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  • 2021-05-13 发布

全国高考理科数学试题及答案全国1卷1

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欢迎下载!!!‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)‎ 一、选择题 ‎(1)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合(AB)中的元素共有 ‎(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个 ‎(2)已知=2+I,则复数z=‎ ‎(A)-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i ‎(3) 不等式<1的解集为 ‎(A){x (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 ‎(A) (B)2 (C) (D)‎ ‎(5) 甲组有5名同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 ‎(A)150种 (B)180种 (C)300种 (D)345种 ‎(6)设、、是单位向量,且·=0,则的最小值为 ‎(A)(B) (C) (D)‎ ‎(7)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎(A)(B) (C) (D) ‎ ‎(8)如果函数的图像关于点中心对称,那么的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ (9) 已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为 ‎(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2‎ ‎(10)已知二面角α-l-β为600 ,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为 ‎,则P、Q两点之间距离的最小值为 ‎(A) (B)2 (C) (D)4‎ ‎(11)函数的定义域为R,若与都是奇函数,则 ‎(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 ‎ ‎(C) (D) 是奇函数 ‎(12)已知椭圆C: 的又焦点为F,右准线为L,点,线段AF 交C与点B。若,则=‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)3‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.‎ ‎(注意:在试题卷上作答无效)‎ ‎(13) 的展开式中,的系数与的系数之和等于 .‎ ‎(14)设等差数列的前n项和为.若=72,则= .‎ ‎(15)直三棱柱-各顶点都在同一球面上.若∠=,则此球的表面积等于 .‎ ‎(16)若,则函数的最大值为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ ‎ 在ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c ,已知,且,求b.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2.点M在侧棱SC上,∠‎ ABM=60.(Ⅰ)证明:M是侧棱SC的中点;‎ ‎(Ⅱ)求二面角S—AM—B的大小。‎ ‎(19)(本小题满分12分) ‎ ‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立。已知前2局中,甲、乙各胜1局。‎ ‎(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;‎ ‎(2)设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求 的分布列及数学期望。‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 在数列中, .‎ 设,求数列的通项公式;‎ 求数列的前项和.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图,已知抛物线与圆相交于四个点。‎ ‎(I)求的取值范围: ‎ ‎(II)当四边形的面积最大时,求对角线 的交点的坐标。‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数有两个极值点 ‎(Ⅰ)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)和区域;‎ ‎(Ⅱ)证明:‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案 一、选择题 ‎(1)解:,故选A。‎ ‎(2)解: 故选B。‎ ‎(3) 解:验x=-1即可。‎ ‎(4) 解:设切点,则切线的斜率为.由题意有又 解得: .‎ ‎(5) 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法 ‎ (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D ‎(6)解: 是单位向量 故选D.‎ ‎(7)解:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理,易知.故选D ‎(8)解: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选A ‎(9) 解:设切点,则,又 ‎.故答案选B ‎(10)解:如图分别作 ‎ ‎,连 ‎,‎ 又 当且仅当,即重合时取最小值。故答案选C。‎ ‎(11)解: 与都是奇函数,,‎ 函数关于点,及点对称,函数是周期的周期函数.,,即是奇函数。故选D ‎12.解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A 二、填空题: ‎ ‎13.解: ‎ ‎14.解: 是等差数列,由,得 ‎.‎ ‎15.解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为,球心为,在中,易得球半径,故此球的表面积为. ‎ ‎16.解:令,‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17(本小题满分10分)‎ 解法一:在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得:.又由已知.解得.‎ 解法二:‎ 由余弦定理得: ‎ ‎.‎ 又 ,。‎ 所以 …………………………………①‎ 又 ,‎ ‎,‎ 即 由正弦定理得,‎ 故 ………………………②‎ 由①,②解得。‎ ‎ 18. 解法一:‎ ‎(I)作∥交于点E,则∥,平面SAD,连接AE,则四边形ABME为直角梯形 作,垂足为F,则AFME为矩形 设,则,‎ 由 解得,即,从而,所以为侧棱的中点 ‎(Ⅱ),又,所以为等边三角形,‎ 又由(Ⅰ)知M为SC中点 ‎,故 取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,则,由此知为二面角的平面角 连接,在中,‎ 所以 二面角的大小为 解法二:‎ 以D为坐标原点,射线DA为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设,则 ‎(Ⅰ)设,则 又 故 即 解得,即 所以M为侧棱SC的中点 ‎(II)由,得AM的中点 又 所以 因此等于二面角的平面角 所以二面角的大小为 ‎19.解:记表示事件:第i局甲获胜,i=3,4,5‎ 表示事件:第j局乙获胜,j=3,4‎ ‎(Ⅰ)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利 因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而 由于各局比赛结果相互独立,故 ‎ =‎ ‎ =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6‎ ‎ =0.648‎ ‎(II)的可能取值为2,3‎ 由于各局比赛结果相互独立,所以 ‎=‎ ‎=‎ ‎=0.6×0.6+0.4×0.4‎ ‎=0.52‎ ‎=1.0.52=0.48‎ 的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.52‎ ‎0.48‎ ‎=2×0.52+3×0.48‎ ‎=2.48‎ ‎20. 解:(I)由已知得,且 即 ‎ 从而 ‎ ‎……‎ 于是 ‎ ‎ =‎ 又 ‎ 故所求的通项公式 ‎(II)由(I)知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型,‎ 易得 =‎ ‎21.(I)将抛物线与圆的方程联立,消去,整理得 ‎.............(*)‎ 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是:方程(*)有两个不相等的正根即可.‎ 由此得 解得 ‎ 又 所以 ‎ 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以.‎ ‎(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。‎ ‎ 设与的四个交点的坐标分别为:‎ ‎、、、。‎ 则直线的方程分别为 解得点P的坐标为 设,由及(I)知 由于四边形为等腰梯形,因而其面积 则 将代入上式,并令,得 求导数 令,解得(舍去)‎ 当时,;时,;时,‎ 故当且仅当时,有最大值,即四边形的面积最大,故所求的点P的坐标为 ‎22.解(I)‎ 依题意知,方程有两个根,等价于 由此得b、c满足的约束条件为 满足这些条件的点的区域为图中阴影部分,‎ ‎(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。‎ 解:由题设知,故 于是 由于,而由(Ⅰ)知,故 又由(Ⅰ)知 所以 ‎