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- 2021-05-13 发布
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2002年普通高等学校招生全国统一考试(数学)文及答案
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线与圆相切,则的值为
A. B. C.1 D.
2.复数的值是
A. B. C. D.1
3.不等式的解集是
A. B.且
C. D.且
4.函数在上的最大值与最小值这和为3,则=
A. B.2 C.4 D.
5.在内,使成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
6.设集合,,则
A. B. C. D.
7.椭圆的一个焦点是,那么
A. B.1 C. D.
8.一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是
A. B. C. D.
9.,则有
A. B.
C. D.
10.函数()是单调函数的充要条件是
A. B. C. D.
11.设,则二次曲线的离心率取值范围
A. B. C. D.
12.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线.
13.据新华社2002年3月12日电,1985年到2000年间.我国农村人均居住面积如图所示,其中,从 年2000年的五年间增长最快.
14.函数()图象与其反函数图象的交点为
15.展开式中的系数是
16.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在轴上;②焦点在轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为.
能使这抛物线方程为的条件是第 (要求填写合适条件的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图,某地一天从6时至14
时的温度变化曲线近似满足函数
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段时间的函数解析式;
18.甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动.甲第1分钟走2米,以后每分钟比前1分钟多走1米,乙每分钟走5米.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1米,乙继续每分钟走5米,那么开始运动几分钟后第二相遇?
19.四棱锥的底面是边长为的正方形,平面.
(1)若面与面所成的二面角为,求这个四棱锥的体积;
(2)证明无论四棱锥的高怎样变化.面与面所成的二面角恒大于
20.设函数,
(1)讨论的奇偶性;
(2)求的最小值.
21.已知点到两定点、距离的比为,点到直线的距离为1,求直线的方程.
22.(本小题满分12分,附加题满分4分)
(I)给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;
(II)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
(III)(本小题为附加题,如果解答正确,加4分,但全卷总分不超过150分)
如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪栟成一个直三棱柱,使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
B
C
B
B
C
D
A
D
B
二、填空题
(13)1995 (14) (15)1008 (16)②⑤
三、解答题
(17)解:(1)由图示,这段时间的最大温差是℃
(2)图中从6时到14时的图象是函数的半个周期
∴,解得
由图示,
这时,
将代入上式,可取
综上,所求的解析式为()
(18)解:(1)设分钟后第1次相遇,依题意,有
,整理得,解得,(舍)
第1次相遇是在开始后7分钟.
(2)设分钟后第2次相遇,依题意,有
,整理得,解得,(舍)
第2次相遇是在开始后15分钟.
(19)解(1)∵平面,∴是在面上的射影,∴
∴是面与面所成二面角的平面角,
而是四棱锥的高,
∴
(2)证:不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面与恒为全等三角形.
作,垂足为,连结,则.
∴,,故是面与面所成的二面角的平面角.
设与相交于点,连结,则.
在△中,
所以,面与面所成的二面角恒大于
(20)解:(I),,由于,
故既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)
由于在上的最小值为,在内的最小值为
故函数在内的最小值为
(21)解:设的坐标为,由题意有,即
,整理得
因为点到的距离为1,
所以,直线的斜率为
直线的方程为
将代入整理得
解得,
则点坐标为或
或
直线的方程为或.
(22)解(I)如图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥.
如图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底.
(II)依上面剪拼方法,有.
推理如下:
设给出正三角形纸片的边长为2,那么,正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形,其面积为.现在计算它们的高:
,.
所以.
(III)如图3,分别连结三角形的内心与各顶点,得三条线段,再以这三条线段的中点为顶点作三角形.以新作的三角形为直棱柱的底面,过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线,沿六条垂线剪下三个四边形,可心拼成直三棱柱的上底,余下部分按虚线折起,成为一个缺上底的直三棱柱,即可得到直三棱柱.