- 415.38 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2015 年普通高等学校招生全国统一考试
(广东卷)
数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一个选项是符合题目要求的。
1.若集合 | ( 4)( 1) 0 , | ( 4)( 1) 0M x x x N x x x ,则 M N
A. 1,4 B. 1, 4 C. 0 D.
【答案】D
【解析】 1,40)1)(4( xxxM , 4,10)1)(4( xxxN
NM
2.若复数 (3 2 )z i i ( i 是虚数单位),则 z
A. 2 3i B. 2 3i C. 3 2i D. 3 2i
【答案】A
【解析】 23)23( iiiz ,
iz 32
3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是
2A. 1y x 1B. y x x
1C. 2 2
x
xy D. xy x e
【答案】D
【解析】A 和 C 选项为偶函数,B 选项为奇函数, D 选项为非奇非偶函数
4. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球,从袋中任取 2
个球,所取的 2 个球中恰好有 1 个白球,1 个红球的概率为
5A. 21
10B. 21
11C. 21 D. 1
【答案】B
【解析】
21
10
2
15
1
5
1
10
C
CCP
5. 平行于直线 2 + +1=0x y 且与圆 2 2 5x y 相切的直线的方程是
A. 2 5 0 2 5 0x y x y 或 B. 2 5 0 2 5 0x y x y 或
C. 2 5 0 2 5 0x y x y 或 D. 2 5 0 2 5 0x y x y 或
【答案】A
【解析】设所求直线为 02 cyx ,因为圆心坐标为(0,0),则由直线与圆相切可得
5
5122
ccd ,解得 5c ,所求直线方程为 052052 yxyx 或
6. 若变量 ,x y 满足约束条件
4 5 8
1 3
0 2
x y
x
y
,则 3 2z x y 的最小值为
A. 4 23B. 5 C. 6 31D. 5
【答案】B
【解析】如图所示,阴影部分为可行域,虚线表示目标
函数 3 2z x y ,则当目标函数过点(1, 8
5
),
3 2z x y 取最小值为 23
5
7. 已知双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
的离心率 5
4e ,且其右焦点为 2 (5,0)F ,则双曲线 C 的方程为
2 2
A. 14 3
x y
2 2
B. 19 16
x y
2 2
C. 116 9
x y
2 2
D. 13 4
x y
【答案】C
【解析】由双曲线右焦点为 )0,5(2F ,则 c=5, 44
5 aa
ce
9222 acb ,所以双曲线方程为 1916
22
yx
8. 若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值
A. 3至多等于 B. 4至多等于 C. 5等于 D. 5大于
【答案】B
【解析】当 3n 时,正三角形的三个顶点符合条件;当 4n 时,正四面体的四个顶点符
合条件
故可排除 A,C,D 四个选项,故答案选 B
二、填空题:本大题 共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
(一)必做题(9-13 题)
9. 在 4x( -1)的展开式中, x 的系数为 .
【答案】6
【解析】 2
4
4
4
4 11
r
rrrrr xCxC
,则当 2r 时, x 的系数为 61 2
4
2 C
10. 在等差数列{ }na 中,若 3 4 5 6 7 25a a a a a ,则 2 8a a .
【答案】10
【解析】由等差数列性质得, 255 576543 aaaaaa ,解得 55 a ,所以
102 582 aaa
11. 设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 3a , 1sin 2B ,
6C ,则
b= .
【答案】1
【解析】
6
5
6,2
1sin 或 BB ,又
6
C ,故
6
B ,所以
3
2A
由正弦定理得,
B
b
A
a
sinsin
,所以 1b
12. 某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了
条毕业留言。(用数字作答)
【答案】1560
13. 已知随机变量 X 服从二项分布 ( , )B n p , ( ) 30E X , ( ) 20D X ,则 p .
【答案】
3
1
【解析】 30 npXE , 20)1( pnpXD ,解得
3
1p
(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题),
14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 24
,点 A 的极坐标
为 7(2 2, )4A ,则点 A 到直线 l 的距离为 .
【答案】
2
25
【解析】 2)cos2
2sin2
2(2)4sin(2 1cossin
即直线l 的直角坐标方程为 011 yxxy ,即 ,点 A 的直角坐标为(2,-2)
A 到直线的距离为
2
25
2
122 d
15. (几何证明选讲选做题)如图 1,已知 AB 是圆 O 的直径, 4AB , EC 是圆 O 的切线,切点
为 C , 1BC ,过圆心 O 作 BC 的平行线,分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ,则 OD = .
【答案】8
【解析】
图 1
如图所示,连结 O,C 两点,则 CDOC , ACOD 90ACDCDO
90CABCBACBAACD , , CABCDO
则
Rt △ CDO ∼ Rt △ CAB
,所以
BC
OC
AB
OD ,所以 8OD
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
16.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=( 2
2
,- 2
2
),n=(sin x ,cos x ),xÎ (0,π
2
).
