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  • 2021-05-13 发布

三射线定理解高考立体几何题

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‎ 三射线定理解高考立体几何题 ‎ 陕西定边县第三中学 白治清 从一点发出的不在同一平面内的三条射线,形成三种空间角(即“线线角”、“面面角”与“线面角” )。这三种空间角之间的关系问题,是立体几何的一个基本问题,在立体几何的计算、证明中有着十分广泛的应用,本文将探寻这三种空间角之间的关系,得出三射线定理,并用三射线定理解立体几何高考题。‎ 一、由“线线角”求“面面角”‎ 定理1 OA、OB、OC是不在同一平面内的三条射线,如果∠BOC=1 ,∠COA= 2 ‎ ‎, ∠AOB=3 ,二面角C—OA—B,A—OB—C与B—OC—A的平面角分别等于β1 、β2 、β3 ,那么 cosβ1 =  ,   ① ‎ cosβ2 =  ,   ②‎ cosβ3 =  ,   ③‎ 证明:先证明①,分5种情况:‎ (1) ‎ 2与3 ,均为锐角.‎ 如图1,在OA上取一点P,使OP=1.在平面AOB内,作PM⊥OA,交OB于M;在平面AOC内,作PN⊥OA,交OC于N.连结MN,∠NPM=β1 .‎ PN=tan,PM= tan,ON=sec,OM=sec,在△PMN与△OMN中应用余弦定理,得 MN2=tan2+ tan2-2tantan cosβ1‎ ‎=sec22+ sec2 3-2sec2sec3cos1 .‎ 用1、2、3 的三角函数表示cosβ1 , 得 ‎ ‎ cosβ1 = ‎ ‎(2)2与3中有一个锐角,一个钝角.‎ 如图2,不妨设3为锐角, 2为钝角,作OC的反向延长线OD.因为二面角D-OA-B与C-OA-B“互补”,所以D-OA-B的平面角等于.‎ ‎∠BOD=对于射线OA、OB、OD应用(1), 得 cos()=,‎ 即cos.‎ ‎(3)2与3均为钝角.‎ 如图3, 作OB、OC的反向延长线OD、OE,二面角D-OA-E与C-OA-B是“对顶角”,所以D-OA-E的平面角等于β1 .‎ ‎,,.对于射线OA、OD、OE应用(1),得 cos ‎ .‎ ‎(4)2与3中有一个直角. 图3 ‎ 如图4,不妨设2 = 在平面AOB内作OD⊥OA,则∠COD=β1 .‎ α 若β1≠因为,不论3是锐角还是钝角,都有 ‎∠BOD=二面角B-OD-C是直二面角,对于射线OD、OC、OB应用(1)、(2)、(3),得 cos=,‎ 即cos 另一方面,直接应用①,得cosβ1=.‎ 若β1=,则cosβ1=0,这时,‎ 另一方面,直接应用①,得cosβ1=‎ 可见,当2、3中有一个直角时,①仍旧适用。‎ ‎(5)2与3均为直角.‎ 这时,β1= 1,cosβ1=cos1 .‎ 另一方面,直接应用①,得cosβ1=‎ 可见,当2、3均为直角时,1①仍旧适用。‎ 综合上述,①得证. 同理可证②与③. 定理1证毕。‎ 二、由“线线角”求“线面角”‎ 定理2 OA、OB、OC是不在同一平面内的三条射线,如果∠BOC=1, ∠COA=2,∠AOB=3,直线OA、OB、OC分别与平面BOC、COA、AOB所成的角等于θ1、θ2、θ3,那么 sin2θ1=(1-cos21-cos22-cos23+2cos1cos2cos3)/sin21. ①‎ sin2θ2=(1-cos21-cos22-cos23+2cos1cos2cos3)/sin22. ②‎ sin2θ3=(1-cos21-cos22-cos23+2cos1cos2cos3)/sin22. ③‎ 证明:先证明①.‎ 在OA上任取一点P,作PQ⊥平面BOC,Q为垂足,OQ是OA在平面BOC内的射影,∠POQ=θ1,分5种情况。‎ ‎(1)OQ在∠BOC的内部.‎ 如图5,作QR⊥OC,垂足为R,连PR,∠PRQ是二面角B-OC-A的平面角,设∠PRQ=.‎ ‎∠OPQ= ∠OPR= ∠QPR=‎ ‎ 二面角O-PR-Q是直二面角,对于射线PR、PO、PQ应用定理1,得 ‎ cos,‎ 即 sinθ1=sin2sinβ3, ‎ sin2θ1=sin22sin2β3, (a)‎ 对于射线OA、OB、OC应用定理1③,得cosβ3=‎ 即sin2β3=1-()2 (b)‎ 将(b)式代入(a)式,得 sin2θ1=‎ ‎ .‎ ‎(2)OQ在∠BOC的两边的反向延长线所形成的角的内部.‎ 如图6 OD、OE是OB、OC的反向延长线,OQ在∠DOE的内部.‎ ‎∠DOE=1,∠AOE=π-2,∠AOD=π-3,对于射线OA、OD、OE应用(1)的结论,得 Sin2=‎ ‎=‎ ‎(3)OQ在∠BOC的一边及另一边的反向延长线所形成的角的内部.‎ 如图7 OD是OC的反向延长线,OQ在∠BOD的内部.‎ ‎∠BOD=∠AOD=对于射线OA、OB、OD应用(1),得 sin21=‎ ‎=‎ ‎(4)OQ在∠BOC的一边上,如图8,OQ在OC上.