高考全国2卷理数试题含解析 14页

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.‎ ‎ 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. ‎ ‎ 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】A ‎∴，，∴，故选A．‎ ‎（2）已知集合，，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【解析】C ‎，‎ ‎∴，∴，‎ 故选C．‎ ‎（3）已知向量，且，则m=‎ ‎（A） （B） （C）6 （D）8‎ ‎【解析】D ‎ ，‎ ‎∵，∴‎ 解得，‎ 故选D．‎ ‎（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【解析】A 圆化为标准方程为：，‎ 故圆心为，，解得，‎ 故选A．‎ ‎（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【解析】B 有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法 故选B．‎ ‎（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π ‎【解析】C 几何体是圆锥与圆柱的组合体，‎ 设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．‎ 由图得，，由勾股定理得：，‎ ‎，‎ 故选C．‎ ‎（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【解析】B 平移后图像表达式为，‎ 令，得对称轴方程：，‎ 故选B．‎ ‎（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的 ‎（A）7 （B）12 （C）17 （D）34‎ ‎【解析】C ‎ 第一次运算：，‎ 第二次运算：，‎ 第三次运算：，‎ 故选C．‎ ‎（9）若，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】D ‎∵，，‎ 故选D．‎ ‎（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】C 由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．‎ ‎（11）已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin ‎ ,则E的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【解析】A ‎ 离心率，由正弦定理得．‎ 故选A．‎ ‎（12）已知函数满足，若函数与图像的交点 为，，⋯，，则（ ）‎ ‎（A）0 （B）m （C）2m （D）4m ‎【解析】B 由得关于对称，‎ 而也关于对称，‎ ‎∴对于每一组对称点 ，‎ ‎∴，故选B．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（13）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，‎ 则 ．‎ ‎【解析】 ‎ ‎∵，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 由正弦定理得：解得．‎ ‎（14），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：‎ ‎①如果，，，那么．‎ ‎②如果，，那么．‎ ‎③如果，，那么．‎ ‎④如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．‎ ‎【解析】②③④‎ ‎（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ‎ ‎【解析】 ‎ 由题意得：丙不拿（2，3），‎ 若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，‎ 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，‎ 故甲（1，3），‎ ‎（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， ．‎ ‎【解析】 ‎ 的切线为：（设切点横坐标为）‎ 的切线为：‎ ‎∴‎ 解得 ‎ ‎∴．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．‎ ‎（Ⅰ）求，，；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎【解析】⑴设的公差为，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎∴，，．‎ ‎⑵记的前项和为，则 ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎∴．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 保 费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概 率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ ‎（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；‎ ‎（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．‎ ‎【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，‎ ‎．‎ ‎⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，‎ ‎．‎ ‎⑶解：设本年度所交保费为随机变量．‎ 平均保费 ‎ ，‎ ‎∴平均保费与基本保费比值为．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置.‎ ‎（I）证明：平面ABCD；‎ ‎（II）求二面角的正弦值.‎ ‎【解析】⑴证明：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵四边形为菱形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴面．‎ ‎⑵建立如图坐标系．‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ 设面法向量，‎ 由得，取，‎ ‎∴．‎ 同理可得面的法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎（I）当，时，求△AMN的面积；‎ ‎（II）当时，求k的取值范围.‎ ‎【解析】 ⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，‎ 则直线AM的方程为．‎ 联立并整理得，‎ 解得或，则 因为，所以 因为，，‎ 所以，整理得，‎ 无实根，所以．‎ 所以的面积为．‎ ‎⑵直线AM的方程为，‎ 联立并整理得，‎ 解得或，‎ 所以 所以 因为 所以，整理得，．‎ 因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得 解得．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎(I)讨论函数的单调性，并证明当时， ‎ ‎(II)证明：当 时，函数 有最小值.设的最小值为，求函数的值域.‎ ‎【解析】⑴证明：‎ ‎ ‎ ‎ ∵当时，‎ ‎ ∴在上单调递增 ‎ ∴时，‎ ‎ ∴‎ ‎⑵ ‎ ‎ ‎ ‎ 由(1)知，当时，的值域为，只有一解．‎ ‎ 使得，‎ 当时，单调减；当时，单调增 记，在时，，∴单调递增 ‎∴．‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形ABCD，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.‎ ‎(I) 证明：B，C，G，F四点共圆；‎ ‎(II)若，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∴B，C，G，F四点共圆．‎ ‎（Ⅱ）∵E为AD中点，，‎ ‎∴，‎ ‎∴在中，，‎ 连接，，‎ ‎∴．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy中，圆C的方程为．‎ ‎（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．‎ ‎【解析】解：⑴整理圆的方程得，‎ ‎ 由可知圆的极坐标方程为．‎ ‎ ⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，‎ ‎ 由垂径定理及点到直线距离公式知：，‎ ‎ 即，整理得，则．‎ ‎（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数，M为不等式的解集.‎ ‎（I）求M；‎ ‎（II）证明：当a，时，．‎ ‎【解析】解：⑴当时，，若；‎ 当时，恒成立；‎ 当时，，若，．‎ 综上可得，．‎ ‎⑵当时，有，‎ 即， ‎ 则，‎ 则，‎ 即，‎ ‎ 证毕．‎ ‎ ‎