(1)若 m⊥n,求 tan x 的值;
(2)若 m 与 n 的夹角为,求 x 的值.
【解析】
(1)
∵ m =
2
2 , −
2
2
,
n = (sinx,cosx)
,且
m ⊥ n
,
∴ m ⋅ n =
2
2 sinx −
2
2 cosx = 0
解得,
tan x = 1(2)
∵ m
与
n
的夹角为
π
3
∴ m ⋅ n = m n cos
π
3 =
1
2
∴ m ⋅ n =
2
2 sin x − cos x = sin x −
π
4 =
1
2
∴ x −
π
4 =
π
6 + 2kπ k ∈ Z
∵ x ∈ 0
,
π
2 ∴ x =
5π
1217.(本小题满分 12 分)
某工厂 36 名工人的年龄数据如下表:
工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄
1 40
2 44
3 40
4 41
5 33
6 40
7 45
8 42
9 43
10 36
11 44
12 38
13 39
14 33
15 45
16 39
17 38
18 36
19 27
20 43
21 41
22 37
23 34
24 42
25 37
26 44
27 42
28 34
29 39
30 43
31 38
32 42
33 53
34 37
35 49
36 39
(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里采用随机抽
样法抽到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 2s ;
(3)36 名工人中年龄在 x s- 与 x s+ 之间有着多少人?所占的百分比是多少(精确到
0.01%)?
【解析】
(1) 由题意得,通过系统抽样分别抽取编号为 2,6,10,14,18,22,26,30,34 的年
龄数据为样本。
则样本的年龄数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37
(2) 由(1)中的样本年龄数据可得,
403743443736433640449
1 x
则有
2403724043240442403724036240432403624040240449
12s
= 9
100
(3) 由题意知年龄在
9
100409
10040 , 之间,即年龄在 4337, 之间,
由(1)中容量为 9 的样本中年龄在 4337, 之间的有 5 人,
所以在 36 人中年龄在 4337, 之间的有 209
536 (人),
则所占百分比为 55.56%100%36
20
18.(本小题满分 14 分)
如图 2,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,
BC=3,点 E 是 CD 边的中点,点 F,G 分别在线段 AB,BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB,
(1)证明:PE⊥FG;
(2)求二面角 P-AD-C 的正切值;
(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.
【解析】
(1)证明: PCPD 为等腰三角形PDC
E 为CD边的中点,所以, DCPE
ABCDPDC 平面平面 , DCABCDPDC 平面平面 ,且
PDCPE 平面
∴ PE ABCD 平面
ABCDFG 平面 , FGPE
(2) 由长方形 ABCD知, DCAD
ABCDPDC 平面平面 , DCABCDPDC 平面平面 ,且
ABCDAD 平面
PDCAD 平面
PDCPD 平面 , ADPD
CADDCPDAPCADPDADDC 平面,平面,且,由
CADPPDC 即为二面角
由长方形 ABCD得 6 ABDC , E 为CD边的中
点,则 32
1 DCDE
73434 22 PEDCPEDEPD ,,,
3
7tan
DE
PEPDC
即二面角 CADP 的正切值为
3
7
(3) 如图,连结 A,C
GBCGFBAF 22 ,
BC
BG
AB
BF , ACFG //
PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角.
由长方形 ABCD中 36 BCAB , 得
5336 22 AC
由(2)知 PDAD , 43 PDBCAD , 543 22 AP
由题意知 4PC
25
59
2cos
222
ACAP
PCACAPPAC
所以,直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为
25
59
19.(本小题满分 14 分)
设 1a > ,函数 2( ) (1 ) xf x x e a= + - .
(1)求 ( )f x 的单调区间;
(2)证明: ( )f x 在( ),-¥ +¥ 上仅有一个零点;
(3)若曲线 ( )y f x= 在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 ( , )M m a 的切线与直线 OP
平行(O 是坐标原点),证明: 3 2 1m a e
£ - - .
