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- 2021-05-13 发布
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2003年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
数 学(理工农医类)
第Ⅰ卷 (共110分)
一、填空题(本大题满分48分)
1.函数的最小正周期T= .
2.若 .
3.在等差数列中,a5=3, a6=-2,则a4+a5+…+a10=
4.在极坐标系中,定点A点B在直线上运动,当线段AB最短时,点B的极坐标是
5.在正四棱锥P—ABCD中,若侧面与底面所成二面角的大小为60°,则异面直线PA与BC所成
于 .(结果用反三角函数值表示)
6.设集合A={x||x|<4},B={x|x2-4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且= .
7.在△ABC中,sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .(结果用反三角函数值表示)
8.若首项为a1,公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和,则首项a1,公比q的一组取值可以是(a1,q)= .
9.某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 .(结果用分数表示)
10.方程x3+lgx=18的根 .(结果精确到0.1)
11.已知点其中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积,则= .
12.给出问题:F1、F2是双曲线=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,将正确的结果填在下面空格内 .
二、选择题(本大题满分16分)
13.下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是 ( )
A.y=tg|x|. B.y=cos(-x). C. D..
14.在下列条件中,可判断平面α与β平行的是 ( )
A.α、β都垂直于平面r; B.α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C.l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β; D.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α, l∥β,m∥β.
15.a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0
的解集分别为集合M和N,那么“”是“M=N”的 ( )
A.充分非必要条件. B.必要非充分条件. C.充要条件 D.既非充分又非必要条件.
16.f()是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令g()=af()+b,则下列关于函数g()的叙述正确的是 ( )
A.若a<0,则函数g()的图象关于原点对称.
B.若a=-1,-20,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:
f(x)=ax∈M;
(3)若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.
2003年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
数学(理工农医类)答案
一、(第1题至第12题)
1.π. 2.. 3.-49 . 4.. 5.arctg2. 6.[1,3].
7. 8.的一组数). 9.
10.2.6 . 11.4π 12.|PF2|=17.
二、(第13题至第16题)
题 号
13
14
15
16
代 号
C
D
D
B
三、(第17题至第22题)
17.[解]
故的最大值为最小值为.
18.[解]连结BD,因为B1B⊥平面ABCD,B1D⊥BC,所以BC⊥BD.
在△BCD中,BC=2,CD=4,所以BD=.D1
C1
B1
A1
D
A
B
C
又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°,所以
∠B1DB=30°,于是BB1=BD=2.
故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=.
19.[解](1)
(2)归纳概括的结论为:
若数列是首项为a1,公比为q的等比数列,则
20.[解](1)如图建立直角坐标系,则点P(11,4.5), 椭圆方程为.
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得.因此隧道的拱宽约为33.3米.
(2)[解一]
由椭圆方程,得
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.
[解二]由椭圆方程,得 于是
得以下同解一.
21.[解](1)设得
所以v-3>0,得v=8,故={6,8}.
(2)由={10,5},得B(10,5),于是直线OB方程:
由条件可知圆的标准方程为:(x-3)2+y(y+1)2=10, 得圆心(3,-1),半径为.
设圆心(3,-1)关于直线OB的对称点为(x ,y)则
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
(3)设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点,则
故当时,抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两点.
22.[解](1)对于非零常数T,f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R,x+T= Tx不能恒成立,所以f(x)=
(2)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:有解,消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常数T,使aT=T.
于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M.
(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M.
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数T,对任意x∈R,有
f(x+T)=T f(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立,
只有T=,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ, m∈Z .
当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx 成立,
即sin(kx-k+π)= sinkx 成立,
则-k+π=2mπ, m∈Z ,即k=-2(m-1) π, m∈Z .
综合得,实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}
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