第九章 统计、统计案例、计数原理、
概率、随机变量及其分布列
考点31 统计、统计案例
两年高考真题演练
1.(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )
A.167 B.137 C.123 D.93
2.(2015·新课标全国Ⅰ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图.以下结论不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
3.(2015·福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y^ =b^ x+a^ ,其中b^ =0.76,a^ =y-b^ x.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A.11.4万元 B.11.8万元
C.12.0万元 D.12.2万元
4.(2015·安徽)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为( )
A.8 B.15 C.16 D.32
5.(2015·湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.
6.(2014·安徽)某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(1)应收集多少位女生的样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附K2=
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
考点31 统计、统计案例
一年模拟试题精练
1.(2015·安徽宿州模拟)某种商品的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5,则表中的m的值为( )
x
2
4
5
6
8
y
30
40
m
50
70
A.45 B.50 C.55 D.60
2.(2015·山东泰安一模)根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
得到的回归方程为=bx+a.若a=7.9,则x每增加1个单位,y就( )
A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位
C.增加1.2个单位 D.减少1.2个单位
3.(2015·安徽江南十校模拟)将
甲、乙两名篮球运动员在5场篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示,若x甲,x乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分,则下列结论正确的是( )
A.x甲>x乙,且甲队员比乙队员成绩稳定
B.x甲>x乙,且乙队员比甲队员成绩稳定
C.x甲<x乙,且甲队员比乙队员成绩稳定
D.x甲<x乙,且乙队员比甲队员成绩稳定
4.(2015·广东潮州模拟)已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本中心点为(4,5),若解释变量的值为10,则预报变量的值约为( )
A.16.3 B.17.3 C.12.38 D.2.03
5.(2015·广东东莞模拟)对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则不正确的说法是( )
A.若求得的回归方程为=0.9x-0.3,则变量y和x之间具有正的线性相关关系
B.若这组样本数据分别是(1,1),(2,1.5),(4,3),(5,4.5),则其回归方程=bx+a必过点(3,2.5)
C.若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E1=0.8.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为E2=2.1,则模型1的拟合效果更好
D.若用相关指数R2(R2=1-,a=y-bx,其中x,y为样本平均值.
考点32 排列、组合、二项式定理
两年高考真题演练
1.(2015·湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210
C.211 D.212
2.(2015·陕西)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=( )
A.4 B.5
C.6 D.7
3.(2015·湖南)已知的展开式中含x的项的系数为30,则a=( )
A. B.-
C.6 D.-6
4.(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个 B.120个
C.96个 D.72个
5.(2015·新课标全国Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
6.(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )
A.60种 B.70种
C.75种 D.150种
7.(2014·辽宁)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120
C.72 D.24
8.(2014·四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种
C.240种 D.288种
9.(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120
C.144 D.168
10.(2015·福建)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于________(用数字作答).
11.(2015·安徽)的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案).
12.(2015·新课标全国Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____________.
13.(2015·广东)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).
14.(2014·福建)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:
①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.
15.(2014·新课标全国Ⅱ)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=________(用数字填写答案).
16.(2014·安徽)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=________.
考点32 排列、组合、二项式定理
一年模拟试题精练
1.(2015·重庆万州区模拟)8个人坐成一排,现要调换其中3个人中每一个人的位置,其余5个人的位置不变,则不同的调换方式有( )
A. C B. CA C.CA D. 3C
2.(2015·安徽江南十校模拟)在二项式(n∈N*)的展开式中,常数项为28,则n的值为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
3.(2015·河南信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有( )
A.36种 B.30种 C.24种 D.6种
4.(2015·山东滨州模拟)七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙,丙两位同学要站在一起,则不同的排法有( )
A.240种 B.192种 C.120种 D.96种
5.(2015·山东济南一模)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有( )
A.48种 B. 60 种 C.96种 D.72种
6.(2015·江西模拟)学校组织老师参加社会调查,某小组共有5名男教师,4名女教师.现从该小组中选出3位老师分别到A,B,C三地进行社会调查,若选出的老师中男女均有,则不同安排方法有( )
A.70种 B.140种 C.840种 D.420种
7.(2015·安徽江南十校模拟)某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动.若甲、乙两位同学不参加同一社团,每个社团都有人参加,每人只参加一个社团,则不同的报名方案数为( )
A.4 320 B.2 400 C.2 160 D.1 320
8.(2015·东北三省三校模拟)设二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn,则=( )
A.2n-1+3 B.2(2n-1+1)
C.2n+1 D.1
9.(2015·甘肃河西模拟)从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛,则甲、乙2人至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答).
