2010年(全国卷II)(含答案)高考文科数学 12页

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）‎ 数学(文)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1.设全集集合，则 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.不等式的解集为 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎3.已知=‎ A. B. C. D.‎ ‎4.函数的反函数是 A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎5.若变量x，y满足约束条件的最大值为 A.1 B.2 C3. D.4‎ ‎6.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么 ‎ A.14 B.21 C.28 D.35‎ ‎7.若曲线在点（0，b）处的切线方程是则 A.a=1，b=1 B.a=-1，b=1‎ ‎ C.a=1，b=－1 D.a=-1，b=-1‎ ‎8.已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形。SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A B C S E F A. B. C. D.‎ ‎9.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 ‎ A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 ‎10.中，点D在边AB上，CD平分若|a|=1，|b|=2，则 A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11.与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 A.有且只有1个 B.有且只有2个 ‎ C.有且只有3个 D.有无数个 ‎12.已知椭圆的离心率为过右焦点F，且斜率的直线与C相交于A、B两点，若，则=‎ ‎ A.1 B. C. D.2‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．‎ ‎13.已知是第二象限的角，= .‎ ‎14.的展开式中的系数是 .‎ ‎15.已知抛物线的准线为，过M（1，0）且斜率为的直线与相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p= .‎ ‎16.已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两上小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= .‎ O M N E A B 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）中，D为BC边上的一点，BD=33，求AD.‎ ‎18.（本小题满分12分）已知是各项均为正数的等比数列，且 ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）设，求数列的前n项和 ‎19.（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC—A1B2C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB2的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB2.‎ ‎ （1）证明：DE为异面直线AB1与 CD的公垂线；‎ ‎ （2）设异面直线AB1与CD的夹角为，求二面角A2—AC1—B1的大小.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，由M到N的电路中共有4个元件，分别标为，电流能通过的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立，已知中至少有一个能通过的概率为0.999.‎ ‎ （I）求p；‎ ‎ （II）求电流能在M与N之间通过的概率.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎ （I）设a=2，求的单调区间；‎ ‎ （II）设在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知斜率为1的直线与双曲线相交于B，D两点，且BD的中点为M（1，3）.‎ ‎ （I）求C的离心率；‎ ‎ （II）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x 轴相切.‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）‎ 数学(文)试题 答案解析:‎ 一、选择题 ‎（1）C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵ A={1,3}。B={3,5}，∴ ，∴故选 C .‎ ‎（2）A ：本题考查了不等式的解法 ‎ ∵ ，∴ ，故选A ‎（3）B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，‎ ‎∴‎ ‎（4）D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，‎ ‎∴ ‎ ‎（5）C：本题考查了线性规划的知识。‎ ‎∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，∴即为（1，1），当时 ‎（6）C：本题考查了数列的基础知识。‎ ‎∵ ，∴ ‎ ‎（7）A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ‎∵ ，∴ ，在切线，∴ ‎ ‎（8）D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。‎ A B C S E F 过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于 SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，‎ ‎∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，‎ ‎∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，‎ 由正三角形边长3，∴，AS=3，∴ SE=，AF=，‎ ‎∴ ‎ ‎（9）B：本题考查了排列组合的知识 ‎∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有 ‎（10）B：本题考查了平面向量的基础知识 ‎∵ CD为角平分线，∴ ，∵ ，‎ ‎∴ ，∴ ‎ ‎（11）D：本题考查了空间想象能力 ‎∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，‎ ‎（12）B：，∵ ，‎ 设 直线AB方程为 代入消去，∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎，解得，‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．‎ ‎（13） ：本题考查了同角三角函数的基础知识 ‎ ∵，∴‎ ‎（14）84：本题考查了二项展开式定理的基础知识 ‎∵ ，∴ ，∴ ‎ ‎（15）2：本题考查了抛物线的几何性质 设直线AB：，代入得，‎ O M N E A B 又∵ ，∴ ，解得，‎ 解得（舍去）‎ ‎（16）3：本题考查球、直线与圆的基础知识 ‎∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，‎ ‎∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，‎ ‎∴ NE=，同理可得ME=，‎ 在直角三角形ONE中，∵ NE=，ON=3，‎ ‎∴ ∴ MN=3‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）解：‎ ‎ 由 由已知得，‎ ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 由正弦定理得 ‎ ,‎ ‎ 所以 .‎ ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）设公比为q，则.由已知有 ‎ 化简得 又，故 所以 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 因此 ‎（19）解法一：‎ ‎（Ⅰ）连结,记与的交点为F.因为面为正方形，故，且.又，所以，又D为的中点，故.‎ 作,G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.‎ 又由底面面，得.‎ 连结DG，则，故,由三垂线定理，得.‎ 所以DE为异面直线与CD的公垂线.‎ ‎（Ⅱ）因为，故为异面直线与的夹角，.‎ 设AB=2，则，，,.‎ 作,H为垂足，因为底面,故，‎ 又作，K为垂足，连结,由三垂线定理，得，因此为二面角的平面角 所以二面角的大小为 解法二：‎ ‎（Ⅰ）以B为坐标原点，射线BA为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设AB=2，则A（2,0,0,），，D（0,1,0），，‎ 又设C（1,0,c）,则.‎ 于是. 故,‎ 所以DE为异面直线与CD的公垂线.‎ ‎（Ⅱ）因为等于异面直线与CD的夹角，‎ 故 ， 即 ，‎ 解得 ，故， 又， 所以 ‎，‎ 设平面的法向量为， 则 ‎ 即 令，则，故 令平面的法向量为 则，即 令，则，故 所以 .‎ 由于等于二面角的平面角， 所以二面角的大小为.‎ ‎（20）解：‎ 记表示事件：电流能通过 A表示事件：中至少有一个能通过电流，‎ B表示事件：电流能在M与N之间通过，‎ ‎（Ⅰ）相互独立，‎ ‎ ,‎ 又 ，‎ 故 ，‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，‎ 当时在单调增加；‎ 当时在单调减少；‎ 当时在单调增加；‎ 综上所述，的单调递增区间是和，‎ 的单调递减区间是 ‎（Ⅱ），‎ 当时，为增函数，故无极值点；‎ 当时，有两个根 ‎ 由题意知，‎ ‎①式无解，②式的解为， 因此的取值范围是.‎ ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）由题设知，的方程为：，‎ 代入C的方程，并化简，得，‎ 设 ，‎ 则 ①‎ 由为BD的中点知，故 即， ②‎ 故 所以C的离心率 ‎（Ⅱ）由①②知，C的方程为：，‎ 故不妨设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 又 ，‎ 故 ，‎ 解得，或（舍去），‎ 故，‎ 连结MA，则由，知，从而,且轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与轴相切，所以过A、B、D三点的圆与轴相切.‎