四川高考数学理科试卷带详解 14页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，集合，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算.‎ ‎【难易程度】容易.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】‎ 故选A.‎ ‎2．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是 （ ）‎ ‎ ‎ 第2题图 ‎ A.A B.B C.C D.D ‎ ‎【测量目标】复平面.‎ ‎【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】设，且，则z的共轭复数为,其中，故选B.‎ ‎3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 （ ）‎ 第3题图 ‎ ‎ A B C D ‎ 第3题图 ‎ ‎【测量目标】平图形的直观图和三视图.‎ ‎【考查方式】给出三视图判断其直观图.‎ ‎【难易程度】容易.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D.‎ ‎4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【测量目标】全称量词与存在量词.‎ ‎【考查方式】给出全称命题求存在命题.‎ ‎【难易程度】容易.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】命题p是全称命题：，则是特称命题：.故选D.‎ ‎5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是 （ ）‎ 第5题图 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】函数的图象及其变化.‎ ‎【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数.‎ ‎【难易程度】中等.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】,.由图象知当时，,即..故选A.‎ ‎6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质.‎ ‎【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程，求距离.‎ ‎【难易程度】中等.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），则焦点到渐近线的距离或.‎ ‎7．函数的图象大致是 （ ）‎ ‎ A B C D ‎ ‎ 第7题图 ‎【测量目标】函数图象的判断.‎ ‎【考查方式】给出函数解析式判断函数图象.‎ ‎【难易程度】中等.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由函数的定义域可排除A，当时，y=1，当x=4时，，但从选项D的函数图象可以看出函数在上是单调增函数，两者矛盾，故选C.‎ ‎8．从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】排列组合及其应用.‎ ‎【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合.‎ ‎【难易程度】中等.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】从1，3,5，7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数但，所以不同值的个数为202=18，故选C.‎ ‎9．节日里某家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】几何概型.‎ ‎【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型.‎ ‎【难易程度】较难.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为,则，而事件发生的概率为，可行域如图阴影部分所示，有几何概型得.‎ 第9题图 ‎ ‎10．设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在使得，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】函数零点的应用.‎ ‎【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围.‎ ‎【难易程度】较难.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】‎ 由已知点在曲线即存在则点都在的图象上，又，所以，，令在[0,1]上单调递增，又.‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．二项式的展开式中，含的项的系数是_________．（用数字作答）‎ ‎【测量目标】二项式展开式.‎ ‎【考查方式】求二项式展开式中的某一项.‎ ‎【难易程度】简单.‎ ‎【参考答案】10‎ ‎【试题解析】故填10.‎ ‎12．在平行四边形中，对角线与交于点，，则_________．‎ ‎【测量目标】平面向量的四则运算.‎ ‎【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数.‎ ‎【难易程度】简单.‎ ‎【参考答案】2‎ ‎【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得又O是AC的中点，‎ ‎13．设，，则的值是_________．‎ ‎【测量目标】二倍角公式.‎ ‎【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值.‎ ‎【难易程度】中等.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】由题意得而，‎ ‎14．已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是________ ．‎ ‎【测量目标】解不等式.‎ ‎【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集.‎ ‎【难易程度】较难.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】故为在定义域上的偶函数由，所以所以不等式的解集为.‎ ‎15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”．例如，线段上的任意点都是端点的中位点．则有下列命题：‎ ‎①若三个点共线，在线上，则是的中位点；‎ ‎②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；‎ ‎③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；‎ ‎④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．‎ 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）‎ ‎【测量目标】考查新定义.‎ ‎【考查方式】给出新定义的含义，根据新定义解题.‎ ‎【难易程度】较难.