‎ 这时,1=2,sin21=sin22,另一方面,由定理2①,得 sin21= (c)‎ 因为二面角B-OC-A是直二面角,由定理1③,得 cos 即 (d)‎ 将(d)式代入(c)式,得 sin21=‎ ‎=‎ 可见,当OQ在∠BOC的一边上时,定理2仍旧适用。‎ ‎(5)OQ在∠BOC的一边的反向延长线上;‎ 如图9,OQ在OC的反向延长线OD上.‎ ‎∠BOD=, ∠AOD=‎ 对于射线OA、OB、OD应用(4),得 sin21 = ‎ ‎= .‎ 综合上述,定理2①得证,同理可证②与③,定理2证毕.‎ 三、由“面面角”求“线线角”与“线面角”及由“线面角”求“线线角”与“面面角”.‎ 如果已知“面面角”,那么解定理1的①、②、③联立的方程组,可求得“线线角”,再由定理2可求“线面角”.类似地,由“线面角”可求“线线角”与“面面角”。‎ 应用举例 ‎ ‎ 例1 (2015·陕西·理)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∕∕BC,∠BAD=90°,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2.‎ ‎ (1)证明:CD⊥平面A1OC;‎ ‎ (2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎ (图1) (图2)‎ ‎ 服务于本文,只解(2).其他各题也只解有关三种空间角的问题. ‎ 解:(2)∠BCD = 135°.由(1)得,∠A1CD = 90°.‎ ΔA1OB≌ΔBOC≌ΔCOA1,A1B=A1C=BC,∠A1CB=60°.‎ ‎ 设所求二面角B—A1C—D的平面角为β,对于射线CA1,CB,CD应用三射线定理1,得 ‎ ‎ 平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为 ‎ ‎ 点评:用三射线定理1求二面角,无需将二面角的平面角作出,只是要先确定三条射线,求出三个线线角.‎ ‎ 例2 (2008·海南·理) 如图,已知点P在正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°.‎ ‎ (1)求DP与CC1所成角的大小;‎ ‎ (2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小.‎ ‎ 解:(1)由正方体易知,二面角A—DD1—P的平面角为45°,又∠ADD1=90°,∠PDA=60°.‎ ‎ 对于射线DA,DP,DD1应用三射线定理1,得 ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵DD1∥CC1,∴DP与CC1所成的角是45°.‎ ‎ (2)设DP与平面AA1D1D所成的角是θ,对于射线DA,DP,DD1应用三射线定理2,得 ‎ ‎ DP与平面AA1D1D所成的角是30°.‎ 点评:定理1的公式是求二面角的,在二面角已知时,可求线线角;用定理2求线面角时,如果有90°的线线角,实际的运算量很小.‎ 例3 (2006·全国卷1·理)如图, 是互相垂直的两条异面直线,MN是它们的公垂线段、点A,B在 上,点C在 上,AM = MB = MV.‎ ‎ (1)证明:AC⊥NB;‎ ‎ (2) 若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦.‎ 解:(2)易知,RtΔBCN ≌ RtΔACN,AC = BC.∠ACB = 60°,∠ABC= 60°‎ 设MB = 1,则 BN = ,BC = 2,∠CBN = 45°.∠ABN = 45°.‎ 设所求的线面角为θ,对于射线BA、BC、BN应用三射线定理2,得 ‎ ‎ ‎ NB与平面ABC所成角的余弦是 ‎ ‎ 点评:定理2的公式虽然很长,但结构特征明鲜,容易记忆.定理的表达式中,有3处余弦平方,有3个余弦值相乘,这看似复杂,但是在具体题目中,线线角的余弦值往往带有根号,这反而使运算变的简便。‎ ‎ 例4 (2014·全国卷1·理)如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.‎ ‎ (1)证明:AC = AB1;‎ ‎ (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A—A1B1—C1的余弦值.‎ ‎ 解:(2)二面角B1—AB—C与 ‎ A—A1B1—C1的平面角互补.‎ ‎ 设BC=1,则AB=BB1=B1C=1,AC=AB1= .‎ ‎ 在ΔABB1中,由余弦定理,得 ‎ ‎ ‎ ∵ΔABC ≌ ΔABB1,∴cos∠ABC = cos∠ABB1 = .‎ ‎ sin∠ABC =sin∠ABB1 = .cos∠CBB1 = . ‎ ‎ 设二面角B1—AB—C的平面角为β,对于射线BA,BB1,BC应用三射线定理1,得 ‎ ‎ 二面角 A—A1B1—C的余弦值是 ‎ 点评:借助余弦定理,求出了一个线线角的余弦,为最后应用三射线定理作准备.