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  • 2021-05-13 发布

2015广东高考理科数学试卷

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷) 数学(理科) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合题目要求的。 1.若集合   | ( 4)( 1) 0 , | ( 4)( 1) 0M x x x N x x x        ,则 M N  A. 1,4 B. 1, 4  C. 0 D.  【答案】D 【解析】    1,40)1)(4(  xxxM ,    4,10)1)(4(  xxxN  NM 2.若复数 (3 2 )z i i  ( i 是虚数单位),则 z  A. 2 3i B. 2 3i C. 3 2i D. 3 2i 【答案】A 【解析】 23)23(  iiiz , iz 32  3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 2A. 1y x  1B. y x x   1C. 2 2 x xy   D. xy x e  【答案】D 【解析】A 和 C 选项为偶函数,B 选项为奇函数, D 选项为非奇非偶函数 4. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球,从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰好有 1 个白球,1 个红球的概率为 5A. 21 10B. 21 11C. 21 D. 1 【答案】B 【解析】 21 10 2 15 1 5 1 10  C CCP 5. 平行于直线 2 + +1=0x y 且与圆 2 2 5x y  相切的直线的方程是 A. 2 5 0 2 5 0x y x y     或 B. 2 5 0 2 5 0x y x y     或 C. 2 5 0 2 5 0x y x y     或 D. 2 5 0 2 5 0x y x y     或 【答案】A 【解析】设所求直线为 02  cyx ,因为圆心坐标为(0,0),则由直线与圆相切可得 5 5122    ccd ,解得 5c ,所求直线方程为 052052  yxyx 或 6. 若变量 ,x y 满足约束条件 4 5 8 1 3 0 2 x y x y         ,则 3 2z x y  的最小值为 A. 4 23B. 5 C. 6 31D. 5 【答案】B 【解析】如图所示,阴影部分为可行域,虚线表示目标 函数 3 2z x y  ,则当目标函数过点(1, 8 5 ), 3 2z x y  取最小值为 23 5 7. 已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   的离心率 5 4e  ,且其右焦点为 2 (5,0)F ,则双曲线 C 的方程为 2 2 A. 14 3 x y  2 2 B. 19 16 x y  2 2 C. 116 9 x y  2 2 D. 13 4 x y  【答案】C 【解析】由双曲线右焦点为 )0,5(2F ,则 c=5, 44 5  aa ce 9222  acb ,所以双曲线方程为 1916 22  yx 8. 若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值 A. 3至多等于 B. 4至多等于 C. 5等于 D. 5大于 【答案】B 【解析】当 3n 时,正三角形的三个顶点符合条件;当 4n 时,正四面体的四个顶点符 合条件 故可排除 A,C,D 四个选项,故答案选 B 二、填空题:本大题 共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9. 在 4x( -1)的展开式中, x 的系数为 . 【答案】6 【解析】       2 4 4 4 4 11 r rrrrr xCxC   ,则当 2r 时, x 的系数为   61 2 4 2  C 10. 在等差数列{ }na 中,若 3 4 5 6 7 25a a a a a     ,则 2 8a a  . 【答案】10 【解析】由等差数列性质得, 255 576543  aaaaaa ,解得 55 a ,所以 102 582  aaa 11. 设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 3a  , 1sin 2B  , 6C  ,则 b= . 【答案】1 【解析】 6 5 6,2 1sin  或 BB ,又 6 C ,故 6 B ,所以 3 2A 由正弦定理得, B b A a sinsin  ,所以 1b 12. 某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言。(用数字作答) 【答案】1560 13. 已知随机变量 X 服从二项分布 ( , )B n p , ( ) 30E X  , ( ) 20D X  ,则 p  . 【答案】 3 1 【解析】   30 npXE ,   20)1(  pnpXD ,解得 3 1p (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题), 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 24     ,点 A 的极坐标 为 7(2 2, )4A  ,则点 A 到直线 l 的距离为 . 【答案】 2 25 【解析】 2)cos2 2sin2 2(2)4sin(2   1cossin   即直线l 的直角坐标方程为 011  yxxy ,即 ,点 A 的直角坐标为(2,-2) A 到直线的距离为 2 25 2 122 d 15. (几何证明选讲选做题)如图 1,已知 AB 是圆 O 的直径, 4AB  , EC 是圆 O 的切线,切点 为 C , 1BC  ,过圆心 O 作 BC 的平行线,分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ,则 OD = . 