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- 2021-05-13 发布
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【难点突破】
难点 1 在等可能性事件的概率中考查排列、组合
1 、A、B、C、D、E五人站成一圈传球,每人只能把球传给他的邻人,A传出(算第一次)后经10次传球又回到A的概率为 ( )
2、 某校高三年级举行一次演讲比赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位,若采用抽签方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起,而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 ( )
【解析】 基本事件总数为A1010,而事件A包括的可能实际上就是排列中的相邻与不相
3 、9支足球队参加一地区性足球预选赛,将这9支球队任意地均分为3组,则A、B两个“冤家队”恰好分在同一组的概率为 ( )
∴选求概率为∴选B。
难点 2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题
1.(1-3x+2y)n的展开式中不含y的项的系数和为 ( )
A.2n B.-2n C.(-2)n D.1
2.(1+2x-3x2)6展开式中的x5项的系数为 ( )
A.86 B.168 C.-168 D.-8748
难点 3 利用二项式定理证明不等式
1 过点P(1,0)作曲线C:y=xk,[x∈(0,+∞),k∈N*,k>1]的切线,切点为Q1,设Q1在x轴上的投影是点P1;又过点P1作曲线C的切线,切点为Q2,设Q2在x轴上投影为点P2,…如此继续下去得到一系列点Q1,Q2,…,Qn,…,设点Qn的横坐标为an.
(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
2. 8人进行乒乓球单打比赛,水平高的总能胜水平低的,欲选出水平最高的两人,至少需要比赛的场数为__________(用数字作答)
人决出第一名,需2场比赛。∴至少需要4+2+1+2=9场比赛。
3.设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,经过5次跳动质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法共有_________种(用数字作答)。
4.从1、3、5、7中任取2个数字,从0、2、4、6、8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有__________个(用数字作答)。
【特别提醒】
两个基本原理是学习排列、组合的重要基础,解决两个原理的应用问题首先要明确所完成的事情是什么,然后再分析每一种做法,事情是否完成,从而区分分类计数原理和分步计数原理,运用分类计数原理时,要恰当分类,做到不重复,又不遗漏;运用分步计数原理时,关键是分好步,需要分析要分几步才能完成。一个比较复杂的问题一般遵循先分类后分步的解题步骤,平时应注意养成一题从多角度来解的习惯。
【变式训练】
1 设集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3…,9},且PQ。把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点个数是( )
A.9个
B.14个
C.15个
D.21个
易错点 2 排列组合
1.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是______________.
2.将标号为1、2,… 10的10个数放入标号为1,2,…10的10个盒子内,每一个盒内放一个球茎,恰在此时好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为 ( )
A.120 B.240 C.360 D.720
原理放入方法种数为120×2=240。∴选B。
3.已知集合A有4个元素,集合B有3个元素,集合A到B的映射中,满足集合B的元素都有原象的有多少个?
4. 4名男同学排好有A44种方法,再在5个空档处将4名女生插进去,有A45种方法。∴不同的排法数为A44·A45=2880
【变式训练】
1、集合A=B={1,2,3,4,5},从A到B的映射,满足:(1)f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5);(2)f的象只有2个。则这样的映射有_______个.
2、
(1)将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子,要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数,这样的装法种数为__________.
易错点 3 二项式定理
1.在(x-a)10的展开式中,x7的系数是15,则实数a=_____________。
2.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是 ( )
A.74 B.121 C.-74 D.-121
【错解分析】(1+6)n的展开式应为C0n+C1n·6+C2n·62+…+Cnn6n,原式中6的次数与之不相应。
【正确解答】 C1n+C2n6+C3n·62+…+Cnn6n-1= ()
=
【特别提醒】
二项式定理的核心是通项公式,求二项展开式中的特定项或特定项的系数通常中从通项公式入手的,所以对通项的理解、记忆和应用是重点,二项式定理是一个恒等式,对待恒等式通常有两种思路:一是利用恒等的多项式对应的系数相等;二是赋值。事实上,二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解,近几年高考二项式定理的考查一般为选择、填空题,便我们在复习时应有主动应用二项式定理解题的意识,因为二项式定理在证明带队不等式组合等式中有很好的应用。
【变式训练】
1 若(1-2x)2006=a0+a1x+a2x2+…a2006x2006(x∈R),则
(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2006)=__________(用数字作答)。
【2013高考突破】
1 将1,2,3…,9这9个数字填在3×3的正方形方格中,要求每一列从上到下的依次增大,每一行从左到右均依次增大,当4固定在中心位置时,则填写空茖的方法有 ( )
A.6种 B.12种 C.18种 D.24种
答案: B
解析:首先确定1、9分别在左上角和右下角,2、3 只能在4的上方和左方,有2种填方,5,6,7,8填在其它位置有=6种方法.依分步计数原理有2=12种填法,所以选B.
2 某重点中学要把9台相同的电脑送给农村三所希望小学,每个小学到少2台电脑,不同的送法种数为( )
A.10种 B.9种 C.8种 D.6种
3 从装有4粒大小、形状相同,颜色不同的玻璃球的的瓶中,随意一次倒出若干粒玻璃球茎(至少一粒),则倒出奇数粒玻璃球的概率比例出偶数粒玻璃球的概率 ( )
A.小 B.大
C.相等 D.大小不能确定
8 若n∈N*,n<100,且二项式(x3+)n的展开式中存在常数项,求所有满足条件的n的值的和。
10 若(x+1)+(x+1)2+…+(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n,求a0+a1+…+an.
答案:解:令x=2,得a0+a1+…+an=3+32+…+3n=
11 从集合{1,2,3,…,20}中选3不同的数使这3个数成递增的等差数列,则这样的数列共有多少个?
12 将一个四棱锥的每个顶点染上颜色,使同一条棱上的两端点异色,如果有5种颜色或供使用,那么不同的染色方法总数有多少种?
14 已知函数f(x)=f(2)=2f(3)<3,且f(x)的图像按向量e=(-1,0)平移后得到的图像关于原点成中心对称图形。
(1)求a、b、c的值;
∴Tn≥2n -2.∴原不等式成立.
(第(3)问可以用数学归纳法加以证明)
15.完成下列选择题与填空题
(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有 种.
A.81 B.64 C.24 D.4
(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )
A.81 B.64 C.24 D.4
(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,
①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ;
②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ;
③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。
16.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有 种不同的方法(用数字作答).
17.(1)在二项式的展开式中,含的项的系数是( )
A. B.
C. D.
答案 B
18.展开式中不含的项的系数绝对值的和为,不含的项的系数绝对值的和为,则的值可能为
A. B.
C. D.
20.(1)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种;
(2)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有( )
(A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
21.平面上给定10个点,任意三点不共线,由这10个点确定的直线中,无三条直线交于同一点(除原10点外),无两条直线互相平行。求:(1)这些直线所交成的点的个数(除原10点外)。(2)这些直线交成多少个三角形.
(2)同解法一。
22.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。
(2)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解析:本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识;
(2)的展开式通项为,因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B;
24.(1)将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
按照以上排列的规律,第行()从左向右的第3个数为 ▲
25.证明下列不等式:
(1)≥()n,(a、b∈{x|x是正实数},n∈N);
(2)已知a、b为正数,且+=1,则对于n∈N有
(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1。
26.(1)求4×6n+5n+1被20除后的余数;
(2)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9,得余数是多少?
(3)根据下列要求的精确度,求1.025的近似值。①精确到0. 01;②精确到0.001。