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  • 2021-05-13 发布

高考全国2卷理数试题含解析

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‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项:‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.‎ ‎ 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. ‎ ‎ 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】A ‎∴,,∴,故选A.‎ ‎(2)已知集合,,则 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【解析】C ‎,‎ ‎∴,∴,‎ 故选C.‎ ‎(3)已知向量,且,则m=‎ ‎(A) (B) (C)6 (D)8‎ ‎【解析】D ‎ ,‎ ‎∵,∴‎ 解得,‎ 故选D.‎ ‎(4)圆的圆心到直线 的距离为1,则a=‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ ‎【解析】A 圆化为标准方程为:,‎ 故圆心为,,解得,‎ 故选A.‎ ‎(5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ‎(A)24 (B)18 (C)12 (D)9‎ ‎【解析】B 有种走法,有种走法,由乘法原理知,共种走法 故选B.‎ ‎(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ‎(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π ‎【解析】C 几何体是圆锥与圆柱的组合体,‎ 设圆柱底面圆半径为,周长为,圆锥母线长为,圆柱高为.‎ 由图得,,由勾股定理得:,‎ ‎,‎ 故选C.‎ ‎(7)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【解析】B 平移后图像表达式为,‎ 令,得对称轴方程:,‎ 故选B.‎ ‎(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,,依次输入的a为2,2,5,则输出的 ‎(A)7 (B)12 (C)17 (D)34‎ ‎【解析】C ‎ 第一次运算:,‎ 第二次运算:,‎ 第三次运算:,‎ 故选C.‎ ‎(9)若,则=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】D ‎∵,,‎ 故选D.‎ ‎(10)从区间随机抽取2n个数,,…,,,,…,,构成n个数对,,…,,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】C 由题意得:在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知,∴,故选C.‎ ‎(11)已知,是双曲线E:的左,右焦点,点M在E上,与轴垂直,sin ‎ ,则E的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D)2‎ ‎【解析】A ‎ 离心率,由正弦定理得.‎ 故选A.‎ ‎(12)已知函数满足,若函数与图像的交点 为,,⋯,,则( )‎ ‎(A)0 (B)m (C)2m (D)4m ‎【解析】B 由得关于对称,‎ 而也关于对称,‎ ‎∴对于每一组对称点 ,‎ ‎∴,故选B.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(13)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,‎ 则 .‎ ‎【解析】 ‎ ‎∵,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 由正弦定理得:解得.‎ ‎(14),是两个平面,m,n是两条线,有下列四个命题:‎ ‎①如果,,,那么.‎ ‎②如果,,那么.‎ ‎③如果,,那么.‎ ‎④如果,,那么m与所成的角和n与所成的角相等.‎ ‎【解析】②③④‎ ‎(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 ‎ ‎【解析】 ‎ 由题意得:丙不拿(2,3),‎ 若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足,‎ 若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足,‎ 故甲(1,3),‎ ‎(16)若直线是曲线的切线,也是曲线的切线, .‎ ‎【解析】 ‎ 的切线为:(设切点横坐标为)‎ 的切线为:‎ ‎∴‎ 解得 ‎ ‎∴.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 为等差数列的前n项和,且,.记,其中表示不超过x的最大整数,如,.‎ ‎(Ⅰ)求,,;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎【解析】⑴设的公差为,,‎ ‎∴,∴,∴.‎ ‎∴,,.‎ ‎⑵记的前项和为,则 ‎.‎ 当时,;‎ 当时,;‎ ‎ 当时,;‎ 当时,.‎ ‎∴.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 保 费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概 率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;‎ ‎(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出的概率;‎ ‎(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ ‎【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件,‎ ‎.‎ ‎⑵设续保人保费比基本保费高出为事件,‎ ‎.‎ ‎⑶解:设本年度所交保费为随机变量.‎ 平均保费 ‎ ,‎ ‎∴平均保费与基本保费比值为.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,,,点E,F分别在AD,CD上,,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置.‎ ‎(I)证明:平面ABCD;‎ ‎(II)求二面角的正弦值.‎ ‎【解析】⑴证明:∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵四边形为菱形,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴;‎ 又,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎∴面.‎ ‎⑵建立如图坐标系.‎ ‎,,,,‎ ‎,,,‎ 设面法向量,‎ 由得,取,‎ ‎∴.‎ 同理可得面的法向量,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知椭圆E:的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.‎ ‎(I)当,时,求△AMN的面积;‎ ‎(II)当时,求k的取值范围.‎ ‎【解析】 ⑴当时,椭圆E的方程为,A点坐标为,‎ 则直线AM的方程为.‎ 联立并整理得,‎ 解得或,则 因为,所以 因为,,‎ 所以,整理得,‎ 无实根,所以.‎ 所以的面积为.‎ ‎⑵直线AM的方程为,‎ 联立并整理得,‎ 解得或,‎ 所以 所以 因为 所以,整理得,.‎ 因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得 解得.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎(I)讨论函数的单调性,并证明当时, ‎ ‎(II)证明:当 时,函数 有最小值.设的最小值为,求函数的值域.‎ ‎【解析】⑴证明:‎ ‎ ‎ ‎ ∵当时,‎ ‎ ∴在上单调递增 ‎ ∴时,‎ ‎ ∴‎ ‎⑵ ‎ ‎ ‎ ‎ 由(1)知,当时,的值域为,只有一解.‎ ‎ 使得,‎ 当时,单调减;当时,单调增 记,在时,,∴单调递增 ‎∴.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,在正方形ABCD,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.‎ ‎(I) 证明:B,C,G,F四点共圆;‎ ‎(II)若,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明:∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴B,C,G,F四点共圆.‎ ‎(Ⅱ)∵E为AD中点,,‎ ‎∴,‎ ‎∴在中,,‎ 连接,,‎ ‎∴.‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy中,圆C的方程为.‎ ‎(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(II)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,,求l的斜率.‎ ‎【解析】解:⑴整理圆的方程得,‎ ‎ 由可知圆的极坐标方程为.‎ ‎ ⑵记直线的斜率为,则直线的方程为,‎ ‎ 由垂径定理及点到直线距离公式知:,‎ ‎ 即,整理得,则.‎ ‎(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数,M为不等式的解集.‎ ‎(I)求M;‎ ‎(II)证明:当a,时,.‎ ‎【解析】解:⑴当时,,若;‎ 当时,恒成立;‎ 当时,,若,.‎ 综上可得,.‎ ‎⑵当时,有,‎ 即, ‎ 则,‎ 则,‎ 即,‎ ‎ 证毕.‎ ‎ ‎