10.(2015·贵州模拟)(1-x-5y)5的展开式中不含x
的项的系数和为________(结果化成最简形式).
11.(2015·广东广州模拟)由0,1,2,…,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中,十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________.
12.(2015·安徽马鞍山模拟)某班3名男生2名女生被派往三个单位实习,每个单位至少去一人,两名女生不去同一单位,则不同的分派方案有________(用数字作答).
13.(2015·广州惠州模拟)二项式(x-)6的展开式的常数项是________(用数字作答).
14.(2015·湖北七州模拟)若函数f(x)=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a,则(x-)6的展开式中的常数项为________(用数字作答).
考点33 古典概型、几何概型
两年高考真题演练
1.(2015·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥”的概率,p2为事件“|x-y|≤”的概率,p3为事件“xy≤”的概率,则( )
A.p1
1.75,则p的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.(2015·广东模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2,1). 若P(1≤X≤3)=0.6826,则P(X>3)等于________.
4.(2015·山东济南一模)某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示乙队的总得分.
(1)求ξ的分布列和数学期望;
(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
5.(2014·成都二诊)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品.现用A,B两种不同型号的节能灯做试验,各随机抽取部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示.
以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率.
(1)现从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率;
(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”.通过多年统计发现,A型节能灯每件产品的利润y
(单位:元)与其使用时间t(单位:千小时)的关系如下表:
使用时间t(单位:千小时)
t<4
4≤t<6
t≥6
每件产品的利润y(单位:元)
-20
20
40
若从大量的A型节能灯中随机抽取两件,其利润之和记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
第九章 统计、统计案例、计数原理、概率、随机变量及其分布列
考点31 统计、统计案例
【两年高考真题演练】
1.B [由题干扇形统计图可得该校女教师人数为:110×70%+150×(1-60%)=137.故选B.]
2.D [从2006年,将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较,得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大,A选项正确;
2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多,B选项正确;
虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些,但自2006年以来,整体呈递减趋势,即C选项正确;自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关,D选项错误,故选D.]
3.B [回归直线一定过样本点中心(10,8),∵b^ =0.76,∴a^ =0.4,由y^ =0.76x+0.4得当x=15万元时,y^ =11.8万元.故选B.]
4.C [法一 由题意知,x1+x2+…+x10=10x,
s1=,
则y=[(2x1-1)+(2x2-1)+…+(2x10-1)]
=[2(x1+x2+…+x10)-n]=2x-1,
所以S2=
=
=2s1,故选C.
法二 由方差的性质可得.]
5.4 [由题意知,将1~35号分成7组,每组5名运动员,落在区间[139,151]的运动员共有4组,故由系统抽样法知,共抽取4名.]
6.解 (1)300×=90,
所以应收集90位女生的样本数据.
(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2==≈4.762>3.841.
所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
【一年模拟试题精练】
1.B [因为线性回归方程为=6.5x+17.5恒过样本中心点,而x=5,∴y=50,则m=50,故选B.]
2.B [因为回归方程为y=bx+a恒过样本中心点(5,0.9),所以b=-1.4,则x每增加一个单位,y就减少1.4个单位,故选B.]
