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- 2021-05-13 发布
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 II 卷)
文科数学 2018.7.1
本试卷 4 页,23 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1. ( )
A. B. C. D.
1.【解析】 ,故选 D.
2.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.【解析】 ,故选 C.
3.函数 的图像大致为( )
A. B.
C. D.
3.【解析】 ,即 为奇函数,排除 A;由 排除 D;由
排除 C,故选 B.
=+ i)32(i
2i3 − 2i3 + 2i3 −− 2i3 +−
i233i2i)32(i +−=−=+
}7,5,3,1{=A }5,4,3,2{=B =BA
}3{ }5{ }5,3{ }7,5,4,3,2,1{
}5,3{=BA
2)( x
eexf
xx −−=
O 1
1
x
y
O 1
1
x
y
O 1
1
x
y
O 1
1
x
y
)()( 2 xfx
eexf
xx
−=−=−
−
)(xf 01)1( >−=
eef
)1(1)1)(1)(1(16
1
16)4( 2
2
44
feeeeeeeeeef =−>−++=+=
−
4.已知向量 满足 , ,则 ( )
A.4 B.3 C.2 D.0
4.【解析】 ,故选 B.
5.从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务,则选中的 2 人都是女同学的概率为( )
A. B. C. D.
5.【解析】记 2 名男同学为 和 3 名女同学为 ,从中任选 2 人:
,共 10 种情况.选中的 2 人都是女同学为: ,共 3 种情况,则选中的 2 人都是女同学
的概率为 ,故选 D.
6.双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.【解析】离心率 ,所以 ,渐近线方程为 ,故选 A.
7.在 中, , , ,则 ( )
A. B. C. D.
7.【解析】 ,
由余弦定理得 ,
故选 A.
8.为计算 ,设计了右侧的
程序框图,则在空白框中应填入( )
A.
B.
C.
D.
8.【解析】依题意可知空白框中应填入 .第 1 次循环: ;第 2 次循环:
; ;第 50 次循环: ,结
束循环得 ,所以选 B.
ba, 1=a 1−=⋅ba =−⋅ )2( baa
3122)2(
2 =+=⋅−=−⋅ baabaa
6.0 5.0 4.0 3.0
ba, CBA ,, ,,,,,,,, ABbCbBbAaCaBaAab
BCAC, BCACAB ,,
3.0
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x 3
xy 2±= xy 3±= xy 2
2±= xy 2
3±=
33 2
22
2
2
=+=⇒==
a
ba
a
c
a
ce 2=
a
b xy 2±=
ABC∆
5
5
2cos =C 1=BC 5=AC =AB
24 30 29 52
5
312cos2cos 2 −=−= CC
24cos222 =⋅⋅−+= CACBCACBCAB
100
1
99
1
4
1
3
1
2
11 −++−+−= S
1+= ii
2+= ii
3+= ii
4+= ii
2+= ii 3,2
1,1 === iTN
5,4
1
2
1,3
11 =+=+= iTN 101,100
1
4
1
2
1,99
1
3
11 =+++=+++= iTN
100
1
99
1
4
1
3
1
2
11 −++−+−= S
0,0 == TN
100kk l C BA, 8=AB
l
A
B
C
M
O
P
A
B
C
M
O
P
(2)求过点 且与 的准线相切的圆的方程.
20.【解析】(1)焦点 为 ,则直线 ,
联立方程组 ,得 ,
令 ,则 , .
根据抛物线的定义得 ,
即 ,解得 (舍去 ),
所以 的方程为 ;
(2)设弦 的中点为 ,由(1)知 ,所以 的坐标为 ,
则弦 的垂直平分线为 ,令所求圆的圆心为 ,半径为 ,
根据垂径定理得 ,
由圆与准线相切得 ,解得 或 .
则所求圆的方程为: 或 .
21.(12 分)
已知函数 .
(1)若 ,求 的单调区间;
(2)证明: 只有一个零点.
21.【解析】(1) 时, ,则 ,
由 得 ;
由 得 ,
所以 时, 的单调增区间为 ,减区间为 .
(2)因为 恒成立,所以要证明 只有一个零点等价于证明方程 ,
即证明直线 与曲线 只有一个交点.