【解析】
(1)
2
2 2
( ) (1 )
( )=2 (1 ) (1 )
( ) 0
( ) R
x
x x x
f x x e a
f x xe x e x e
x R f x
f x
时, 恒成立
的单调递增区间为
(2)由(1)可知 ( )f x 在 R 上为单调递增函数
( )=( + )
( 1)
1
( ) 0
( ) ( , )
a
a a
x a
f a a e a
e a e
a
f a
f x
当 时,
1
在 上仅有一个零点
(3)令点 P 为 0 0( , )x y
02
0 0
0
2
( ) P
( )=( 1) 0
2=-1,p(-1, - )
2 - 2OP 1
M(m,n) OP
2( ) ( 1)
x
op
m
y f x x
f x x e
x ae
aek a e
f m m e a e
曲线 在点 处的切线与 轴平行
直线 斜率为
在点 处的切线与直线 平行
33 2 21, ( 1)a m ae e
要证明m 即证
3 2( 1) ( 1)
1
( ) 1
( ) 1
( ) 0, 0
( ) +
( ) (0) 0
1 0
1
m
m
m
m
m
m m
m e
g m e m
g m e
g m m
g m
g m g
e m
e m
需证明
需证明
设
令
在(- ,0)上单调递减,在(0, )上单调递增
命题得证.
20.(本小题满分 14 分)
已知过原点的动直线l 与圆 2 2
1 : 6 5 0C x y x+ - + = 相交于不同的两点 A,B.
(1)求圆 1C 的圆心坐标;
(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程;
(3)是否存在实数 k ,使得直线 : ( 4)L y k x= - 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求
出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.
【解析】
(1)由题意知:圆 1C 方程为: 2 2( 3) 4x y
∴圆 1C 的圆心坐标为(3,0)
(2)由图可知,令 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1( , ),| | ,| | ( 3)M x y OM x y C M x y
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
1 1
| | | | | |
3 ( 3)
3 9( )2 4
OC OM C M
x y x y
x y
∵直线 L 与圆 1C 交于 A、B 两点
∴直线 L 与圆 1C 的距离: 0 2d
2 2
1 1
2 2
1 1
1
2 2
0 ( 3) 4
9 30 ( 3) ( ) 44 2
5 33
3 9 5C ( ) ( ,3]2 4 3
x y
x x
x
x y x
轨迹 的方程为:
(3)∵直线 L: 2 23 9( 4) ( ) 12 4y k x x y 与曲线 仅有 个交点
联立方程: 2 2
( 4) 5( ,3]3 9 3( )2 4
y k x
x
x y
,
得: 2 2 2 2( 1) (8 3) 16 0k x k x k , 5( ,3] 13
在区间 有且仅有 个解
2 2 2 2 4=(8 3) -64 +1 = 3k k k k 当 ( )0时,
此时, 12 5( ,3]5 3x ,仅有一个交点,符合题意。
2 2 2 20 ( ) ( 1) (8 3) 16x k x k x k 当 时,令g
则有: 5( ) (3) 03g g
解得: 2 5 2 5[ , ]7 7k
∴ k 的取值范围为: 2 5 2 5[ , ]7 7k 或 4
3k
21.(本小题满分 14 分)
数列{ }na 满足: *
1 2 1
22 4 ,2n n
na a na n N -
++ + + = - Î .
(1)求 3a 的值;
(2)求数列{ }na 的前 n 项和 nT ;
(3)令 1
1 1
1 1 1, (1 ) ( 2)2 3
n
n n
Tb a b a nn n
-= = + + + + + ³ ,证明:数列{ }na 的前 n 项和 nS
满足 2 2lnnS n< + .
【解析】
(1)由题意知: 1 2 1
22 4 2n n
na a na
1 2 1
1 2 3 2
3 2 1
3
2 2=2 2 =4 2
3 2=3 2 +3 =4 2
3 2 2 2 33 =4 (4 )2 2 4
1= 4
n a a
n a a a
a
a
当 时,
当 时,
(2)
1 2 1
1 2 1
22 4 2
32 +( +1) 4 2
n n
n n n
na a na
na a na n a
1 1
2 3( +1) 2 2
2 4 3
2
1
2
n n n
n
n
n nn a
n n
n
1
1
1( )2
1( )2
n
n
n
n
a
a
∴{ }na 是首相为 1,公比为 1
2
的等边数列
∴ 1
1
11 ( ) 1 12 2 ( ) 21 2 21 2
n
n
n nT
(3)由(2)得: 1
12 2n nT
1
1 1 1(2 )(1 )2 2n nS n
已知不等式: 1 1 1 ln(1 )2 3 nn
设 ( ) ln(1 ) , 01
xf x x xx
2
1
( ) 0, ( ) ( )1
( ) ln(1 ) (0) 01
ln(1 ) ( )1
1= ,
1ln(1 ) ln(1 ) ln ln ln( 1) ln 2 ln1 ln
1 1 1 1ln(1 ) 2 3 1
1 1 1ln 2 3 1
1 1 1 1(2 )(1 ) 2(12 2 2n n
xf x f xx
xf x x fx
xx x
x n
n n n n nn
n n
n n
S n
在 0,+ 单调递增
在 0,+ 上恒成立
令
1) 2(1 ln 2) 2 2ln 2n