四川高考理科数学模拟试题 13页

‎2015四川高考数学模拟试题（理科）‎ 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题（共10小题，每题5分，满分50分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）‎ ‎1．若集合,则所含的元素个数为（ ）‎ A．5 B．4 C． 3 D．2 ‎ ‎2．若复数是实数（其中是虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，则＝（ ）‎ A． B． C．5 D．‎ ‎4．在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则的值为 A． B． C． D． ‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设满足约束条件，若目标函数 的最大值为，则的图 象向右平移后的表达式为 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7．等差数列的前n项和为，且满足，，则，， ，中最大的项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有 ‎ A．60种 B．54种 C．48种 D．42种 ‎9．已知点在双曲线上，直线过坐标原点，且直线，的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题（共5小题，每题5分，满分25分，请将答案填写在答题卡中的横线上）‎ ‎11．的展开式中的常数项为 ．‎ ‎12．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为， ......，则抽取的人中，编号在区间内的人数是 ．‎ ‎13．已知实数 ，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．‎ ‎14．已知实数满足，且，则的最小值为 ．‎ ‎15．对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：‎ ‎①对任意的，总有 ②‎ ‎③若，，都有 成立；‎ 则称函数为理想函数．下面有三个命题：‎ ‎（1）若函数为理想函数，则；‎ ‎（2）函数是理想函数；‎ ‎（3）若函数是理想函数，假定存在，使得，且，则；‎ ‎ 其中正确的命题是_______．（请填写命题的序号）‎ 三、解答题（共6小题，满分75分，其中16至19题，每题12分，20题满分13分，21题满分14分，解答应写出必要的演算过程、文字说明和解题步骤）‎ ‎16．（本小题满分12分）在△ABC中，角、、的对边分别为、、，设S为△ABC的面积，满足．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的值．‎ ‎17．（本小题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由．‎ ‎18．（本小题满分12分）2015年3月15日，中央电视台揭露部分汽车4S店维修黑幕，国家工商总局针对汽车制造行业中的垄断行为加大了调查力度，对汽车零部件加工的相关企业开出了巨额罚单．某品牌汽车制造商为了压缩成本，计划对、、三种汽车零部件进行招标采购，某著名汽车零部件加工厂参入了该次竞标，已知种零部件中标后即可签合同，而、两种汽车零部件具有很强的关联性，所以公司规定两者都中标才能签合同，否则都不签合同，而三种零部件是否中标互不影响．已知该汽车零部件加工厂中标种零部件的概率为，只中标种零部件的概率为，、‎ 两种零部件签订合同的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求该汽车零部件加工厂种汽车零部件中标的概率；‎ ‎（Ⅱ）设该汽车零部件加工厂签订合同的汽车零部件种数为，求的分布列与期望．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，且，点为中点，点为边上的动点，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，‎ 说明理由．‎ ‎20．（本小题满分13分）设椭圆C:（）,,为左、右焦点，为短轴端点，且，离心率为，为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且满足 ?若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎21．（本小题满分14分）设函数 ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）设是函数图象上任意不同两点，线段AB中点为C，直线AB的斜率为k．证明：．‎ 参考答案 ‎1．D【解析】由，得，解得，由于，，由，得或，因此，因此所含两个元素 ‎2、C．【解析】是实数，‎ ‎，故选C．‎ ‎3．B【解析】由题可知，自变量，故，，即有＝2．‎ ‎4．A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，知，，，‎ ‎∴，，， ‎ ‎∵，∴，即，解得，∴．故选A．‎ ‎5．