BA, C
F )0,1( )1(: −= xkyl
=
−=
xy
xky
4
)1(
2 0)42( 2222 =++− kxkxk
),(),,( 2211 yxByxA 2
2
21
42
k
kxx
+=+ 121 =xx
8221 =++= xxAB
642
2
2
=+
k
k 1=k 1−=k
l 1−= xy
AB M 32
21 =+ xx M )2,3(
AB 5+−= xy )5,( mm − r
34122
2
15
2
2
22
+−=
−+−+
= mmmmABr
341221 2 +−=+ mmm 3=m 11=m
16)2()3( 22 =−+− yx 144)6()11( 22 =++− yx
)1(3
1)( 23 ++−= xxaxxf
3=a )(xf
)(xf
3=a )1(33
1)( 23 ++−= xxxxf 36)( 2 −−=′ xxxf
036)( 2 >−−=′ xxxf ),323()323,( +∞+−−∞∈ x
036)( 2 <−−=′ xxxf )323,323( +−∈x
3=a )(xf ),323(),323,( +∞+−−∞ )323,323( +−
012 >++ xx )(xf axx
x =++ )1(3 2
3
ay =
)1(3)( 2
3
++=
xx
xxg
xFO
A
B
y
-1
所以 在 上为单调递增的函数,所以直线 与曲线 只有一个交点,得证.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
在 直 角 坐 标 系 中 , 曲 线 的 参 数 方 程 为 为 参 数 , 直 线 的 参 数 方 程 为
为参数
(1)求 和 的直角坐标方程;
(2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ,求 的斜率.
22.【解析】(1)消去参数 ,得 的直角坐标方程为 ;
消去参数 ,得 的直角坐标方程为 ;
( 的直角坐标方程也可写成: 或 .)
(2)方法 1:将 的参数方程: 为参数 代入 得:
,即 ,
由韦达定理得 ,
依题意,曲线 截直线 所得线段的中点对应 ,即 ,得 .
因此 的斜率为 .
方法 2:令曲线 与直线 的交点为 ,
则由 得 ,其中 .
所以 ,即 的斜率为 .
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
设函数 .
[ ]
0)1(3
2)1(
)1(3
)32(
)1(9
)12(3)1(9)( 22
22
22
22
22
322
>++
++=++
++=++
+−++=′
xx
xx
xx
xxx
xx
xxxxxxg
)(xg R ay = )(xgy =
xOy C θθ
θ
(sin4
cos2
=
=
y
x ) l
tty
tx (sin2
cos1
+=
+=
α
α
)
C l
C l )2,1( l
θ C 1164
22
=+ yx
t l 0cos2sincossin =+−⋅−⋅ αααα yx
l )2(2)1(tan
παα ≠+−= xy 1=x
l tty
tx (sin2
cos1
+=
+=
α
α
) 1164:
22
=+ yxC
( ) ( ) 16sin2cos14 22 =+++ αα tt ( ) ( ) 08sincos24cos31 22 =−+++ tt ααα
( )
α
αα
221 cos31
sincos24
+
+−=+ tt
C l 02
21 =+ tt 0sincos2 =+ αα 2tan −=α
l 2−
C l ),(),,( 2211 yxByxA
=+
=+
1164
1164
2
2
2
2
2
1
2
1
yx
yx
( )( ) ( )( )
0164
21212121 =+−++− yyyyxxxx 4,2 2121 =+=+ yyxx
2042 21
212121 −=−
−⇒=−+−
xx
yyyyxx l 2−
25)( −−+−= xaxxf
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 ,求 的取值范围.
23.【解析】(1) 时, ,
时, ,解得 ;
时, ,解得 ;
时, ,解得 ,
综上所述,当 时,不等式 的解集为 .
(2) ,即 ,
又 ,
所以 ,等价于 或 ,
解得 的取值范围为 或 .
1=a 0)( ≥xf
1)( ≤xf a
1=a 215)( −−+−= xxxf
1−≤x 042215)( ≥+=−+++= xxxxf 12 −≤≤− x
21 <<− x 02215)( ≥=−+−−= xxxf 21 <<− x
2≥x 062215)( ≥+−=+−−−= xxxxf 32 ≤≤ x
1=a 0)( ≥xf ]3,2[−
125)( ≤−−+−= xaxxf 42 ≥−++ xax
222 +=+−+≥−++ axaxxax
42 ≥+a 42 ≥+a 42 −≤+a
a 2|{ ≥aa }6−≤a
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