【答案】8 【解析】 图 1 如图所示,连结 O,C 两点,则 CDOC  , ACOD   90ACDCDO  90CABCBACBAACD , , CABCDO  则 Rt △ CDO ∼ Rt △ CAB ,所以 BC OC AB OD  ,所以 8OD 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=( 2 2 ,- 2 2 ),n=(sin x ,cos x ),xÎ (0,π 2 ). (1)若 m⊥n,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为,求 x 的值. 【解析】 (1) ∵ m = 2 2 , − 2 2 , n = (sinx,cosx) ,且 m ⊥ n , ∴ m ⋅ n = 2 2 sinx − 2 2 cosx = 0 解得, tan x = 1(2) ∵ m 与 n 的夹角为 π 3 ∴ m ⋅ n = m n cos π 3 = 1 2 ∴ m ⋅ n = 2 2 sin x − cos x = sin x − π 4 = 1 2 ∴ x − π 4 = π 6 + 2kπ k ∈ Z ∵ x ∈ 0 , π 2 ∴ x = 5π 1217.(本小题满分 12 分) 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表: 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 44 12 38 13 39 14 33 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 (1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里采用随机抽 样法抽到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 2s ; (3)36 名工人中年龄在 x s- 与 x s+ 之间有着多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)? 【解析】 (1) 由题意得,通过系统抽样分别抽取编号为 2,6,10,14,18,22,26,30,34 的年 龄数据为样本。 则样本的年龄数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37 (2) 由(1)中的样本年龄数据可得,   403743443736433640449 1 x 则有                        2403724043240442403724036240432403624040240449 12s = 9 100 (3) 由题意知年龄在      9 100409 10040 , 之间,即年龄在 4337, 之间, 由(1)中容量为 9 的样本中年龄在 4337, 之间的有 5 人, 所以在 36 人中年龄在 4337, 之间的有 209 536  (人), 则所占百分比为 55.56%100%36 20  18.(本小题满分 14 分) 如图 2,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6, BC=3,点 E 是 CD 边的中点,点 F,G 分别在线段 AB,BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB, (1)证明:PE⊥FG; (2)求二面角 P-AD-C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. 【解析】 (1)证明: PCPD  为等腰三角形PDC E 为CD边的中点,所以, DCPE  ABCDPDC 平面平面  , DCABCDPDC  平面平面 ,且 PDCPE 平面 ∴ PE ABCD 平面 ABCDFG 平面 , FGPE  (2) 由长方形 ABCD知, DCAD  ABCDPDC 平面平面  , DCABCDPDC  平面平面 ,且 ABCDAD 平面 PDCAD 平面 PDCPD 平面 , ADPD  CADDCPDAPCADPDADDC 平面,平面,且,由  CADPPDC  即为二面角 由长方形 ABCD得 6 ABDC , E 为CD边的中 点,则 32 1  DCDE 73434 22  PEDCPEDEPD ,,, 3 7tan  DE PEPDC 即二面角 CADP  的正切值为 3 7 (3) 如图,连结 A,C GBCGFBAF 22  , BC BG AB BF  , ACFG // PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角. 由长方形 ABCD中 36  BCAB , 得 5336 22 AC 由(2)知 PDAD  , 43  PDBCAD , 543 22  AP 由题意知 4PC 25 59 2cos 222   ACAP PCACAPPAC 所以,直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 25 59 19.(本小题满分 14 分) 设 1a > ,函数 2( ) (1 ) xf x x e a= + - . (1)求 ( )f x 的单调区间; (2)证明: ( )f x 在( ),-¥ +¥ 上仅有一个零点; (3)若曲线 ( )y f x= 在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 ( , )M m a 的切线与直线 OP 平行(O 是坐标原点),证明: 3 2 1m a e £ - - . 