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- 2021-05-13 发布
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学
(全卷满分160分,考试时间120分钟)
棱锥的体积,其中为底面积,为高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.(2012年江苏省5分)已知集合,,则 ▲ .
【答案】。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得。
2.(2012年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.
【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此,由知应从高二年级抽取15名学生。
3.(2012年江苏省5分)设,(i为虚数单位),则的值为 ▲ .
【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由得,所以, 。
4.(2012年江苏省5分)下图是一个算法流程图,则输出的k的值是 ▲ .
【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:
是否继续循环
k
循环前
0
0
第一圈
是
1
0
第二圈
是
2
-2
第三圈
是
3
-2
第四圈
是
4
0
第五圈
是
5
4
第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。
5.(2012年江苏省5分)函数的定义域为 ▲ .
【答案】。
【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
。
6.(2012年江苏省5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 ▲ .
【答案】。
【考点】等比数列,概率。
【解析】∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,
∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是。
7.(2012年江苏省5分)如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积为 ▲ cm3.
【答案】6。
【考点】正方形的性质,棱锥的体积。
【解析】∵长方体底面是正方形,∴△中 cm,边上的高是cm(它也是中上的高)。
∴四棱锥的体积为。由
8.(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 ▲ .
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得。
∴,即,解得。
9.(2012年江苏省5分)如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是 ▲ .
【答案】。
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。
【解析】由,得,由矩形的性质,得。
∵,∴,∴。∴。
记之间的夹角为,则。
又∵点E为BC的中点,∴。
∴
。
本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解。
10.(2012年江苏省5分)设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,
其中.若,
则的值为 ▲ .
【答案】。
【考点】周期函数的性质。
【解析】∵是定义在上且周期为2的函数,∴,即①。
又∵,,
∴②。
联立①②,解得,。∴。
11.(2012年江苏省5分)设为锐角,若,则的值为 ▲ .
【答案】。
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。
【解析】∵为锐角,即,∴。
∵,∴。∴。
∴。
∴
。
12.(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是 ▲ .
【答案】。
【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】∵圆C的方程可化为:,∴圆C的圆心为,半径为1。
∵由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1
为半径的圆与圆有
公共点;
∴存在,使得成立,即。
∵即为点到直线的距离,∴,解得。
∴的最大值是。
13.(2012年江苏省5分)已知函数的值域为,若关于x的不等式
的解集为,则实数c的值为 ▲ .
【答案】9。
【考点】函数的值域,不等式的解集。
【解析】由值域为,当时有,即,
∴。
∴解得,。
∵不等式的解集为,∴,解得。
14.(2012年江苏省5分)已知正数满足:则的取值范围是 ▲ .
【答案】。
【考点】可行域。
【解析】条件可化为:
。
设,则题目转化为:
已知满足,求的取值范围。
作出()所在平面区域(如图)。求出的切
线的斜率,设过切点的切线为,
则,要使它最小,须。
∴的最小值在处,为。此时,点在上之间。
当()对应点时, ,
∴的最大值在处,为7。
∴的取值范围为,即的取值范围是。
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.(2012年江苏省14分)在中,已知.
(1)求证:;
(2)若求A的值.
【答案】解:(1)∵,∴,即。
由正弦定理,得,∴。
又∵,∴。∴即。
(2)∵ ,∴。∴。
∴,即。∴。
由 (1) ,得,解得。
∵,∴。∴。
【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。
【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
(2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。
16.(2012年江苏省14分)如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.
求证:(1)平面平面;
(2)直线平面.
【答案】证明:(1)∵是直三棱柱,∴平面。
又∵平面,∴。
又∵平面,∴平面。(lb ylfx)
又∵平面,∴平面平面。
(2)∵,为的中点,∴。
又∵平面,且平面,∴。
又∵平面,,∴平面。
由(1)知,平面,∴∥。
又∵平面平面,∴直线平面
【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。
【解析】(1)要证平面平面,只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。
(2)要证直线平面,只要证∥平面上的即可。
17.(2012年江苏省14分)如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,
炮弹可以击中它?请说明理由.
【答案】解:(1)在中,令,得。
由实际意义和题设条件知。
∴,当且仅当时取等号。
∴炮的最大射程是10千米。
(2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使成立,
即关于的方程有正根。
由得。
此时,(不考虑另一根)。
∴当不超过6千米时,炮弹可以击中目标。
【考点】函数、方程和基本不等式的应用。
【解析】(1)求炮的最大射程即求与轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。
(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。
18.(2012年江苏省16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。
已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.
【答案】解:(1)由,得。
∵1和是函数的两个极值点,
∴ ,,解得。
(2)∵ 由(1)得, ,
∴,解得。
∵当时,;当时,,
∴是的极值点。
∵当或时,,∴ 不是的极值点。
∴的极值点是-2。
(3)令,则。
先讨论关于 的方程 根的情况:
当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。
当时,∵, ,
∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。
由(1)知。
① 当时, ,于是是单调增函数,从而。
此时在无实根。
② 当时.,于是是单调增函数。
又∵,,的图象不间断,
∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。
同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。
③ 当时,,于是是单调减两数。
又∵, ,的图象不间断,
∴在(一1,1 )内有唯一实根。
因此,当时,有两个不同的根满足;当
时
有三个不同的根,满足。
现考虑函数的零点:
( i )当时,有两个根,满足。
而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。
( 11 )当时,有三个不同的根,满足。
而有三个不同的根,故有9 个零点。
综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质,导数的应用。
【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。
(2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可。
(3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点。
19.(2012年江苏省16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.
(i)若,求直线的斜率;
(ii)求证:是定值.
【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得
,∴。
由点在椭圆上,得
∴椭圆的方程为。
(2)由(1)得,,又∵∥,
∴设、的方程分别为,。
∴。
∴。①
同理,。②
(i)由①②得,。解得=2。
∵注意到,∴。
∴直线的斜率为。
(ii)证明:∵∥,∴,即。
∴。
由点在椭圆上知,,∴。
同理。。
∴
由①②得,,,
∴。
∴是定值。
【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。
【解析】(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。
(2)根据已知条件,用待定系数法求解。
20.(2012年江苏省16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,,
(1)设,,求证:数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.
【答案】解:(1)∵,∴。
∴ 。∴ 。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
(2)∵,∴。
∴。(﹡)
设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
∴综上所述,。∴,∴。
又∵,∴是公比是的等比数列。
若,则,于是。
又由即,得。
∴中至少有两项相同,与矛盾。∴。
∴。
∴ 。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。
【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。