B【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为，四边形是边长为的正方形，则，故选．‎ ‎6．C【解析】作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点时，取得最大值，即，解得；则的图像向右平移个单位后得到的解析式为.‎ 7． D【解析】由，又，，所以．‎ 又．所以数列的公差小于0，且．所以．由．所以<0，因为前八项是递减且为正，由所以前八项递增，又有>0．故选D．‎ ‎8．D【解析】解：设能胜任两种工作的那个人为A，‎ 记为A不选派A的方法数C43C32=12；‎ A被选为英语翻译工作的方法数C42C32=18；‎ A被选为电脑软件设计工作的方法数 C43C31=12，‎ 故不同的选法种数为42，故选D．‎ ‎9．A【解析】因为直线过原点，且在双曲线上，所以两点关于原点对称，则可设，所以，，由题意得，又由，，相减得，即，，所以 故正确答案为A ‎10．B【解析】，①当时，，所以，在单调递增，在无极值，符合题意，所以；②当时，即解得：，当时，，当时，，所以的单调递增区间为：；单调递减区间为：，当时原函数取得极大值，当时，原函数取得极小值，要满足原函数在内无极值，需满足：解得：，综合①②，的取值范围为，所以答案为 ‎11．40‎ ‎【解析】的展开式的通项为，，不合题意，，，因此展开式中的常数项为．‎ ‎12．6‎ ‎【解析】因为区间内的人数共有每20人抽取一人，因此共抽人，即编号在区间内的人数是6人 ‎13．‎ ‎【解析】设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+7≥103得x≥12，‎ 由几何概型得到输出的x不小于103的概率为．‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ 因为，所以，，由基本不等式得．‎ ‎15．①②③‎ ‎【解析】（1）取，代入，可得,即，由已知对任意的，总有可得，∴;‎ ‎（2）显然在上满足；②．‎ 若，且，‎ 则有 ‎,‎ 故满足条件①②③，所以为理想函数．‎ 由条件③知，任给，当时，由知，‎ ‎∴．‎ 若，则，前后矛盾；‎ 若，则，前后矛盾．‎ 故．∴三个命题都正确，答案为①②③．‎ ‎16．【解析】（Ⅰ） ，且． ‎ 因为，所以， ‎ 所以， 因为，所以； ‎ ‎（Ⅱ）由得：‎ ‎， 即 又由正弦定理得， ∴，‎ ‎∴△ABC是等边三角形， ∴， ‎ 所以．‎ ‎17．【解析】（1）设数列的公差为，依条件有，‎ 即，解得（舍）或，‎ 所以． ‎ 由，得，‎ 当时，，解得，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 故．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以 ①‎ ‎ ②‎ 得． ‎ 又．‎ 所以，‎ 当时，，‎ 当时，，所以，‎ 故所求的正整数存在，其最小值是2． ‎ ‎18．【解析】（Ⅰ）记种零部件为事件；种零部件为事件；种零部件为事件．由题意，三个事件相互独立．‎ 设种汽车零部件中标的概率为，种汽车零部件中标的概率为．‎ 则只中标种零部件的概率为 ‎、两种零部件签订合同，即两种零件都中标，其概率为．‎ 由题意，，即，解得．‎ ‎（Ⅱ）由已知，的可能取值为0,1,2，3．‎ 记、两种零部件签订合同为事件，则，．‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为．‎ ‎19．【解析】（Ⅰ） 取中点，连结、，‎ 是中点，，‎ 又，，四边形为平行四边形 ‎，平面，，‎ ‎，，平面，‎ 平面，平面平面．‎ ‎（Ⅱ）存在符合条件的．以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，，，‎ 从而，，则平面的法向量为，‎ 又平面即为平面，其法向量，‎ 则，‎ 解得或，进而或． ‎ ‎20．【解析】（Ⅰ）因为椭圆,由题意得 ‎, ，，‎ 解得所以椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，因为，所以有,‎ 设，‎ 当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为,解方程组 得,即, ‎ 则△=,即,‎ ‎,‎ 所以 ，‎ ‎，‎ 要使,需,即,‎ 所以,所以又,所以,‎ 所以,即或,因为直线为圆的一条切线,‎ 所以圆的半径为,,,‎ 所求的圆为, ‎ 此时圆的切线都满足或,‎ 而当切线的斜率不存在时，切线为，与椭圆的两个交点为或满足, ‎ 综上, 存在圆心在原点的圆满足条件． ‎ ‎21．【解析】（Ⅰ）当时，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增，‎ 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（Ⅱ）由题意知：，在时恒成立，‎ 即在区间上恒成立，‎ 又， 在区间上恒成立．‎ 设，， ‎ 又令，则 当时，单调递减，‎ ‎ ，即在区间恒成立，‎ 所以在区间单调递增，，‎ 故．‎ ‎（Ⅲ）证明：又 所以 ，即证 不妨设，即证：，‎ 即证：，设，即证：，‎ 也就是要证：，其中 ‎ 事实上：设，‎ 则 所以在单调递增，因此，即结论成立．‎