得到的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式 ‎（注: 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）‎ ‎2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)‎ 证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为、，中点P 则有 ，得 ‎ 又 ‎ (弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是)‎ 当M、N无限趋近时，P在椭圆C上。即得切线斜率 ‎3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分 证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。‎ 附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。③‎ ‎①切线斜率可用导数表示。‎ ‎②得到式子后，要利用把消去。‎ ‎【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)‎ 证明思路：过作两条曲线C的切线，切点为A，B。‎ ‎。所以过A、B两点直线方程为 证明(就举椭圆为例)‎ 解：过作两条曲线C的切线，切点为A，B。‎ 过A点切线: ，过B点切线：。‎ 过A、B两点直线方程为 ‎【公式三：由公式一的思路可得】‎ ‎【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格)‎ 【1-0】 ‎【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。对于焦半径PF，‎ 口诀：椭圆F左加右减。(记忆：大则在前)‎ ‎ 双曲线F左加右减，双曲线上点P左减右加。‎ 焦半径与点到准线距离关系如下。即()/e=‎ 推广应用:‎ 通过比例e的值 的值 的值 巧用公式(注：双曲线交于同侧、抛物线类似)‎ 不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为，具体自己推导吧 ‎【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容)‎ ‎【结论一：弦中点公式】‎ ‎【证明】：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为、，中点P 则有 ，得 ‎ 又 ‎ (常用)‎ 结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。‎ ‎【抽象理解型证明】‎ 具体理解，可以用“坐标系变幻理解”‎ 证明：设某斜率为定值k的直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为、，中点P ‎，令。‎ ‎∵变幻后， ，得到中点轨迹方程始终与MN垂直 ‎【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便)‎ ‎,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂直，证明方法和上面一样。至于双曲线，则是。结论可以直接背，不过引用的时候还得按照下面的方法老实推导。‎ ‎【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻)‎ 证明：不建议设直线，直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的，双曲线的证明类似)‎ A、B在椭圆上，且关于原点对称。‎ 则有 ，得