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  • 2021-05-13 发布

江苏高考理科数学试题及答案

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‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 数学 ‎(全卷满分160分,考试时间120分钟)‎ 棱锥的体积,其中为底面积,为高.‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.(2012年江苏省5分)已知集合,,则 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】集合的概念和运算。‎ ‎【分析】由集合的并集意义得。‎ ‎2.(2012年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.‎ ‎【答案】15。‎ ‎【考点】分层抽样。‎ ‎【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此,由知应从高二年级抽取15名学生。‎ ‎3.(2012年江苏省5分)设,(i为虚数单位),则的值为 ▲ .‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】复数的运算和复数的概念。‎ ‎【分析】由得,所以, 。‎ ‎4.(2012年江苏省5分)下图是一个算法流程图,则输出的k的值是 ▲ .‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】程序框图。‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:‎ 是否继续循环 k 循环前 ‎0‎ ‎0‎ 第一圈 是 ‎1‎ ‎0‎ 第二圈 是 ‎2‎ ‎-2‎ 第三圈 是 ‎3‎ ‎-2‎ 第四圈 是 ‎4‎ ‎0‎ 第五圈 是 ‎5‎ ‎4‎ 第六圈 否 输出5‎ ‎ ∴最终输出结果k=5。‎ ‎5.(2012年江苏省5分)函数的定义域为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得 ‎。‎ ‎6.(2012年江苏省5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列,概率。‎ ‎【解析】∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,‎ ‎ ∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是。‎ ‎7.(2012年江苏省5分)如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积为 ▲ cm3.‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】正方形的性质,棱锥的体积。‎ ‎【解析】∵长方体底面是正方形,∴△中 cm,边上的高是cm(它也是中上的高)。‎ ‎ ∴四棱锥的体积为。由 ‎8.(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 ▲ . ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】双曲线的性质。‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴,即,解得。‎ ‎9.(2012年江苏省5分)如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。‎ ‎【解析】由,得,由矩形的性质,得。‎ ‎ ∵,∴,∴。∴。‎ ‎ 记之间的夹角为,则。‎ ‎ 又∵点E为BC的中点,∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎ 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解。‎ ‎10.(2012年江苏省5分)设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,‎ 其中.若,‎ 则的值为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】周期函数的性质。‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数,∴,即①。‎ ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 联立①②,解得,。∴。‎ ‎11.(2012年江苏省5分)设为锐角,若,则的值为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。‎ ‎【解析】∵为锐角,即,∴。‎ ‎ ∵,∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎12.(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 ‎【解析】∵圆C的方程可化为:,∴圆C的圆心为,半径为1。‎ ‎∵由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1‎ 为半径的圆与圆有 公共点;‎ ‎∴存在,使得成立,即。‎ ‎∵即为点到直线的距离,∴,解得。‎ ‎∴的最大值是。‎ ‎13.(2012年江苏省5分)已知函数的值域为,若关于x的不等式 的解集为,则实数c的值为 ▲ .‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】函数的值域,不等式的解集。‎ ‎【解析】由值域为,当时有,即, ‎ ‎∴。‎ ‎ ∴解得,。‎ ‎∵不等式的解集为,∴,解得。‎ ‎14.(2012年江苏省5分)已知正数满足:则的取值范围是 ▲ . ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】可行域。‎ ‎【解析】条件可化为:‎ ‎。‎ ‎ 设,则题目转化为:‎ 已知满足,求的取值范围。‎ ‎ 作出()所在平面区域(如图)。求出的切 线的斜率,设过切点的切线为, ‎ ‎ 则,要使它最小,须。‎ ‎ ∴的最小值在处,为。此时,点在上之间。‎ ‎ 当()对应点时, ,‎ ‎ ∴的最大值在处,为7。‎ ‎ ∴的取值范围为,即的取值范围是。‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.‎ ‎15.(2012年江苏省14分)在中,已知.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若求A的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵,∴,即。‎ ‎ 由正弦定理,得,∴。‎ ‎ 又∵,∴。∴即。‎ ‎ (2)∵ ,∴。∴。‎ ‎ ∴,即。∴。‎ ‎ 由 (1) ,得,解得。‎ ‎ ∵,∴。∴。‎ ‎【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。‎ ‎【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ (2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。‎ ‎16.(2012年江苏省14分)如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.‎ 求证:(1)平面平面;‎ ‎ (2)直线平面.‎ ‎【答案】证明:(1)∵是直三棱柱,∴平面。‎ ‎ 又∵平面,∴。‎ ‎ 又∵平面,∴平面。(lb ylfx)‎ ‎ 又∵平面,∴平面平面。‎ ‎ (2)∵,为的中点,∴。‎ ‎ 又∵平面,且平面,∴。‎ ‎ 又∵平面,,∴平面。