‎ ‎【参考答案】①④‎ ‎【试题解析】当且仅当点C在线段AB上等号成立，所以点C是中位点，故①为真命题. ②③为假命题，若P为点A，C,则点P在线段AC上，若点P是B,D 的中位点，则点P在线段BD上，所以若点P是A,B,C,D的中位点，则p是AC，BD的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故④是真命题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．(本小题满分12分) 在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和．‎ ‎【测量目标】等差数列的性质.‎ ‎【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n项和.‎ ‎【难易程度】中等.‎ ‎【试题解析】设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 ‎.‎ 所以,（步骤1）‎ 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.‎ 所以数列的前项和或（步骤2）. ‎ ‎17．(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．‎ ‎【测量目标】正弦定理和余弦定理.‎ ‎【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理. ‎ ‎【难易程度】中等.‎ ‎【试题解析】由,得 ‎,‎ 即,‎ 则,即. (步骤1)‎ 由,得,‎ 由正弦定理,有,所以,.‎ 由题知,则,故.‎ 根据余弦定理,有,‎ 解得或(舍去). （步骤2）‎ 故向量在方向上的投影为. （步骤3）‎ ‎18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．‎ ‎（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）‎ 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ ‎ 当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；‎ ‎（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望．‎ 第18题图 ‎ ‎【测量目标】选择结构的程序框图.‎ ‎【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】.变量x是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故；‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故;‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故. （步骤1）‎ 当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：‎ 输出的值 为的频率 输出的值 为的频率 输出的值 为的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. （步骤2）‎ ‎（3）随机变量可能饿取值为0,1,2,3.‎ ‎ 故的分布列为 所以 即的数学期望为1. （步骤3）‎ ‎19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．‎ 第19题图 ‎ ‎【测量目标】二面角平面角的基本知识.‎ ‎【考查方式】给出几何体的相关性质求相关知识.‎ ‎【难易程度】较难.‎ ‎【试题解析】如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,‎ 第19题图 ‎ 在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, //平面.‎ 由已知,,是的中点,所以,,则直线.‎ 因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. （步骤1）‎ 解法一:‎ 连接,过作于,过作于,连接.‎ 由知,平面,所以平面平面.‎ 所以平面,则.‎ 所以平面,则.‎ 故为二面角的平面角(设为). （步骤2）‎ 设,则由,,有,.‎ 又为的中点,所以为的中点,且,‎ 在中, ;在中, .‎ 从而,,,‎ 所以.‎ 所以.‎ 故二面角的余弦值为. （步骤3）‎ 解法二: ‎ 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).‎ 第19题图 ‎ 则,.‎ 因为为的中点,所以分别为的中点, ‎ 故,‎ 所以,,. （步骤1）‎ 设平面的一个法向量为,则 即故有 从而 取,则,所以. （步骤2）‎ 设平面的一个法向量为,则 即故有 从而 取,则,所以.（步骤3）‎ 设二面角的平面角为,又为锐角,‎ 则.‎ 故二面角的余弦值为. （步骤4）‎ ‎20．(本小题满分13分) 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且 ‎，求点的轨迹方程．‎ ‎【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题.‎ ‎【考查方式】给出椭圆方程求动点的轨迹方程.‎ ‎【难易程度】较难.‎ ‎【试题解析】， ‎ 所以，.‎ 又由已知，,‎ 所以椭圆C的离心率 (步骤1)‎ 由知椭圆C的方程为.‎ 设点Q的坐标为(x,y).‎ ‎(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于两点，此时Q点坐标为 （步骤2）‎ ‎(2) 当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为.‎ 因为M,N在直线l上，可设点M,N的坐标分别为，则 ‎. 又 由，得 ‎，即 ‎ ①‎ 将代入中，得 ‎ ② （步骤3）‎ 由得.‎ 由②可知 代入①中并化简，得 ③‎ 因为点在直线上，所以，代入③中并化简，得.‎ 由③及，可知,即.‎ 又满足，故.‎ 由题意，在椭圆C内部，所以y1 （步骤4）‎ 又由有 且y1，则.‎ 所以点Q的轨迹方程是，其中（步骤5）‎ ‎21．(本小题满分14分)已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．‎ ‎（Ⅰ）指出函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．‎ ‎【测量目标】不等式的综合应用.‎ ‎【考查方式】给出函数解析式回答在各种条件下的问题.‎ ‎【难易程度】较难.‎ ‎【试题解析】函数的单调递减区间为，单调递增区间为（步骤1）‎ 由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有.（步骤2）‎ 当时，对函数求导，得.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 因此 （步骤3）‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 所以函数的图象在点A,B处的切线互相垂直时，的最小值为1（步骤4）‎ 当或时，，故.‎ 当时，函数的图象在点处的切线方程为 ‎，即 当时，函数的图象在点处的切线方程为 ‎，即. （步骤5）‎ 两切线重合的充要条件是 由①及知，.‎ 由①②得，.‎ 设，（步骤6） ‎ 则.‎ 所以是减函数. ‎ 则，‎ 所以. ‎ 又当且趋近于时，无限增大，所以a的取值范围是.‎ 故当函数的图像在点A,B处的切线重合时，a的取值范围是.（步骤7）‎