3.B [根据茎叶图,知:
甲的平均成绩为x甲==25.6
乙的平均成绩为 x乙==22.6
甲的方差为s=×[(14-25.6)2+(25-25.6)2+(26-25.6)2+(30-25.6)2+(33-25.6)2]=41.84,
乙的方差为s=[(16-22.6)2+(20-22.6)2+(22-22.6)2+(24-22.6)2+(31-22.6)2]=24.64;
∴x甲>x乙,s>s ,即甲运动员比乙运动员平均得分高,乙队员比甲队员成绩稳定.]
4.C [设线性回归方程为y=1.23x+a,因为样本中心点为(4,5),所以a=0.08,故当x=10时,y=12.38,故选C .]
5.D [相关指数R2越接近于1拟合效果越好,故选D.]
6.解 (1)∵i=25,
∴x=i=4,y=i=5.
∴b===1.2,
a=y-bx=5-1.2×4=0.2.
∴线性回归方程y=1.2x+0.2.
(2)由(1)知b=1.2>0,∴变量x与y之间是正相关.
(3)由(1)知,当x=8时,y=1.2×8+0.2=9.8(万元),即估计使用年限为8年时,支出的维修费约是9.8万元.
考点32 排列、组合、二项式定理
【两年高考真题演练】
1.A [由题意,C=C,解得n=10.则奇数项的二项式系数和为2n-1=29.故选A.]
2.C [由题意易得:C=15,C=C=15,即=15,解得n=6.]
3.D [的展开式通项Tr+1=Cx(-1)rar·x-=(-1)rarCx-r,令-r=,则r=1,
∴T2=-aCx,∴-aC=30,∴a=-6,故选D.]
4.B [由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A=72个;若万位是4,则有2×A个=48个,故40 000大的偶数共有72+48=120个.选B.]
5.C [Tk+1=C(x2+x)5-kyk,∴k=2.∴C(x2+x)3y2的第r+1项为CCx2(3-r)xry2,∴2(3-r)+r=5,解得r=1,∴x5y2的系数为CC=30.]
6.C [从6名男医生中选出2名有C种选法,从5名女医生中选出1名有C种选法,故共有C·C=×5=75种选法,选C.]
7.D [插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A=24.故选D.]
8.B [(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A;
(2)当最左端排乙的时候,排法种数为CA.因此不同的排法的种数为A+CA=120+96=216.]
9.B [解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类A,然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空,故不同排法有A·2A=72.第二类也分两步,先排歌舞类A,然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA,故不同的排法有AAAC=48,故共有120种不同排法,故选B.]
10.80 [T3=Cx2·23=80x2,∴x2的系数等于80.]
11.35 [的展开式的第r+1项为Tr+1=C(x3)7-r·=C·x21-4r,令21-4r=5,得r=4,∴T5=Cx5=35x5.]
12.3 [设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,①
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),
所以8(a+1)=32,解得a=3.]
13.1 560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A=40×39=1 560条毕业留言.]
14.6 [根据题意可分四种情况:
(1)若①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组有0个;
(2)若②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4);
(3)若③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,4);
(4)若④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(4,1,3,2),(3,1,4,2).
所以共有6个.故答案为6.]
15. [设展开式的通项为Tr+1=Cx10-rar,令r=3,得T4=Cx7a3,即Ca3=15,得a=.]
16.3 [由题意得a1=·C==3,
∴n=3a;a2=C==4,
∴n2-n=8a2.
将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.]
【一年模拟试题精练】
1.C [从8人中任选3人有C种,3人位置全调有A种,故有CA种.故选C.]
2.B [展开式中第r+1项是C(x3)n-r=Cx3n-4r(-1)r=28,则∴n=8,r=6.]
3.B [从4人中选出两个人作为一个元素有C种方法,同其他两个元素在三个位置上排列CA=36,其中有不符合条件的,即学生甲,乙同时参加同一学科竞赛有A种结果,∴不同的参赛方案共有36-6=30,故选B.]
4.B [分三步:先排甲,有一种方法;再排乙、丙,排在甲的左边或右边各有4种方法;再排其余4人,有A种方法,故共有2×4×A=192(种).故选B.]
5.D [设四棱锥为P-ABCD.下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论,
(1)P的着色方法种数为C,A的着色方法种数为C,B的着色方法种数为C,C与B同色时C的着色方法种数为1,D的着色方法种数为C.
