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- 2021-05-13 发布
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圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用
圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?
定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为的直线经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则
(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长;
(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长.
本文仅对焦点在x轴上,中心在原点的双曲线为例证明,其它情形请读者自证.
证明:设双曲线方程为(>0,>0),通径,离心率,弦AB所在的直线的方程为(其中,为直线的倾斜角),其参数方程为
.
代入双曲线方程并整理得:.
由t的几何意义可得:
推论
(1)焦点在x轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,;当A、B不在双曲线的一支上时,;当圆锥曲线是抛物线时,.
(2)焦点在y轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,;当A、B不在双曲线的一支上时,;当圆锥曲线是抛物线时,.
典题妙解
下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.
例1(06湖南文第21题)已知椭圆,抛物线(>0),且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.
(Ⅰ)当轴时,求p,m的值,并判断抛物线的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)若且抛物线的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.
解:(Ⅰ)当轴时,点A、B关于x轴对称,,直线AB的方程为.
从而点A的坐标为或.
点A在抛物线上,
即
此时抛物线的焦点坐标为,该焦点不在直线AB上.
(Ⅱ)设直线AB的倾斜角为,由(Ⅰ)知.
则直线AB的方程为.
抛物线的对称轴平行于轴,焦点在AB上,通径,离心率,于是有
又AB过椭圆的右焦点,通径,离心率.
O
A
B
x
y
解之得:.
抛物线的焦点在直线上,
,从而.
当时,直线AB的方程为;
当时,直线AB的方程为.
例2(07全国Ⅰ文第22题)已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于B、D两点,过的直线交椭圆于A、C两点,且,垂足为P.
(1)设P点的坐标为,证明:<1.
(2)求四边形ABCD的面积的最小值.
(1)证明:在中,.
O是的中点,
得
点P在圆上.
显然,圆在椭圆的内部.
故<1.
(2)解:如图,设直线BD的倾斜角为,由可知,直线AC的倾斜角.
通径,离心率.
又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点、,于是
A
B
C
D
O
x
y
P
四边形ABCD的面积
.
.
故四边形ABCD面积的最小值为.
例3(08全国Ⅰ理第21题文第22题)双曲线的中心为原点O,焦点在x上,两条渐近线分别为、,经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点. 已知、、成等差数列,且与同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
解:(Ⅰ)设双曲线的方程为(>0,>0).
、、成等差数列,设,公差为d,则,,
. 即.
. 从而,.
又设直线的倾斜角为,则. 的方程为.
而
A
B
y
O F x
N
M
.
解之得:
(Ⅱ)设过焦点F的直线AB的倾斜角为, 则.
. 而
.
通径.
又设直线AB与双曲线的交点为M、N. 于是有:.
即.
解得,从而.
所求的椭圆方程为.
金指点睛
1. 已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点,则=_________.
2. 过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点,则=_________.
3. 已知椭圆,过左焦点F作直线交A、B两点,O为坐标原点,求△AOB的最大面积.
B
O x
y
A
F
y
O F x
A
B
4. 已知抛物线(>0),弦AB过焦点F,设,△AOB的面积为S,求证: 为定值.
5.(05全国Ⅱ文第22题)P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点. 已知与共线,与共线,且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.
O x
N
P
y
M
Q
F
6. (07重庆文第22题)如图,倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.
(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程;
(Ⅱ)若为锐角,作线段AB的垂直平分线m交轴于点P,证明为定值,并求此定值.
y
O F x
A
B
D
E
C
m
P
7. 点M与点的距离比它到直线的距离小1.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B;C、D. 求四边形ACBD的最小面积.
8. 已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同,且以抛物线的准线为其中一条准线.
(1)求双曲线的方程;
(2)若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B;C、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.
参考答案
1. 解:,离心率,通径,直线的倾斜角.
.
2. 解:,离心率,通径,直线的倾斜角.
.
3. 解:,,左焦点,离心率,通径
.
当直线的斜率不存在时,轴,这时,高,△AOB的面积.
当直线的斜率存在时,设直线的倾斜角为,则其方程为,即,原点O到直线AB的距离.
.
B
O x
y
A
F
△AOB的面积.
0<<,
>0. 从而.
.
当且仅当,即时,“=”号成立. 故△AOB的最大面积为.
4. 解:焦点为,通径.
当直线AB的斜率不存在时,轴,这时,高,△AOB的面积.
,是定值.
当直线AB的斜率存在时,设直线的倾斜角为,则其方程为,即,原点O到直线AB的距离.
.
y
O F x
A
B
△AOB的面积.
.
不论直线AB在什么位置,均有(为定值).
5. 解:在椭圆中,
由已知条件,MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点,且.
如图,设直线PQ的倾斜角为,则直线MN的倾斜角.
O x
N
P
y
M
Q
F
通径,离心率.于是有
四边形PQMN的面积
.
.
故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为和2.
6.(Ⅰ)解:,抛物线的焦点F的坐标为,
准线的方程为.
(Ⅱ)证明:作于C,于D. 通径.
y
O F x
A
B
D
E
C
m
P
则.
.
.
,
从而.
.
故为定值,此定值为8.
7. 解:(1)根据题意,点M与点的距离与它到直线的距离相等,
点M的轨迹是抛物线,点是它的焦点,直线是它的准线.
从而,.
F
O x
A
B
D
C
y
所求的点M的轨迹方程是.
(2)两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点,
它们的斜率都存在. 如图,设直线AB的倾斜角为,
则直线CD的倾斜角为.
抛物线的通径,于是有:
.
四边形ACBD的面积
当且仅当取得最大值1时,,这时.
四边形ACBD的最小面积为128.
8. 解:(1)在椭圆中,,其焦点为、.
在抛物线中,,其准线方程为.
在双曲线中,,.
所求的双曲线的方程为.
(2)两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点,
它们的斜率都存在. 如图,设直线AB的倾斜角为,则直线CD的倾斜角为.
双曲线的通径,离心率. 于是有:
.
y
A
O x
B
C
D
四边形ACBD的面积
当且仅当取得最大值1时,,这时.
四边形ACBD的最小面积为18.