‎ ‎ 由(1)知,平面,∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面,∴直线平面 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。‎ ‎【解析】(1)要证平面平面,只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。‎ ‎ (2)要证直线平面,只要证∥平面上的即可。‎ ‎17.(2012年江苏省14分)如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为‎1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.‎ ‎(1)求炮的最大射程;‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为‎3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,‎ 炮弹可以击中它?请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)在中,令,得。‎ ‎ 由实际意义和题设条件知。‎ ‎ ∴,当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。‎ ‎ (2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使成立,‎ ‎ 即关于的方程有正根。‎ ‎ 由得。‎ ‎ 此时,(不考虑另一根)。‎ ‎ ∴当不超过‎6千米时,炮弹可以击中目标。‎ ‎【考点】函数、方程和基本不等式的应用。‎ ‎【解析】(1)求炮的最大射程即求与轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。‎ ‎ (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。‎ ‎18.(2012年江苏省16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。‎ 已知是实数,1和是函数的两个极值点.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)设函数的导函数,求的极值点;‎ ‎(3)设,其中,求函数的零点个数.‎ ‎【答案】解:(1)由,得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点,‎ ‎ ∴ ,,解得。‎ ‎ (2)∵ 由(1)得, ,‎ ‎ ∴,解得。‎ ‎ ∵当时,;当时,,‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时,,∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是-2。‎ ‎(3)令,则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况:‎ 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时,∵, ,‎ ‎∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。‎ 由(1)知。‎ ‎① 当时, ,于是是单调增函数,从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时.,于是是单调增函数。‎ 又∵,,的图象不间断,‎ ‎∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。‎ 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。‎ ‎③ 当时,,于是是单调减两数。‎ 又∵, ,的图象不间断,‎ ‎∴在(一1,1 )内有唯一实根。‎ 因此,当时,有两个不同的根满足;当 ‎ 时 有三个不同的根,满足。‎ 现考虑函数的零点:‎ ‎( i )当时,有两个根,满足。‎ 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。‎ ‎( 11 )当时,有三个不同的根,满足。‎ 而有三个不同的根,故有9 个零点。‎ 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。‎ ‎【考点】函数的概念和性质,导数的应用。‎ ‎【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ (2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可。‎ ‎ (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点。‎ ‎19.(2012年江苏省16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.‎ ‎(i)若,求直线的斜率;‎ ‎(ii)求证:是定值.‎ ‎【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得 ‎,∴。‎ 由点在椭圆上,得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎(2)由(1)得,,又∵∥,‎ ‎ ∴设、的方程分别为,。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理,。②‎ ‎ (i)由①②得,。解得=2。‎ ‎ ∵注意到,∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ (ii)证明:∵∥,∴,即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知,,∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得,,,‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。‎ ‎【解析】(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。‎ ‎ (2)根据已知条件,用待定系数法求解。‎ ‎20.(2012年江苏省16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,,‎ ‎(1)设,,求证:数列是等差数列;‎ ‎(2)设,,且是等比数列,求和的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵,∴。‎ ‎ ∴ 。∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎(2)∵,∴。‎ ‎ ∴。(﹡)‎ ‎ 设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明 ‎ 若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。‎ ‎ 若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。‎ ‎ ∴综上所述,。∴,∴。‎ ‎ 又∵,∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若,则,于是。‎ ‎ 又由即,得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同,与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。‎ ‎【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。‎ ‎ (2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