(2)P的着色方法种数为C,A的着色方法种数为C,B的着色方法种数为C,C与B不同色时C的着色方法种数为C,D的着色方法种数为C.综上两类共有C·C·2·C+C·C·2=48+24=72种结果.故选D.]
6.D [∵共有男女教师九人选三个到A、B、C三地进行调查共有A种结果,要求这3位老师中男女教师都有,则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意,选的都是男教师有A种结果,选的都是女教师有A种结果,∴满足条件的方案有A-(A+A)=420.]
7.D [N=×A=1 320.]
8.C [由题意知an=2n成等比数列,令x=1则bn=也成等比数列,所以=2n+1,故选C.]
9.49 [丙没有入选相当于从9人中选3人,共有选法C=84,
甲、乙都没入选相当于从7人中选3人共有C=35,
∴满足条件的事件数是84-35=49,]
10.-1 024 [求(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和,即5个多项式(1-x-5y)在展开时全不含x,(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(1-5y)5的各项系数和,对于(1-5y)5令y=1得展开式的各项系数和为(-4)5=-1 024;故答案为-1 024]
11.280 [当十位数字为0,千位数字为7时,四位数的个数是A;当十位数字与千位数字为1,8时,四位数的个数是AA;当十位数字与千位数字为2,9时,四位数的个数是AA,故所求的四位数的个数是A+AA+AA=280.]
12.114 [先分2名女生,有A=6(种),再分男生,男生的分法有(1,1,1),(2,1,0),(3,0,0)三类,即(A+C·C·C+C )=19(种),根据分步计数原理,得不同的分派方案有6×19=114(种).]
13.-20 [∵(x-)6=[x+(-x-1)]6,Tr+1=Cx6-r(-x-1)r=(-1)rCx6-2r,当6-2r=0则r=3,常数项为T4=(-1)3C=-20.]
14.15 [函数f(x)=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a,则a=xdx+··1=1,所以6=(x-)6的展开式中的常数项为C(-1)2=15.]
考点33 古典概型、几何概型
【两年高考真题演练】
1.
B [在直角坐标系中,依次作出不等式x+y≥,|x-y|≤,xy≤的可行域如图所示:
依题意,p1=,
p2=,p3=,
因为S△ABO=S△BEG=S△DGF,所以p20.5=P(Y≥μ2).故A项错误;
对于B项,因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更“瘦高”,所以σ1<σ2.所以P(X≤σ1)1.75,解得p>或p<,又由p∈(0,1),可得p∈,故应选C.]
3.0.158 7 [因为随机变量X服从正态分布N(2,1),所以P(X>3)=P(X<1),因为P(X<1)+P(1≤X≤3)+P(X≥3)=1,所以P(X>3)=(1-0.682 6)=0.158 7.]
4.解 (1)由题意知,ξ的所有可能取值为0,10,20,30.
P(ξ=0)=××=,
P(ξ=10)=××+××+××==,
P(ξ=20)=××+××+××==,
P(ξ=30)=××==.
ξ的分布列为:
ξ
0
10
20
30
P
∴E(ξ)=0×+10×+20×+30×=.
(2)用A表示“甲得30分乙得0分”,用B表示“甲得20分乙得10分”,且A,B互斥.
又P(A)=×=,
P(B)=C××=,
甲、乙两人得分总和为30分且甲获胜的概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)==.
5.解 (1)从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)=.
从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)=.∴从A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,
恰有两件是优质品的概率
P=C××C×+C×C2+C×C=.
(2)据题意知,X的可能取值为-40,0,20,40,60,80.
∵P(X=-40)=C=,
P(X=0)=C×=,
P(X=20)=C×=,
P(X=40)=C=,
P(X=60)=C×=,
P(X=80)=C=,
∴X的分布列为:
X
-40
0
20
40
60
80
P
∴数学期望E(X)=(-40)×+0+20×+40×+60×+80×=52.