全国高考理科数学试题及答案全国1卷1 12页

欢迎下载！！！‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）‎ 一、选择题 ‎(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合（AB）中的元素共有 ‎（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 ‎（2）已知=2+I,则复数z=‎ ‎（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i ‎(3) 不等式＜1的解集为 ‎（A）｛x (B)‎ ‎（C） (D)‎ ‎(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于 ‎（A） （B）2 （C） （D）‎ ‎(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 ‎（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 ‎（6）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ‎（A）（B） （C） (D)‎ ‎（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎（A）（B） （C） (D) ‎ ‎（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 ‎（A） （B） （C） (D) ‎ ‎ (9) 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为 ‎(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2‎ ‎（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为 ‎，则P、Q两点之间距离的最小值为 ‎(A) (B)2 (C) (D)4‎ ‎（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则 ‎(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 ‎ ‎(C) (D) 是奇函数 ‎（12）已知椭圆C: 的又焦点为F，右准线为L，点,线段AF 交C与点B。若,则=‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)3‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎(13) 的展开式中，的系数与的系数之和等于 .‎ ‎(14)设等差数列的前n项和为.若=72,则= .‎ ‎(15)直三棱柱-各顶点都在同一球面上.若∠=，则此球的表面积等于 .‎ ‎(16)若,则函数的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎ 在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c ，已知，且，求b.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠‎ ABM=60.(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；‎ ‎（Ⅱ）求二面角S—AM—B的大小。‎ ‎(19)(本小题满分12分) ‎ ‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；‎ ‎（2）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在数列中， .‎ 设，求数列的通项公式；‎ 求数列的前项和.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，已知抛物线与圆相交于四个点。‎ ‎（I）求的取值范围： ‎ ‎(II)当四边形的面积最大时，求对角线 的交点的坐标。‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数有两个极值点 ‎（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域；‎ ‎(Ⅱ)证明：‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、选择题 ‎(1)解：，故选A。‎ ‎（2）解： 故选B。‎ ‎(3) 解：验x=-1即可。‎ ‎(4) 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 解得: .‎ ‎(5) 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法 ‎ (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D ‎（6）解: 是单位向量 故选D.‎ ‎（7）解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D ‎（8）解: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选A ‎(9) 解:设切点，则,又 ‎.故答案选B ‎（10）解:如图分别作 ‎ ‎，连 ‎，‎ 又 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。‎ ‎（11）解: 与都是奇函数，，‎ 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D ‎12.解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A 二、填空题： ‎ ‎13.解: ‎ ‎14.解: 是等差数列,由,得 ‎.‎ ‎15.解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. ‎ ‎16.解:令,‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17（本小题满分10分）‎ 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.‎ 解法二:‎ 由余弦定理得: ‎ ‎.‎ 又 ,。‎ 所以 …………………………………①‎ 又 ，‎ ‎，‎ 即 由正弦定理得，‎ 故 ………………………②‎ 由①，②解得。‎ ‎ 18． 解法一：‎ ‎（I）作∥交于点E，则∥，平面SAD，连接AE，则四边形ABME为直角梯形 作，垂足为F，则AFME为矩形 设，则，‎ 由 解得，即，从而，所以为侧棱的中点 ‎（Ⅱ），又,所以为等边三角形，‎ 又由（Ⅰ）知M为SC中点 ‎，故 取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则,由此知为二面角的平面角 连接，在中，‎ 所以 二面角的大小为 解法二:‎ 以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设，则 ‎（Ⅰ）设,则 又 故 即 解得，即 所以M为侧棱SC的中点 ‎（II）由，得AM的中点 又 所以 因此等于二面角的平面角 所以二面角的大小为 ‎19．解：记表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5‎ 表示事件：第j局乙获胜，j=3,4‎ ‎（Ⅰ）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 由于各局比赛结果相互独立，故 ‎ =‎ ‎ =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6‎ ‎ =0.648‎ ‎（II）的可能取值为2，3‎ 由于各局比赛结果相互独立，所以 ‎=‎ ‎=‎ ‎=0.6×0.6+0.4×0.4‎ ‎=0.52‎ ‎=1.0.52=0.48‎ 的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.52‎ ‎0.48‎ ‎=2×0.52+3×0.48‎ ‎=2.48‎ ‎20． 解：（I）由已知得，且 即 ‎ 从而 ‎ ‎……‎ 于是 ‎ ‎ =‎ 又 ‎ 故所求的通项公式 ‎（II）由（I）知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型，‎ 易得 =‎ ‎21．（I）将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得 ‎．．．．．．．．．．．．．（＊）‎ 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.‎ 由此得 解得 ‎ 又 所以 ‎ 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．‎ ‎（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。‎ ‎ 设与的四个交点的坐标分别为：‎ ‎、、、。‎ 则直线的方程分别为 解得点P的坐标为 设，由及（I）知 由于四边形为等腰梯形，因而其面积 则 将代入上式，并令，得 求导数 令，解得（舍去）‎ 当时，；时，；时，‎ 故当且仅当时，有最大值，即四边形的面积最大，故所求的点P的坐标为 ‎22.解（I）‎ 依题意知，方程有两个根，等价于 由此得b、c满足的约束条件为 满足这些条件的点的区域为图中阴影部分，‎ ‎(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。‎ 解：由题设知，故 于是 由于，而由（Ⅰ）知，故 又由（Ⅰ）知 所以 ‎