【解析】 (1) 2 2 2 ( ) (1 ) ( )=2 (1 ) (1 ) ( ) 0 ( ) R x x x x f x x e a f x xe x e x e x R f x f x              时, 恒成立 的单调递增区间为 (2)由(1)可知 ( )f x 在 R 上为单调递增函数 ( )=( + ) ( 1) 1 ( ) 0 ( ) ( , ) a a a x a f a a e a e a e a f a f x             当 时, 1 在 上仅有一个零点 (3)令点 P 为 0 0( , )x y 02 0 0 0 2 ( ) P ( )=( 1) 0 2=-1,p(-1, - ) 2 - 2OP 1 M(m,n) OP 2( ) ( 1) x op m y f x x f x x e x ae aek a e f m m e a e                 曲线 在点 处的切线与 轴平行 直线 斜率为 在点 处的切线与直线 平行 33 2 21, ( 1)a m ae e      要证明m 即证 3 2( 1) ( 1) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0, 0 ( ) + ( ) (0) 0 1 0 1 m m m m m m m m e g m e m g m e g m m g m g m g e m e m                            需证明 需证明 设 令 在(- ,0)上单调递减,在(0, )上单调递增 命题得证. 20.(本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线l 与圆 2 2 1 : 6 5 0C x y x+ - + = 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 1C 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 : ( 4)L y k x= - 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求 出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)由题意知:圆 1C 方程为: 2 2( 3) 4x y   ∴圆 1C 的圆心坐标为(3,0) (2)由图可知,令 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1( , ),| | ,| | ( 3)M x y OM x y C M x y     2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 | | | | | | 3 ( 3) 3 9( )2 4 OC OM C M x y x y x y              ∵直线 L 与圆 1C 交于 A、B 两点 ∴直线 L 与圆 1C 的距离: 0 2d  2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 ( 3) 4 9 30 ( 3) ( ) 44 2 5 33 3 9 5C ( ) ( ,3]2 4 3 x y x x x x y x                    轨迹 的方程为: (3)∵直线 L: 2 23 9( 4) ( ) 12 4y k x x y    与曲线 仅有 个交点 联立方程: 2 2 ( 4) 5( ,3]3 9 3( )2 4 y k x x x y       , 得: 2 2 2 2( 1) (8 3) 16 0k x k x k     , 5( ,3] 13 在区间 有且仅有 个解 2 2 2 2 4=(8 3) -64 +1 = 3k k k k   当 ( )0时, 此时, 12 5( ,3]5 3x   ,仅有一个交点,符合题意。 2 2 2 20 ( ) ( 1) (8 3) 16x k x k x k      当 时,令g 则有: 5( ) (3) 03g g  解得: 2 5 2 5[ , ]7 7k   ∴ k 的取值范围为: 2 5 2 5[ , ]7 7k   或 4 3k   21.(本小题满分 14 分) 数列{ }na 满足: * 1 2 1 22 4 ,2n n na a na n N - ++ + + = - Î . (1)求 3a 的值; (2)求数列{ }na 的前 n 项和 nT ; (3)令 1 1 1 1 1 1, (1 ) ( 2)2 3 n n n Tb a b a nn n -= = + + + + + ³ ,证明:数列{ }na 的前 n 项和 nS 满足 2 2lnnS n< + . 【解析】 (1)由题意知: 1 2 1 22 4 2n n na a na       1 2 1 1 2 3 2 3 2 1 3 2 2=2 2 =4 2 3 2=3 2 +3 =4 2 3 2 2 2 33 =4 (4 )2 2 4 1= 4 n a a n a a a a a          当 时, 当 时, (2) 1 2 1 1 2 1 22 4 2 32 +( +1) 4 2 n n n n n na a na na a na n a                 1 1 2 3( +1) 2 2 2 4 3 2 1 2 n n n n n n nn a n n n          1 1 1( )2 1( )2 n n n n a a       ∴{ }na 是首相为 1,公比为 1 2 的等边数列 ∴ 1 1 11 ( ) 1 12 2 ( ) 21 2 21 2 n n n nT          (3)由(2)得: 1 12 2n nT   1 1 1 1(2 )(1 )2 2n nS n     已知不等式: 1 1 1 ln(1 )2 3 nn    设 ( ) ln(1 ) , 01 xf x x xx     2 1 ( ) 0, ( ) ( )1 ( ) ln(1 ) (0) 01 ln(1 ) ( )1 1= , 1ln(1 ) ln(1 ) ln ln ln( 1) ln 2 ln1 ln 1 1 1 1ln(1 ) 2 3 1 1 1 1ln 2 3 1 1 1 1 1(2 )(1 ) 2(12 2 2n n xf x f xx xf x x fx xx x x n n n n n nn n n n n S n                                                  在 0,+ 单调递增 在 0,+ 上恒成立 令 1) 2(1 ln 2) 2 2ln 2n     