‎ ‎ 例5 (2000·全国·文)四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥平面ABCD.‎ ‎ (1)(略).‎ ‎ (2)证明无论四棱锥的高怎么变化,面PAD与PCD所成的二面角恒大于 90° ‎ ‎ (2)证明:由已知易得,ΔPAD ≌ RtΔPCD,∠PDA =∠PDC,‎ ‎∠ADC = 90°.‎ 设二面角A—PD—C的平面角为β,对于射线DP,DA,DC应用定理1,得 ‎ ‎ ‎ ∴β>90°,即面 PAD与PCD所成的二面角恒大于90°.‎ 点评:用三射线定理证明此题,一眼看出,就是“秒杀”.‎ 例6 如图,AB和平面 M所成的角为α,AC在平面M内,AC和AB在平面 M内的射影AB1所成所成的角为β,设∠BAC=θ, 求证:α,β,θ满足关系式:cosθ=cosα·cosβ,‎ ‎ 证明:二面角B—AB1—C是直二面角,由定理1,得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴cosθ=cosαcosβ 点评:本题结论称为三余弦定理,可看作是三射线定理1的推论.‎ 例7:(2002·全国·理)如图,正方形 ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若cm = BN =(0<α< ) ‎ ‎ (1)求MN的长;‎ ‎ (2)α为何值时,MN的长最小;‎ ‎ (3)当MN的长最小时,求面MNA与面MNB所成二面角的大小.‎ ‎ 解:(3)由(2)得,当M为AC中点,N为BF的中 点时,MN的长最小.‎ ‎ ∠BAC=∠BAN=45°,C— AB—N是直二面角,由三余弦定理,得 ‎ ‎ ‎ ≌‎ ‎ ∠ANB=90°,设所求二面角为β,对于射线NA,NB,NM用三射线定理1,得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点评:借助三余弦定理,求出一个线线角,为最后用三射线定理作准备. ‎ ‎ 例8(2005·全国卷1·理)已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,AB∥BC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD, ‎ ‎ (1)证明:面PAD⊥面PCD;‎ ‎ (2)求AC与PB所成的角;‎ ‎ (3)求面AMC与面BMC所成=面角的大小. B ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ΔMCA≌ΔMCB,∠MCA=∠MCB.∠ABC=90°‎ ‎ 设所求二面角为β,对于射线CM、CA、CB,应用三射线定理1,得 ‎ ‎ ‎ 点评:构建了一个直二面角,这一步是关键.‎ ‎ 例9 (2013·安徽·理)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°.AB与CD是底面圆O上的两条平行弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°‎ ‎ (1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;‎ ‎ (2)求cos∠COD. ‎ ‎ 解:(2)作OE⊥CD,连接PE.‎ ‎ 二面角C—OD — P是直二面角,由三余弦定理,得 ‎ (1)‎ ‎ ∠PEO是二面角P—CD—O的平面角,∠PEO=30°,由三射线定理1,得 ‎ (2)‎ ‎ 解(1)和(2)组成的方程组,设cos∠CDP=χ,‎ ‎ cos∠CDO=У,则 ‎ ‎ 点评:本题是历年高考立体几何中的难题,用三射线定理解之,列方程组容易,用常规方法解不易入手.‎ 从理论上讲,在立体几何中,任何一个有关三种空间角的问题,都可以用三射线定理解决.这是因为定理的几何模型十分简单(只有三条射线),使定理具有广泛的适应性;而定理的内含很丰富(揭示了三种空间角之间的关系)。事实上,三射线定理可以全解立体几何(有关三种空间角)高考题。‎ 这里我们已经看到构建几何模型的作用,我们要善于从纷繁的几何图形中,去掉表象成份,抓住核心要件,抽象出简单、基本、能反映问题本质的几何模型。一个模型就是一个题根,也就能解决一个题群.‎ ‎ 最后,请读者朋友用三射线定理解下列各题:‎ ‎ (1)2016年高考全国卷一理科数学(18)题.‎ ‎ (2)2016年高考全国卷二理科数学(19)题.‎ ‎ (3)2016年高考全国卷三理科数学(18)题.‎ 注:本文发表于陕西师范大学《中学数学教学参考》1995年第8期,原标题为《对三种空间角之间关系的探讨》,此次修改在应用部分选用了近年来的高考题.‎ ‎ 2016.9.30‎